现代应用数学 矩阵定义和性质

杨争峰Email zfyang Office 数学馆东201 现代应用数学 矩阵分析 矩阵基础线性空间和线性变换内积空间与酉空间矩阵分解与解方程标准型特征值 数值分析 非线性方程求解线性方程组的求解线性方程组的迭代求解插值数值积分 参考书目 矩阵分析教程 董增福主编 哈尔滨工业大学出版社计算方法 朱方生 李大美 李素贞编 武汉大学出版社 矩阵最初是在解线性方程组的过程引入的 后来人们发现矩阵本身常常包含了很多物理和数学意义 并且在应用方面逐渐超越解方程本身 目前矩阵已经应用到计算方法设计 数值模拟 几何造型 图像处理 统计分析等诸多方面 因而在计算机行业中 程序设计人员常常要处理矩阵问题 包括储存方式 稀疏矩阵计算 矩阵收敛性分析 特征值计算等等 一 矩阵定义和一些性质 定义矩阵运算及其性质方阵矩阵分块 由m n个数aij i 1 2 m j 1 2 n 有次序地排成m行 横排 n列 竖排 的数表 称为一个m行n列的矩阵 简记 aij m n 通常用大写字母A B C 表示 m行n列的矩阵A也记为Am n 构成矩阵A的每个数称为矩阵A的元素 而aij表示矩阵第i行 第j列的元素 一 定义 注意 1 只有一行的矩阵A1 n a1a2 an 称为行矩阵 2 两个矩阵A B 若行数 列数都相等 则称A B是同型的 3 若A aij m n B bij m n是同型的 且aij bij i 1 2 m j 1 2 n 则称A与B相等 记作A B 4 元素全为0的矩阵称为零矩阵 记作O 不同型的零矩阵是不相等的 二 矩阵的运算 设A aij m n B bij m n 则矩阵C cij m n aij bij m n 称为矩阵A与B的和 记作C A B 1 矩阵的加法 1 定义 设A B C O都是m n矩阵 1 A B B A 2 A B C A B C 3 A O O A A 2 性质 2 矩阵的减法 1 负矩阵 设A aij m n 则称 aij m n为A的负矩阵 简记 A 显然 A A O A A 2 减法 设A aij m n B bij m n A B A B aij bij m n 记为 A 即 设 是常数 A aij m n 3 数与矩阵的乘法 1 定义 设A B为m n矩阵 u为常数 1 u A uA u A 2 A B A B 3 u A A uA 2 性质 例3 设 求A 2B 解 设A aij m s B bij s n 其中cij等于A的第i行与B的第j列对应元素的乘积之和 i 1 2 m j 1 2 n 4 矩阵的乘法 1 定义 例4 设矩阵 求乘积AB和BA 解 注 AB BA即矩阵乘法不满足交换律 例5 设 试证 1 AB O 2 AC AD 证 1 2 故AC AD 比较 1 在数的乘法中 若ab 0 a 0或b 0 两个非零矩阵乘积可能为O 2 在数的乘法中 若ac ad 且a 0 c d 消去律成立 在矩阵乘法中 若AC AD 且A O C D 消去律不成立 1 AB C A BC 2 A B C AB AC 3 B C A BA CA 4 AB A B A B 其中 为常数 2 性质 练习 1 计算矩阵A B A2 2AB B2 A2 AB BA B2 AC 2 做个程序实现矩阵的加 减 乘 5 线性方程组的矩阵表示 设方程组为 可表示为 简记为 AX B A称为线性方程组的系数矩阵 将矩阵Am n的行换成同序数的列 列换成同序数的行所得的n m矩阵称为A的转置矩阵 记作AT或A 例如 则 6 矩阵的转置 1 定义 1 AT T A 2 A B T AT BT 3 A T AT 2 性质 例6 设 求 AB T 解法一 AB T BTAT 解法二 三 方阵 1 定义 则 其中 k l均为正整数 行数与列数相同的n n矩阵A称为方阵 n称为它的阶数 简记An 称为n阶单位矩阵 简记E 或I 显然 1 单位矩阵 0 0 2 几类特殊方阵 2 对角矩阵 结论 2 k为正整数时 3 上三角矩阵 下三角矩阵 上 下 三角矩阵的乘积是不是仍然是上 下 三角矩阵 练习 计算AB Ak 4 对称矩阵 1 若方阵A满足AT A 即aji aij 则称A为对称矩阵 2 若方阵A满足AT A 即aji aij 则称A为反对称矩阵 这时aii 0 i 1 2 n 例7 设A为任一方阵 证明 A AT为对称阵 A AT为反对称阵 故 A AT为对称阵 A AT为反对称阵 5 正交矩阵 若ATA E 或AAT E 则称A为一个正交矩阵 设A为n阶实矩阵 性质1 正交矩阵之积为正交阵 2 正交矩阵的转置为正交阵 3 正交矩阵的伴随矩阵为正交矩阵 4 正交矩阵的特征根的模等于1 6 酉矩阵 其中 AH T 性质1 AHA AAH I2 酉矩阵的逆为酉矩阵 乘积也为酉矩阵 1 酉矩阵的特征值为实数2 Hermite矩阵的特征向量正交 7 1 方阵A对应的行列式记为 A 或detA 若 A 0 则称方阵A是非奇异 非退化 的 否则 称A是奇异 退化 的 3 比较方阵与行列式 2 A n A 3 AB A B 例如 有 而 4 Am A m A1A2 Am A1 A2 Am 推广 练习 做个小程序求矩阵的转置 判断矩阵是否为单位阵 数量阵 三角阵 对称阵 正交阵 四 分块矩阵 如果用若干条贯穿矩阵的横线和纵线将矩阵A分成若干小块 这样的小块称为矩阵A的子块或子矩阵 而A可以看成是以子块为元素的矩阵 称A为分块矩阵 1 定义 例如 A11 A12 A21 A22 例8 设 利用分块矩阵求A B AB 解 将A B分块成 则 而 而 故 考察 AT 对于 2 分块矩阵的转置 注 设矩阵A aij m n分块为 则 若方阵A除主对角线上的子块外 其余子块都为O 且主对角线的子块均