概率论与数理统计教案

上课时间上课时间第一周上课节次上课节次3 节课课 型型理论 课课 题题概率论基本概念 教学目的教学目的使学生掌握随机试验 样本空间 随即事件 频率 概 率及古典概型等概念 教学方法教学方法讲授 重点 难重点 难 点点 基本概念的掌握与理解 时间分配时间分配教学内容教学内容 板书或课件板书或课件 版面设计版面设计 在大量重复试验或观察中所呈现出的固有 规律性就是我们所说的统计规律性 在个别试验中其结果呈现出不确定性 在 大量重复试验中其结果又具有统计规律性 的现象 我们称之为随机现象 1 1 随机试验 具有如下特点的试验称为随机试验 可以在相同的条件下重复地进行 每次试验的结果可能不止一个 并且能 事先明确试验的所有可能结果 进行一次试验之前不能确定哪一个结果 会出现 1 2 样本空间 随机事件 1 样本空间 我们将随机试验 E 的所有可能结果组成的 集合称为 E 的样本空间 记为 S 样本空间的元素即 E 的每个结果 称为样 本点 2 随机事件 我们称试验 E 的样本空间 S 的子集为 E 的 随机事件 简称事件 在每次试验中 当且仅当这一子集中的一 个样本点出现时 称这一事件发生 由一个样本点组成的单点集称为基本事件 样本空间 S 包含所有的样本点 它是 S 自 身的子集 在每次试验中它总是发生的 S 称为必然事件 空集不包含任何样本点 它也作为样本 空间的子集 它在每次试验中都不发生 称为不可能事件 3 事件间的关系与事件的运算 设试验 E 的样本空间为 S 而 A B Ak k 1 2 是 S 的子集 若 则称事件 B 包含事件 A 这BA 指的是事件 A 发生必导致事件 B 发生 若且 即 A B 则称事件 A 与BA AB 事件 B 相等 事件称为事件 A 与 BxAxxBA 事件 B 的和事件 当且仅当 A B 中至少有一个发生时 事 件发生 BA 事件称为事件 A 与 BxAxxBA 事件 B 的积事件 当且仅当 A B 同时发生时 事件发BA 生 也记作 AB BA 事件称为事件 A 与 BxAxxBA 且 事件 B 的差事件 当且仅当 A 发生 B 不发生时事件 A B 发 生 若 则称事件 A 与 B 是互不相 BA 容的 或互斥的 基本事件是两两互不相容的 若 则称事件 A 与事 BASBA 件 B 互为逆事件 又称事件 A 与事件 B 互为对立事件 A 的对立事件记为 AASA 设 A B C 为事件 则有 交换律 ABBAABBA 结合律 CBACBA CBACBA 分配率 CABACBA CABACBA 摩根率 BABABABA 1 3 频率与概率 1 频率 定义 定义 在相同的条件下 进行了 n 次试验 在这 n 次试验中 事件 A 发生的次数 nA 称为事件 A 发生的频数 比值 nA n 称为事 件 A 发生的频率 并记为 fn A 频率具有如下基本性质 0 fn A 1 fn S 1 若 A1 A2 Ak是两两互不相容的 事件 则 fn A1 A2 Ak fn A1 fn A2 fn Ak 2 概率 定义 定义 设 E 是随机试验 S 是它的样本空 间 对于 E 的每一事件 A 赋予一个实数 记为 P A 称为事件 A 的概率 如果集合 函数 P 满足下列条件 非负性 对于每一个事件 A 有 P A 0 规范性 对于必然事件 S 有 P S 1 可列可加性 设 A1 A2 是两两互不 相容的事件 即对于 AiAj i j i j 1 2 有 P A1 A2 P A1 P A2 概率的性质 性质 1 0 P 性质 2 有限可加性 若 A1 A2 An是两两互不相容的事件 则有 P A1 A2 An P A1 P A2 P An 性质 3 设 A B 是两个事件 若 BA 则有 P B A P B P A P B P A 性质 4 对于任一事件 A P A 1 性质 5 逆事件的概率 对于任一事件 A 有 1 APAP 性质 6 加法公式 对于任意两个事件 A B 有 ABPBPAPBAP 1 4 等可能概型 古典概型 具有以下两个特点得试验是大量存在的 这种试验称为等可能概型 也成为古典概 型 试验的样本空间只包含有限个元素 试验中每个基本事件发生的可能性相同 若事件 A 包含 k 个基本事件 即 A ei1 ei2 eik 其中 i1 i2 ik 是 1 2 n 中某 k 个不同的数 则等 可能概型中事件 A 的概率计算公式为 k j i A n k ePAP 