物理海洋学概论- 运动方程式

物理海洋學概論 運動方程式 2007 10 15 海水運動的能量來自於太陽的熱 海水的運動 紊流 波浪引起的流 潮流 風吹流 溫鹽環流 湧升 下沉流 等 海流觀測 航海者回報 浮標追蹤 錨碇式觀測 移動式觀測 水文推算 衛星推測 等 數學是簡單用來描述海水運動的工具 回顧上次課程 運動方程式 EquationsofMotion 守恆方程式 ConservationEquations 質量守恆 Conservationofmass 鹽度守恆 Conservationofsalt 渦度守恆 Conservationofpotentialvorticity 連續方程式 ContinuityEquation 簡易的運動方程式 牛頓運動定律 第一運動定律 慣性定律 不受外力或淨力為零 物體靜者恆靜 動者衡做等速直線運動 第二運動定律 物體受力後所得的加速度 和淨力成正比 但與物體質量呈反比 i e F ma 第三運動定律 作用力與反作用力海洋運動最常用的定律即是牛頓第二定律 用來描述海水受力狀態 及其所衍生運動的特性 運動方程式 Equationsofmotion 牛頓第二運動定律 對單一體積的fluidparcel而言 流速與力皆為向量 若考慮其在三個座標軸 x y z 的分量 則其對應的方程式為 驅動海水運動的力有哪些 重力 gravity 壓力梯度力 pressuregradient 科氏力 Coriolis 摩擦力 friction 以及任何你想的到的 但主要以這些力為主 密度xparcel加速度 重力 壓力梯度力 科氏力 摩擦力 運動方程式 Equationsofmotion Contd 剛體與流體 古典物理考慮單一質點 其形狀在運動過程中不會改變 剛體 故質點運動的加速度 簡單的可以速度對時間的變化表示 表示然而 海水是個流體 在其運動過程中除了速度的變化外 還會有形狀的改變 這種因形變所產生的加速度 必須被包括 現在 運動方程式 Equationsofmotion Contd 加速度於三個座標軸的分量 表示為 其可以向量形式 較簡短表示 或更簡短 運動方程式 Equationsofmotion Contd 簡單介紹各種不同的力 水平壓力梯度力 horizontalpressuregradient bodyforce 整個水體能夠立即感受到的力 水往低處流 由高壓流向低壓 運動方程式 Equationsofmotion Contd AdaptedfromStewart 2005 科氏力 因地球自轉而衍生的力 科氏力與particle相對於地球的速度成正比 若無速度則無科氏力 科氏力隨緯度增加而增加 於南北兩極最大 在赤道為零 科氏力作用的方向與物體運動方向垂直 在北半球 作用在運動方向的右手邊 在南半球則相反 同樣屬於bodyforce wheref 2 sin latitude 運動方程式 Equationsofmotion Contd AdaptedfromCushman RoisinandBeckers 2007 重力 重力的作用 僅對垂直方向的運動有影響 重力的變化對大多數物理海洋學而言並不重要 運動方程式 Equationsofmotion Contd AdaptedfromCushman RoisinandBeckers 2007 摩擦力 屬於surfaceforce 風吹拂海面 產生波浪 waves 與海流 currents 摩擦力是對於波浪 海流的形成 以及帶動下層海水流動的一個重要的機制 摩擦力會消耗海洋的動能並將之轉化為熱能 運動方程式 Equationsofmotion Contd 摩擦力最簡單的形式可以下列表示 friction x Jufriction y Jvfriction z JwMolecularviscosity 牛頓流體 dynamicviscositycoefficient 10 3 kgm 1s 1 kinematicviscositycoefficient 10 6 m2s 1 分子間的摩擦係數 太小對於驅動海洋需花很長的時間 與實際的海洋狀況不符 Eddyviscosityfriction x friction y friction z whereAh 102 105 m2s 1 Az 10 4 10 2 m2s 1 Windstress 運動方程式 Equationsofmotion Contd 質量守恆 conservationofmass 鹽度守恆 conservationofsalt 當流進量等於流出量 Steadystate non conservativeproperties e g radioactivematerials Qissourceorsinkterm 守恒方程式 Conservationequations AdaptedfromStewart 2005 連續方程式 Continuityequation FormassForsaltForhomogeneousflow constant s constant Forincompressibleflow formassforsalt 守恒方程式 Conservationequations AdaptedfromStewart 2005 以上 我們有五組方程式 三個運動方程 質量守恆及鹽度守恆 但有六個變數 u v w p S 要解 故仍需一組方程式求解 狀態方程式 描述壓力與溫度 鹽度之間的關係 S T P 除了質量與鹽度守恆外 運動亦要求能量及渦度守恆 守恒方程式 Conservationequations 位渦守恆方程式 ConservationofPotentialVorticity 渦度是只一個粒子相對於其軸旋轉的程度 