第2章-2.4卷积2.5卷积性质

2 4卷积 卷积运算的定义求解LTI系统零状态响应的卷积方法连续时间信号的冲激表示卷积的图解说明 卷积运算的定义 对于任意两个信号f1 t 和f2 t 两者的卷积运算定义为 连续时间信号的冲激表示 任一信号x t 可用无限多个不同加权的冲激函数的 和 表示 冲激函数的抽样性质 任一信号x t 可用无限多个不同加权的冲激函数的 和 表示 求解LTI系统零状态响应的卷积方法 原理 将信号分解为冲激信号的加权和 借助冲激响应 求解系统对任一信号的零状态响应 问题提出 LTI 零状态 已知 t h t 若x t y t 当x t 能用 t 表示时 y t 能用h t 表示吗 推导 求解LTI系统零状态响应的卷积方法 已知 时不变 齐次性 叠加性 框图表示 例2 11已知系统的冲激响应 求输入时的响应y t 解 求解LTI系统零状态响应的卷积方法 求解LTI系统零状态响应的卷积方法 例2 12若系统为一积分器 I O方程为 试用卷积法求时的响应 解系统的冲激响应 当系统输入为阶跃函数时 由卷积公式 用一个完整的式子表示 时为零 积分下限推至0 t0时 当时 积分上限移至t 卷积的图解说明 公式步骤 1 变量代换 由t改为 2 反转 3 移位 在 坐标系中 t 0图形右移 t 0图形左移 4 两信号重叠部分相乘 5 完成相乘后图形的积分 即求上述乘积曲线下的面积 卷积的图解说明 例2 13已知求 解 卷积的图解说明 例已知求 解 1 t 0 卷积的图解说明 例已知求 解 1 t 0 2 0 t 1 卷积的图解说明 例已知求 解 1 t 0 2 0 t 1 3 1 t 2 卷积的图解说明 例已知求 解 1 t 0 2 0 t 1 3 1 t 2 4 2 t 3 卷积的图解说明 例已知求 解 1 t 0 2 0 t 1 3 1 t 2 4 2 t 3 5 t 3 于是 卷积的图解说明 例2 14已知系统的单位冲激响应 输入信号如右图所示 求系统响应 解输入信号为 用下式计算响应 1 t 1区间 卷积的图解说明 例2 14已知系统的单位冲激响应 输入信号如右图所示 求系统响应 解输入信号为 用下式计算响应 2 1 t 0区间 1 t 1区间 卷积的图解说明 例已知系统的单位冲激响应 输入信号如右图所示 求系统响应 解输入信号为 用下式计算响应 2 1 t 0区间 3 0 t 1区间 1 t 1区间 卷积的图解说明 例已知系统的单位冲激响应 输入信号如右图所示 求系统响应 解输入信号为 用下式计算响应 2 1 t 0区间 3 0 t 1区间 4 t 1区间 1 t 1区间 卷积的图解说明 例已知系统的单位冲激响应 输入信号如右图所示 求系统响应 解输入信号为 用下式计算响应 2 1 t 0区间 3 0 t 1区间 4 t 1区间 1 t 1区间 故响应为 2 5卷积的性质 与冲激信号的卷积交换律 代数运算 分配律 代数运算 结合律 代数运算 时间移位卷积后信号的长度卷积的微分卷积的积分卷积的微积分 与冲激信号的卷积 交换律 证明 注 两个函数卷积 其顺序可以交换 有时可使卷积简便 在系统分析中 卷积的交换律意味着一个单位冲激响应为h t 的LTI系统对输入x t 的响应与一个单位冲激响应为x t 的LTI系统对输入h t 的响应是一样的 分配律 分配律用于系统分析 相当于并联系统的冲激响应 等于组成并联系统的各子系统冲激响应之和 x t h1 t h2 t 结合律 结合律用于系统分析 相当于串联系统的冲激响应 等于组成串联系统的各子系统冲激响应的卷积 改变两个系统的级联顺序 系统总的响应保持不变 x t 时间移位 两信号卷积 h t h t t2 h t h t t2 x t y t x t y t t1 x t t1 x t t1 y t t1 t2 y t t2 时不变性质 卷积后信号的长度 例2 13 卷积的微分 证明 两个信号卷积后的微分等于其中一个信号微分后与另一个信号的卷积 特别地 卷积的高阶导数 i j为正整数 卷积的积分 特别地 证明 i j为负整数 卷积的多重积分 卷积的微积分 证明 推论 用处 如果相卷积的两个信号之一是奇异信号 可进行微积分变成 t 另一个信号只需单独做相反的积微分 使卷积运算变成微积分运算 与阶跃函数的卷积 积分器 与冲激偶函数的卷积 微分器 推广到一般情况 k表示求导或取重积分的次数 k取正整数表示导数阶次 k取负整数时为重积分的次数 例2 15