1 j S 中基本事件的总数 包含的基本事件数 超几何分布的概率公式为 n N k D k n D N 实际推断原理 概率很小的事件在一次实 验中实际上几乎是不发生的 教学后记教学后记 本次课的主要内容与目的在于让学生了解 和掌握概率论的基本概念 学生对概念的 掌握尚可 但对其在实例中的应用尚需多 加练习 上课时间上课时间第二周上课节次上课节次3 节课课 型型理论 课课 题题条件概率与独立性 教学目的教学目的使学生了解条件概率与独立性的基本概念及其应用 教学方法教学方法讲授 重点 难重点 难 点点 全概率公式与贝叶斯公式 时间分配时间分配教学内容教学内容 板书或课件板书或课件 版面设计版面设计 1 5 条件概率 1 条件概率 定义 定义 设 A B 是两个事件 且 P A 0 称为在事件 A 发生的条件 AP ABP ABP 下事件 B 发生的条件概率 条件概率 P A 满足 非负性 对于每一事件 B 有 P B A 0 规范性 对于必然事件 S 有 P S A 1 可列可加性 设 B1 B2 是两两互不 相容的事件 则有 1 1 i ii i ABPABP 概率的性质都适用于条件概率 2 乘法定理 乘法定理 乘法定理 设 P A 0 则有 P AB P B A P A 乘法公式 一般地 设 A1 A2 An为 n 个事件 n 2 且 P A1A2 An 0 则有 P A1A2 An P An A1A2 An 1 P An 1 A1A2 An 2 P A2 A1 P A1 3 全概率公式和贝叶斯公式 定义 定义 设 S 为试验 E 的样本空间 B1 B2 Bn为 E 的一组事件 若 BiBj i j i j 1 2 n S 21 n BBB 则称 B1 B2 Bn是样本空间 S 的一个 划分 若 B1 B2 Bn是样本空间 S 的一个划 分 那么对每次试验 事件 B1 B2 Bn中必有一个且仅有一个发 生 定理 定理 设试验 E 的样本空间为 S A 为 E 的事件 B1 B2 Bn为 S 的一个划分 且 P Bi 0 i 1 2 n 则 P A P A B1 P B1 P A B2 P B2 P A Bn P Bn 全概率公式 定理 定理 设试验 E 的样本空间为 S A 为 E 的事件 B1 B2 Bn为 S 的一个划分 且 P A 0 P Bi 0 i 1 2 n 则 n j jn iii i BPBAP BPBAP AP ABP ABP 1 贝叶斯 Bayes 公式 1 6 独立性 定义 定义 设 A B 是两事件 若满足等式 P AB P A P B 则称事件 A B 相互独 立 简称 A B 独立 定理 定理 设 A B 是两事件 且 P A 0 若 A B 相互独立 则 P B A P B 反之亦 然 定理 定理 若事件 A 与 B 相互独立 则下列各 式也相互独立 A 与 与 B 与 BAAB 定义 定义 设 A B C 是三个事件 若满足 等式 P AB P A P B P BC P B P C P AC P A P C P ABC P A P B P C 则称事件 A B C 相互独立 一般地 设 A1 A2 An是 n n 2 个事件 若对于其中任意 2 个 任意 3 个 任意 n 个事件的积事件的概率 都等 于各事件概率之积 则称事件 A1 A2 An相互独立 推论 推论 若事件 A1 A2 An n 2 相互独 立 则其中任意 k 2 k n 个事件也是 相互独立的 若 n 个事件 A1 A2 An n 2 相 互独立 则将 A1 A2 An中任意多 个事件换成它们各自的对立事件 所得的 n 个事件仍相互独立 教学后记教学后记 本次课的主要内容与目的在于让学生了解 和掌握条件概率与独立性的相关内容 学 生对概念的掌握尚可 但对其在实例中的 应用尚需多加练习 上课时间上课时间第三周上课节次上课节次3 节课课 型型理论 课课 题题概率论基本概念习题解析 教学目的教学目的使学生巩固概率论基本概念所学内容 教学方法教学方法讲授 重点 难重点 难 点点 古典概型 全概率公式与贝叶斯公式的应用 时间分配时间分配教学内容教学内容 板书或课件板书或课件 版面设计版面设计 1 一俱乐部有 5 名一年级学生 2 名二年级 学生 3 名三年级学生 2 名四年级学生 1 在其中任选 4 名学生 求一 二 三 四年级的学生各一名的概率 2 在其中任选 5 名学生 求一 二 三 四年级的学生均包含在内的概率 解 解 1 