渦度正比於粒子的角動量 順時針方向旋轉 定義為負的渦度 逆時針方向旋轉 則為正的渦度 垂直方向 z 的渦度分量 若我們重寫水平方向的運動方程式 將y方向運動方程式對x微分 減去 將x方向分量對y微分 則可得到一組渦度方程式 i e 守恒方程式 Conservationequations 在上式中 相對渦度 relativevorticity f 絕對渦度 absolutevorticity 位渦度 potentialvorticity 若無摩擦力 則位渦必定守恆 i e 守恒方程式 Conservationequations 在數學上 我們有六組方程式 理論上可以解六個變數 然而 實際上是無解 主要原因有二 一 數學非線性項 non linearterms 無解 二 對大自然 我們仍有許多未知 如windstress等 為解決這個問題 常需做一些必要的假設 以便求解 海洋物理的難處與方程式的簡化 慣性流 Inertialcurrent 艾克曼海流 Ekmancurrent 地衡流 Geostrophiccurrent 正壓與斜壓運動 BarotrophicandBaroclinicmotions 西方邊界較強流 WesternBoundarycurrent 海流的形成及運動機制 假設海水受某種力推動後 外力突然消失 海水承受慣性力而繼續運動 此時慣性力必須與另一例平衡 此力即柯氏力 慣性流即為慣性力與柯氏力相互平衡作用下所產生的海流 基本方程式 1 2 其解的型式為 慣性流 慣性流的特性 慣性流的速率是一常數 慣性流是一圓周運動 在北半球為順時針運動 在南半球則為逆時針運動 此圓周運動 其運動半徑為r c f 半徑隨緯度增加而減少 在赤道上其半徑無限大 運動週期T 2 f 12h sin 故週期隨緯度增加而減少 在赤道上其週期無限大 在台灣附近週期約為30小時左右 常與全日 半日潮流相混不易分別 於南海海域則清晰可見 Rossbynumber Rossbynumber是慣性力與柯氏力的比值 當Rossbynumber小於1時 代表慣性項遠較科氏力小 故慣性向可以省略 因慣性項包含非線性項 省略後非線性項消失 方程式因線性化而有機會求算理論值 慣性流 AdaptedfromCushman RoisinandBeckers 2007 艾克曼海流為摩擦力與柯氏力互相作用平衡下所產生的海流 最典型的例子即是表層海水受風吹拂所引起的海流 亦是上層海洋最主要的海流 極表層海水其流速大約為風速的3 此極表層海流因水分子間磨擦力 因而帶動其下層海水流動 但摩擦力隨深度遞減 故純由風引起的海流僅限於海洋上層數十公尺 海水受風吹動 最初沿風向而流 但漸漸的感受到科氏力 方向因而有所偏轉 其運動方程式及解為 Aiseddyviscositycoefficient constant 此方程式 加上兩個邊界條件 在無限深處流速近似零 表面摩擦力等於風應力 即可求得理論解 艾克曼海流 以北風為例其解為 whereD稱之為艾克曼海流影響深度 是A及柯氏參數的函數 艾克曼海流表面流速是顯示當風向北吹 表面海流確實流向東北 風與流的夾角是45度 流在風的右手方向 就北半球而言 艾克曼海流 Ekmanspiral 艾克曼螺旋 當深度增加時 指數小於1 流速隨深度增加而減小 且呈指數遞減 另海流流向隨深度增加而成順時針 北半球 的變化 以三維觀之 艾克曼海流於北半球成一順時針的螺旋分佈 故稱之為艾克曼螺旋 A值約為10 2 10 4 而柯氏參數約為10 4 故純風吹流僅能影響至數十公尺的海域 實際觀測表面海流與風速夾角並非一定是45度 此原因可能為 海流尚未穩定 steadystate 換言之 慣性項仍重要 A於自然界並非為常數 其他型態的海流存在 在海底 陸海接觸區亦有類似艾克曼海流存在 唯其Ekmanspiral是由下往上 同理 風在近地面區間也存有類似結構 但因空氣密度小 故艾克曼影響層遠較海水大 故艾克曼層 Ekmanlayer 其實就是邊界層 boundarylayer 艾克曼海流 AdaptedfromCushman RoisinandBeckers 2007 Ekmantransport 艾克曼傳送 將艾克曼海流方程式對z積分可得到 艾克曼海流的總質量傳輸與風向呈90度夾角 且傳輸方向是在風向的右方 於越南海岸 西南季風將海水向東南 深水海域 傳送 淺水海域流失的海水則必須由下層海水補充 因此在越南近岸海域形成湧升流 衛星資料顯示此海域夏季海溫較周遭海域低 季風於台灣海峽引起的海水變化 西南季風將大陸沿岸海水向台灣傳送 造成台灣海峽兩邊的水位東低 台灣 西高 大陸 反之 東北季風時 台灣海峽兩邊的水位則是東高 台灣 西低 大陸 艾克曼海流 AdaptedfromStowe K 1995 ExploringOceanScience 2thed AdaptedfromThurman H V 1993 EssentialsofOceanography 4thed Ekmanpumping 如果風應力可表示為 則艾克曼海流方程式可以表示為 加上連續方程式將前二式分別對x及y微分相減後代入連續方程式 可得中括弧內一般稱為windcurl 如果windcurl為正 則艾克曼效應可引起上昇流 upwelling 反之則為下沉流 downwelling 艾克曼海流 AdaptedfromCushman RoisinandBeckers 2007 地衡海流為壓力梯度力與柯氏力相互平衡作用下所產生的海流 其運動方程式 此二式稱之為地轉方程式 滿足此二式的海流稱之為地轉流 geostrophiccurrent 其特性為 近乎80 的海流大致滿足地轉方程式 故可視為地轉流 近邊界區間始有其他外力加入 此區間含大陸邊緣 shelfbreak