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文档简介

0 5二阶微分算符格林定理Second orderDifferenceOperator Green sTheorem 1 一阶微分运算 First orderDifferenceCalculation 将算符直接作用于标量场和矢量场 即分别得到梯度 散度和旋度 即这些都叫一阶微分运算 举例 a 设为源点与场之间的距离 r的方向规定为源点指向场点 试分别对场点和源点求r的梯度 第一步 源点固定 r是场点的函数 对场点求梯度用r表示 则有而 同理可得 故得到 第二步 场点固定 r是源点的函数 对源点求梯度用表示 而同理可得 所以得到 作业 b 设u是空间坐标x y z的函数 证明 证 这是求复合函数的导数 梯度 按复合函数微分法则 有 c 设求解 而同理可得 那么这里同理可得故有 由此可见 d 设u是空间坐标x y z的函数 证明证 e 设u是空间坐标x y z的函数 证明证 2 二阶微分运算 CalculationofTwo orderDifference 将算符作用于梯度 散度和旋度 则称为二阶微分运算 设为标量场 为矢量场 并假设的分量具有所需要的阶的连续微商 则不难得到 1 标量场的梯度必为无旋场 2 矢量场的旋度必为无散场 3 无旋场可表示一个标量场的梯度 4 无散场可表示一个矢量场的旋度 5 标量场的梯度的散度为 6 矢量场的旋度的旋度为3 运算于乘积 CalculationofMultiplicationwith 1 2 3 4 5 6 根据常矢运算法则则有 故有 7 根据常矢运算法则 则有 8 因为故有从而得到 4 格林定理 Green stheorem 由Gauss stheorem得到 将上式交换位置 得到以上两式相减 得到 5 常用几个公式设试求 a 而 同理 b 从而可见 c d e
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