共有 5 2 3 2 12 名学生 在其 中任选 4 名共有 495 种选法 其中每 4 12 年级各选 1 名的选法有 60 种 1 2 1 3 1 2 1 5 选法 因此 所求概率为 p 60 495 4 33 2 在 12 名学生中任选 5 名的选法共有 792 种 在每个年级中有一个年级取 5 12 2 名 而其它 3 个年级各取 1 名的取法共 有 1 2 1 3 1 2 2 5 1 2 1 3 2 2 1 5 1 2 2 3 1 2 1 5 240 种 因此所求概率为 2 2 1 3 1 2 1 5 P 240 792 12 33 2 某人忘记了电话号码的最后一个数字 因而他随意地拨号 求他拨号不超过三次 而接通所需电话的概率 若已知最后一个 数字是奇数 那么此概率是多少 解 解 以 Ai表示事件 第 i 次拨号拨通电话 i 1 2 3 以 A 表示事件 拨号不超过 3 次拨通电话 则有 321211 AAAAAAA 因为两两互不相容 且 321211 AAAAAA 10 1 1 AP 10 1 10 9 9 1 11221 APAAPAAP 10 1 112213321 APAAPAAAPAAAP 所以 10 3 321211 AAAPAAPAPAP 当已知最后一位数是奇数时 所求概率为 P 1 5 1 5 1 5 3 5 3 有两种花籽 发芽率分别为 0 8 0 9 从 中各取一颗 设各花籽是否发芽相互独立 求 1 这两颗花籽都能发芽的概率 2 至少有一颗能发芽的概率 3 恰有一颗能发芽的概率 解 解 以 A B 分别表示事件第一颗 第二 颗花籽能发芽 既有 P A 0 8 P B 0 9 1 由 A B 相互独立 得两颗花籽都能 发芽的概率为 P AB P A P B 0 8 0 9 0 72 2 至少有一颗花籽能发芽的概率为事件 A B 的概率 P A B P A P B P AB 0 8 0 9 0 72 0 98 3 恰有一颗花籽发芽的概率为事件 的概率ABBA P P A P B 2P AB 0 26 ABBA 教学后记教学后记 本次课的主要内容与目的在于让学生巩固 所学概率论基本概念的相关内容 通过本 次课的学习 学生对概率论基本概念的相 关应用技巧有所提升 上课时间上课时间第四周上课节次上课节次3 节课课 型型理论 课课 题题离散型变量及其分布律 随机变量及其分布函数 教学目的教学目的使学生初步了解离散型随机变量的分布律及随机变量的 分布函数 教学方法教学方法讲授 重点 难重点 难 点点 随机变量及其分布函数 时间分配时间分配教学内容教学内容 板书或课件板书或课件 版面设计版面设计 2 1 随机变量 定义 定义 设随机试验的样本空间为 S e X X e 是定义在样本空间 S 上的实值单值 函数 称 X X e 为随机变量 2 2 离散型随机变量及其分布律 有些随机变量 它全部有可能渠道的值是 有限个或可列无限多个 这种随机变量成 为离散型随机变量 设离散型随机变量 X 所有可能去的值为 xk k 1 2 X 取各个可能值的概率 即事件 X xk 的概率为 P X xk pk k 1 2 离散型随机变量 X 的分 布律 由概率的定义 pk满足如下两个条件 pk 0 k 1 2 1 1 k k p 1 0 1 分布 设随机变量 X 只可能取 0 与 1 两个值 它 的分布律是 P X k pk 1 p 1 k k 0 1 0 p 1 则称 X 服从以 p 为参数的 0 1 分布或两点分布 2 伯努利试验 二项分布 设试验 E 只有两个可能结果 A 及 则A 称 E 为伯努利 Bernoulli 试验 将 E 独立重复地进行 n 次 则称这一串重 复的独立试验为 n 重伯努利试验 在 n 次试验中 A 发生 k 次的概率为 记 q 1 p 即有 knk pp k n 1 k 0 1 2 n knkq p k n kXP 注意到刚好是二项式 p q n的展 knkq p k n 开式中出现 pk的那一项 我们称随机变量 X 服从参数为 n p 的二项分布 并记为 X b n p 特别 当 n 1 时二项分布化为 k 0 1 0 1 分布 knkq pkXP 3 泊松分布 设随机变量 X 所有可能取的值为 0 1 2 而取各个值的概率为 k 0 1 2 其中 k e kXP k 0 是常数 则称 X 服从参数为 的泊 松分布 记为 X 泊松定理 泊松定理 设 0 是一个常数 n 是任 意正整数 设 npn 则对于任一固定的 非负整数 k 有 1 lim k e pp k n k kn n k n x 上述定理表明 当 n 很大 p 很小 时 有以下近似式 其中 1 k e pp k n k knk np 2 3 随机变量的分布函数 定义 定义 设 X 是一个随机变量 x 是任意实 数 函数 F x P X x x 称为 X 的分布函数 对于任意实数 x1 x2 x1 x2 有 P x1 X x2 P X x2 P X x1 F x2 F x1 分布函数 F x 具有以下基本性质 F x 是一个不减函数 0 F x 1 且 0 lim xFF x 1 lim xFF x F x 0 F x 即 F x 是右连续的 一般 设离散型随机变量 X 的分布律为 P X xk pk k 1 2 由概率的可列可 加性得 X 的分布函数为 xx k k xXPxXPxF 即 xx k k PxF 教学后记教学后记 本次课的主要内容与目的在于让学生了解 和掌握离散型随机变量的分布律及随机变 量的分布函数的相关内容 学生对重要分 布律及分布函数相关内容掌握尚可 但对 其应用尚需多加练习 上课时间上课时间第五周上课节次上课节次3 节课课 型型理论 课课 题题连续型随机变量及其概率密度 随机变量的函数分布 教学目的教学目的使学生掌握概率密度与分布函数的相关内容 教学方法教学方法讲授 重点 难重点 难 点点 正态分布 时间分配时间分配教学内容教学内容 板书或课件板书或课件 版面设计版面设计 如果对于随机变量 X 的分布函数 F X 存 在非负可积函数 f x 使对于任意实数 x 有 则称 X 为连续型随机 x dttfXF 变量 f x 称为 X 的概率密度函数 简称 概率密度 概率密度具有以下性质 f x 0 1 dxxf 对于任意实数 x1 x2 x1 x2 2 1 1221 x x dxxfxFxFxXxP 若 f x 在点 x 处连续 则有 F x f x 1 均匀分布 若连续型随机变量 X 具有概率密度 其它0 1 bxa abxf 则称 X 在区间 a b 上服从均匀分布 记为 X U a b X 的分布函数为 bx bxa bx ax ax xF 1 0 2 指数分布 若连续型随机变量 X 的概率密度为 其它0 0 1 xe xf x 其中 0 为常数 则称 X 服从参数为 的指数分布 X 的分布函数为 其它0 01 xe xF x 服从指数分布的随机变量 X 具有以下性质 对于任意 s t 0 有 P X S t X s P X t 上式称为无记忆性 3 正态分布 若连续型随机变量 X 的概率密度为 x0 为常数 则称 X 服从 参数为 的正态分布或高斯 Gauss 分布 记为 X N 2 正态分布具有如下性质 曲线关于 x 对称 当 x 时取到最大值 2 1 f 正态分布曲线在 x 处有拐点 曲 线以 Ox 轴为渐近线 如果固定 改变 的值 则图形沿着 Ox 轴平移 而不改变其形状 若固定 改变 由于最大值 2 1 f 可知当 越小时图形变得越尖 X 的分布函数为 x t dtexF 2 2 2 2 1 当 0 1 时称随机变量 X 服从标准 正态分布 引理 引理 X N 2 则 Z N 0 1 X 设 X N 0 1 若 z 满足条件 P X z 0 1 则称点 z 为标准正态分布 的上 分位点 2 5 随机变量的函数的分布 设 X N 0 1 其概率密度为 x 则 Y X2的概 2 2 2 1 x ex 率密度为 此 00 0 2 1 2 2 1 y yey yf y Y 时称 Y 服从自由度为 1 的 2分布 定理 定理 设随机变量 X 具有概率密度 fX x x0 或恒有 g x x1时 F x2 y F x1 y 对于任意固定的 x 当 y2 y1时 F x y2 F x y1 0 F x y 1 且 对于任意固定的 y F y 0 对于任意固定的 x F x 0 F 0 F 1 F x 0 y F x y F x y 0 F x y 即 F x y 关于 x 右连续 关于 y 也右连续 对于任意 x1 y1 x2 y2 x1 x2 y10 则称 i 1 j ij p p yP Y yY xP X yY xP X j ji ji 2 为 Y yj条件下随机变量 X 的条件 分布律 同样 对于固定的 i 若 P X xj 0 则 称 i ij p p xP X yY xP X xX yP Y i ji ij i 1 2 为 X xi条件下随机变量 Y 的条 件分布律 定义 定义 设二维随机变量 X Y 的概率密度为 f x y X Y 关于 Y 的边缘概率密度为 fY y 若对于固定的 y fY y 0 则称 为在 Y y 的条件下 X 的条件概率密 yf yxf Y 度 记为 yf yxf yxf Y YX 称为在 Y y 的条 xx Y YX dxyf yxf dxyxf 件下 X 的条件分布函数 记为 P X x Y y 教学后记教学后记 本次课的主要内容与目的在于让学生了解 和掌握二维随机变量 边缘分布与条件分 布的相关内容 学生对边缘分布和条件分 布的定义掌握较好 但对其性质尚需多加 联系后方能熟悉 上课时间上课时间第八周上课节次上课节次3 节课课 型型理论 课课 题题相互独立的随机变量与随机变量的函数分布 教学目的教学目的使学生掌握相互独立的随机变量并了解几种常见的随机变量 的函数分布 教学方法教学方法讲授 重点 难重点 难 点点 相互独立的随机变量 时间分配时间分配教学内容教学内容 板书或课件板书或课件 版面设计版面设计 3 4 相互独立的随机变量 定义 定义 设 F x y 及 FX x FY y 分别是二维随机 变量 X Y 的分布函数及边缘分布函数 若对于 所有 x y 有 P X x Y y P X x P Y y 即 F x y FX x FY y 则称随机变量 X 和 Y 是 相互独立的 若对于所有的 x1 x2 xn有 F x1 x2 xn FX1 x1 FX2 x2 FXn xn 则称 X1 X2 Xn是相互独立的 若对于所有的 x1 x2 xm y1 y2 yn有 F x1 x2 xm y1 y2 yn F1 x1 x2 xm F2 y1 y2 yn 其中 F1 F2 F 依次为随机变量 X1 X2 Xm Y1 Y2 Yn 和 X1 X2 Xm Y1 Y2 Yn 的分布函数 则称 随机变量 X1 X2 Xm 和 Y1 Y2 Yn 是相互独 立的 定理 定理 设 X1 X2 Xm 和 Y1 Y2 Yn 是相互独 立的 则 Xi i 1 2 m 和 Yj j 1 2 n 相互独 立 又若 h g 是连续函数 则 h X1 X2 Xm 和 g Y1 Y2 Yn 相互独立 3 5 两个随机变量的函数的分布 1 Z X Y 的分布 设 X Y 是二维连续型随机变量 它具有概率密 度 f x y 则 Z X Y 仍为连续型随机变量 其 概率密度为 dyyyzfzf YX 或 dxxzxfzf YX 若 X 和 Y 相互独立 设 X Y 关于 X Y 的边缘 密度分别为 fX x fY y 则上面两式可化为 dyyfyzfzf YXYX 和 dxxzfxfzf YXYX 以上两式称为 fX和 fY 的卷积公式 记为 fX fY 即 dyyfyzfzf YXYX f f YX 且 dxxzfxfzf YXYX f f YX 2 Z Y X 的分布和 X XY 的分布 设 X Y 是二维连续型随机变量 它具有概率密 度 f x y 则 Z Y X 与 Z XY 仍为连续型随机变 量 其概率密度分别为 dxxzxfxzf XY dx x z xf x zfXY 1 若 X 和 Y 相互独立 设 X Y 关于 X Y 的边缘 密度分别为 fX x fY y 则上式可化为 dxxzfxfxzf YXXY dx x z fxf x zf YXXY 1 3 M max X Y 及 N min X Y 的分布 设 X Y 是两个相互独立的随机变量 它们的分 布函数分别为 FX x 和 FY y 则 Fmax z FX z FY z Fmin z 1 1 FX z 1 FY z 特别的 当 X1 X2 Xn相互独立且具有相同分 布函数 F x 时 有 Fmax z F z n Fmin z 1 1 F z n 教学后记教学后记 本次课的主要内容与目的在于让学生了解和掌握 相互独立的随机变量与两种常见的随机变量的函 数分布 学生相互独立的随机变量的定义掌握较 好 其余部分需要多加练习 上课时间上课时间第九周上课节次上课节次3 节课课 型型理论 课课 题题多维随机变量及其分布习题解析 教学目的教学目的使学生巩固多维随机变量及其分布所学内容 教学方法教学方法讲授 重点 难重点 难 点点 边缘分布 条件分布与相互独立的随机变量 时间分配时间分配教学内容教学内容 板书或课件板书或课件 版面设计版面设计 1 设随机变量 X Y 的概率密度为 其它 0 4220 6 yxyxk yxf 1 确定常数 k 2 求 P X 1 Y 3 3 求 P X 1 5 4 求 P X Y 4 解 解 1 由得 1 dxdyyxf 4 2 4 2 2 4 2 2 0 4 2 2 0 2 8 10 2212 2 1 6 6 1 kyykdyyk dyxxykdxyxkdy x x 所以 k 1 8 2 3 2 1 0 3 2 2 3 2 1 0 8 3 2 11 8 1 2 1 6 8 1 6 8 1 3 Y1 P X dyy dyxxy dxyxdy x x 3 4 2 4 2 5 1 0 2 4 2 5 1 0 32 27 2 3 8 63 8 1 2 1 6 8 1 6 8 1 5 1 dyy dyxxy dxyxdyXP x x 4 3 2 4 6 1 4 8 1 4 2 1 4 2 8 1 4 2 1 4 6 8 1 2 1 6 8 1 6 8 1 4 4 2 32 4 2 2 4 2 2 4 2 4 0 2 4 2 4 0 yy dyyy dyyyy dyxxy dxyxdyYXP yx x y 2 设二维随机变量 X Y 的概率密度为 求边缘概率密度 其它0 0 yxe yxf y 解 解 其它0 0 0 xeedye xf x x yy X 其它0 0 0 y yy Y yyedxe yf 3 设某种型号的电子元件的寿命 以小时 计 近似地服从于正态分布 N 160 202 随机地选取 4 只 求其中没有一只寿命小 于 180 的概率 解 解 以 Xi i 1 2 3 4 记所选取的第 i 只 元件的寿命 由题设一只元件寿命小于 180 小时的概率为 8413 0 1 20 160180 20 160180 20 160 180 i i X PXP 可认为 X1 X2 X3 X4相互独立 故选 取的 4 只元件没有一只寿命小于 180 小时 的概率为 4 1 4 00063 0 8413 0 1 180 1 i i XP 教学后记教学后记 本次课的主要内容与目的在于让学生巩固 所学多维随机变量及其分布的相关内容 通过本次课的学习 学生对随机变量及其 分布的相关应用技巧有所提升 上课时间上课时间第十周上课节次上课节次3 节课课 型型理论 课课 题题数学期望与方差 教学目的教学目的使学生了解和掌握数学期望与方差的概念及其在实践中的 应用 教学方法教学方法讲授 重点 难重点 难 点点 数学期望与方差的定义及相关定理 时间分配时间分配教学内容教学内容 板书或课件板书或课件 版面设计版面设计 4 1 数学期望 定义 定义 设离散型随机变量 X 的分布律为 P X xk pk k 1 2 若级数 绝对收敛 则称级数的和为 1k kkp x 1k kkp x 随机变量 X 的数学期望 记为 E X 即 E X 1k kkp x 若连续型随机变量 X 的概率密度为 f x 若积分绝对收敛 则称积分 dxxxf 的值为随机变量 X 的数学期望 dxxxf 记为 E X 即 E X dxxxf 数学期望简称期望 又称为均值 数学期望 E X 完全由随机变量 X 的分布律 所确定 若 X 服从某一分布 也称 E X 是 这一分布的数学期望 定理 定理 设 Y 是随机变量 X 的函数 Y g X g 是连续函数 若 X 是离散型随机变量 它的分布律为 P X xk pk k 1 2 若绝对收 k k k pxg 1 敛 则有 1 k kk pxgXgEYE 若 X 是连续型随机变量 它的概率密度 为 f x 若绝对收敛 则有 dxxfxg dxxfxgXgEYE 数学期望重要性质 设 C 是常数 则有 E C C 设 X 是一个随机变量 C 是常数 则有 E CX CE X 设 X Y 是两个随机变量 则有 E X Y E X E Y 此性质可推广到任意有限个随机变量之和 的情况 设 X Y 是相互独立的随机变量 则有 E XY E X E Y 此性质可推广到任意有限个相互独立的随 机变量之和的情况 4 2 方差 定义 定义 设 X 是一个随机变量 若 E X E X 2 存在 则称 E X E X 2 为 X 的方 差 记为 D X 或 Var X 即 D X Var X E X E X 2 应用中引入 记为 X 称为标准 XD 差或均方差 对于离散型随机变量 1 2 k kk pXExXD 对于连续型随机变量 dxxfXExXD 2 方差重要性质 设 C 是常数 则 D C 0 设 X 是随机变量 C 是常数 则有 D CX C2D X D X C D X 设 X Y 是两个随机变量 则有 D X Y D X D Y 2E X E X Y E Y 特别地 若 X 相互独立 则有 D X Y D X D Y 此性质可推广到任意有限多个相互独立的 随机变量之和的情况 X 0 的充要条件是 X 以概率 1 取常 数 E X 即 P X E X 1 定理 定理 设随机变量 X 具有数学期望 E X 方差 D X 2 则对于任意正数 不等式成立 切比 2 2 XP 雪夫 Chebyshev 不等式 教学后记教学后记 本次课的主要内容与目的在于让学生了解 和掌握数学期望与方差的相关内容 学生 对数学期望与方差的定义掌握较好 相关 定理部分需要结合习题多加练习 上课时间上课时间第十一周上课节次上课节次3 节课课 型型理论 课课 题题协方差及相关系数 矩 协方差矩阵 教学目的教学目的使学生了解并掌握协方差相关知识 教学方法教学方法讲授 重点 难重点 难 点点 协方差 时间分配时间分配教学内容教学内容 板书或课件板书或课件 版面设计版面设计 4 3 协方差及相关系数 定义 定义 量 E X E X Y E Y 称为随机变 量 X 与 Y 的协方差 记为 Cov X Y E X E X Y E Y 称为随机变量 X 与 Y 的 YDXD YXCov XY 相关系数 Cov X Y Cov Y X Cov X X D X D X Y D X D Y 2Cov X Y Cov X Y E XY E X E Y 协方差的性质 Cov aX bY abCov X Y a b 是常数 Cov X1 X2 Y Cov X1 Y Cov X2 Y 定理 定理 1 XY 的充要条件是 存在常数 a b1 XY 使 P Y a bX 1 当时 称 X 和 Y 不相关 0 XY Cov X Y 0 可得 即 X Y 不相0 XY 关 反之 X Y 不相关 X 和 Y 却不一定相互 独立 当 X Y 服从二维正态分布时 X 和 Y 不 相关与 X 和 Y 相互独立是等价的 4 4 矩 协方差矩阵 定义 定义 设 X 和 Y 是随机变量 若 E Xk k 1 2 存在 称它为 X 的 k 阶原点矩 简称 k 阶矩 若 E X E X k k 2 3 存在 称它为 X 的 k 阶中心矩 若 E XkYl k l 1 2 存在 称它为 X 和 Y 的 k l 阶混合中心矩 X 的数学期望 E X 是 X 的一阶原点矩 方 差 D X 是 X 的二阶中心矩 协方差 Cov X Y 是 X 和 Y 的二阶混合中心矩 二维随机变量 X1 X2 有四个二阶中心矩 设它们分别存在 分别记为 c11 E X1 E X1 2 c12 E X1 E X1 X2 E X2 c21 E X2 E X2 X1 E X1 c22 E X2 E X2 2 将它们排成矩阵的形式 这个矩 2221 1211 cc cc 阵称为随机变量 X1 X2 的协方差矩阵 设 n 维随机变量 X1 X2 Xn 的二阶混合 中心矩 cij Cov Xi Xj E Xi E Xi Xj E Xj i j 1 2 n 都存在 则称矩阵 为 n 维随机变量 nnnn n n ccc ccc ccc C 22 22222 11211 X1 X2 Xn 的协方差矩阵 由于 cij cji i j i j 1 2 n 因而上述协方 差矩阵是一个对称矩阵 教学后记教学后记 本次课的主要内容与目的在于让学生了解 和掌握协方差 矩与协方差矩阵的相关内 容 学生对相关概念掌握较好 相关应用 部分尚需多加练习 上课时间上课时间第十二周上课节次上课节次3 节课课 型型理论 课课 题题随机变量的数字特征习题解析 教学目的教学目的使学生巩固随机变量的数字特征所学内容 教学方法教学方法讲授 重点 难重点 难 点点 数学期望与方差 时间分配时间分配教学内容教学内容 板书或课件板书或课件 版面设计版面设计 1 某车间生产的圆盘直径在区间 a b 服从 均匀分布 试求圆盘面积的数学期望 解 解 设圆盘直径为 X 按题设 X 具有概率 密度 其它0 1 bxa abxfX 故圆盘面积 A X2 4 的数学期望为 12 12 1 4 1 4 1 22 322 aabb x ab dx ab xXE b a b a 2 设在某一规定的时间间隔里 某电气设 备用于最大负荷的时间 X 以 min 计 是 一个随机变量 其概率密度为 其它0 30001500 3000 1500 1 15000 1500 1 2 2 x x xx xf 求 E X 解 解 按连续型随机变量的数学期望定义有 min 1500 32 3000 1500 1 31500 1 0 1500 3000 1500 0 3000 1500 32 2 1500 0 3 2 3000 3000 1500 2 1500 0 2 0 3000 3000 1500 1500 0 0 xxx dxxdx x x dx x xdxx dxxxfdxxxf dxxxfdxxxf dxxxfXE 3 一直正常男性承认血液中 每一毫升白 细胞数平均是 7300 军方差是 700 利用 切比雪夫不等式估计每毫升含白细胞数在 5200 9400 直接的概率 p 解 解 以 X 表示每毫升含白细胞数 由题设 E X 7300 700 XD 而概率 p P 5200 X 9400 P 2100 X 7300 2100 P X 7300 2100 在切比雪夫不等式 P X 1 2 2中 取 2100 此时 1 2 2 1 7002 21002 8 9 即 p P X 7300 0 有 n k k X n 1 1 1 1 1 lim n k k n X n 设 Y1 Y2 Yn 是一个随机变量序列 a 是一个常数 若对于任意正数 有 则称序列1 lim aYP n n Y1 Y2 Yn 依概率收敛于 a 记为 aY P n 依概率收敛的序列有如下性质 设 又设函数 g x y aX P n bY P n 在点 a b 连续 则 bagYXg P nn 因此 弱大数定理可定义为 设随机变量 X1 X2 Xn 相互独立 服从同一分布且 具有数学期望 E Xk k 1 2 则序列 依概率收敛于 即 n k k X n X 1 1 PX 伯努利大数定理 伯努利大数定理 设 fA是 n 次独立重复试 验中事件 A 发生的次数 p 是事件 A 在每 次试验中发生的概率 则对于任意正数 0 有 1 lim p n f P A n 或 0 lim p n f P A n 教学后记教学后记 本次课的主要内容与目的在于让学生了解 和掌握大数定律的相关内容 学生对相关 概念掌握较好 相关应用部分尚需多加练 习 上课时间上课时间第十四周上课节次上课节次3 节课课 型型理论 课课 题题中心极限定理 教学目的教学目的使学生了解并掌握中心极限定理相关知识 教学方法教学方法讲授 重点 难重点 难 点点 独立同分布中心极限定理与李雅普诺夫 Lyapunov 定理 时间分配时间分配教学内容教学内容 板书或课件板书或课件 版面设计版面设计 定理一定理一 独立同分布的中心极限定理 设随机变量 X1 X2 Xn 相互独立 服从 同一分布 且具有数学期望和方差 E Xk D Xk 2 0 k 1 2 则随机变量 之和的标准化变量 n k k X 1 n nX XD XEX Y n k k n k k n k k n k k n 1 1 11 的分布函数 Fn X 对于任意 x 满足 2 1 2 1 2 limlim xdte x n nX PxF t x n k k n n n 定理二定理二 李雅普诺夫 Lyapunov 定理 设 随机变量 X1 X2 Xn 相互独立 它们具 有数学期望和方差 E Xk D Xk k 2 k 0 k 1 2 记 若存在正数 n k kn B 1 22 使得当时 n 则随机变量之和0 1 1 2 2 n k kk n XE B 的标准化变量 n k k X 1 n n k k n k k n k k n k k n k k n B X XD XEX Z 11 1 11 的分布函数 Fn x 对于任意 x 满足 2 1 2 11 2 limlim xdte x B X PxF t x n n k k n k k n n n 定理三定理三 棣莫弗 拉普拉斯 De Moivre Laplace 定理 设随机变量 n n 1 2 服从参数为 n p 0 p 1 的二 项式分布 则对于任意 x 有 2 1 1 2 2 lim xdtex pnp np P t x n n 教学后记教学后记 本次课的主要内容与目的在于让学生了解 和掌握中心极限定理的相关内容 学生对 两个定理内容掌握较好 相关应用部分尚 需多加练习 上课时间上课时间第十五周上课节次上课节次3 节课课 型型理论 课课 题题大数定律及中心极限定理习题解析 教学目的教学目的