第2章_数字逻辑基础

第二章数字逻辑基础 2 1数字电路概述 2 2数的进制和二进制代码 2 3逻辑代数及其基本运算 2 4逻辑代数的定律和规则 2 5常用复合逻辑运算 2 6逻辑问题的几种表示方法 2 7逻辑函数的代数化简法 2 8逻辑函数的卡诺图化简法 教学目的1 熟悉数字电路的基本知识 2 熟练掌握数制 码制及相互之间转换 3 熟悉几种常用的编码 4 掌握逻辑代数三种基本运算 5 掌握逻辑代数的基本定律和常用公式 6 掌握逻辑代数的基本定律的证明方法 7 掌握逻辑函数的表示方法及之间的转换 8 熟练掌握用公式法化简逻辑函数 9 掌握掌握最小项的特点和表达式的标准形式 10 掌握卡诺图的建立 11 掌握卡诺图的特点 12 熟练掌握用卡诺图化简逻辑函数 13 掌握含有无关项的逻辑函数的化简 教学重点1 数制中二进制与十进制之间的相互转换 2 8421码 余三码 格雷码的特点 3 逻辑代数的基本定律的证明 4 逻辑代数的基本定律和常用公式 5 公式法化简逻辑函数 6 卡诺图化简逻辑函数 教学难点1 十进制数转换为二进制数方法 2 码制与数制的相互转换 3 逻辑代数的基本定律的证明 4 含有无关项的逻辑函数的化简 1 模拟信号与数字信号模拟信号 时间连续 数值也连续的物理量 具有无穷多的数值 数学表达式比较复杂 数字信号 时间不连续 数值也不连续的物理量 其数值大小和每次的增减变化都是某一最小数量单位的整数倍 2 模拟电路与数字电路在模拟电路中 晶体管一般工作在放大区 在数字电路中 晶体管工作在开关状态 即工作在饱和区和截止区 模拟电路一般研究输入输出信号的大小 相位 失真等方面的内容 而数字电路研究输入输出信号的逻辑关系 2 1概述 3 数字信号的表示 逻辑0和逻辑1 二值数字逻辑 可以用来表示彼此相关又对立的两种状态 例如 开与关 低与高等等 在电路上可用电子器件的开关特性实现 由此形成离散信号电压或数字电压 4 数字电路的基本知识 1 现代数字电路是用半导体工艺制成的若干数字集成器件构造而成 数字集成器件所用的材料以硅为主 3 从整体上来看 数字电路可分组合逻辑电路和时序逻辑电路两大类 逻辑门是合逻辑电路的基本单元 触发器是用来存储数据的基本电路 也是时序逻辑电路的基本单元 4 数字电路中所采用的分析工具是逻辑代数 表达电路的功能主要用功能表 真值表 逻辑表达式 卡诺图 逻辑图和波形图 2 从集成度来说 数字集成电路可分为小规模 中规模 大规模 超大规模和甚大规模等五类 所谓集成度是指每一芯片所包含的三极管 BJT或FET 的个数 基数 计数制中所用到的数字符号的个数 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 816 73 D 8 102 1 101 6 100 7 10 1 3 10 2 2 2 1十进制数 Decimal 2 2数的进制和二进制代码 位权 用来表示不同数位上数值大小的一个固定常数 又称权值 并列表示法 下面等式左边所示 多项式表示法 下面等式右边所示 2 2 22 2 32 2 4二进制 八进制和十六进制 1 二进制 Binary 逢二进一 0 12 八进制 Octal 逢八进一 0 1 2 3 4 5 6 73 十六进制 Hexadecimal 逢十六进一 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A 10 B 11 C 12 D 13 E 14 F 15 01234567 89101112131415 00000001001000110100010101100111 10001001101010111100110111101111 01234567 01234567 1011121314151617 89ABCDEF 表2 1常用的几种数制对照表 2 2 2不同进制数之间的转换 1 二进制数转换为十进制数方法 将二进制数按照位权展开 再按十进制运算规则运算 即可得到十进制数 2 十进制数转换为其它进制数方法 将整数部分和小数部分分别转换 然后合并起来 整数部分 a 将整数部分除以2 余数作为二进制数的最低位 b 把商再除以2 余数作为次低位 c 重复b步骤 直至商为0 最后的余数为最高位 小数部分 采用将小数部分逐次乘以2 取乘积的整数部分作为二进制的各有关数位 乘积的小数部分继续乘以2 直至最后乘积为0或者达到一定的精度为止 例1 将 25 625 10转换为二进制 0 a 2 1 a 3 25 625 10 11001 101 2 例2 将 0 39 10转换为二进制 要求精度为1 1 a 2 1 a 3 0 39 10 0 0110001 2 0 a 5 0 a 6 1 a 7 每四位2进制数对应一位16进制数 0011100101101001000 B 从末位开始四位组不够四位高位补零 00011100101101001000 B 1CB48 H 方法 十六进制的一位对应二进制的四位 3 二进制数与十六进制数之间相互转换 从小数点开始三位一组 1001110 1001 B 001001110 100100 B 116 44 O 4 二进制数与八进制数之间相互转换 方法 八进制的一位对应二进制的三位 2 2 3二进制代码 编码可以有多种 数字电路中所用的主要是二 十进制码 二 十进制编码是用四位二进制码的10种组合表示十进制数0 9 简称BCD码 BinaryCodedDecimal 1 二 十进制编码 BCD码 N BCD K3W3 K2W2 K1W1 K0W0 8421码 就是指W3 8 W2 4 W1 2 W0 1 2421码 就是指W3 2 W2 4 W1 2 W0 1 为了表示文字符号信息 往往采用一定位数的二进制数码表示 这个特定的二进制码称为代码 余3码 由8421码加上0011形成的一种无权码 常用BCD代码表 表1 2常用的几种BCD码 1 Gray码 格雷码 Gray码也称循环码 其最基本的特性是任何相邻的两组代码中 仅有一位数码不同 因而又叫单位距离码 Gray码另外一个特点就是具有反射特性 即按表中所示的对称轴为界 除最高位互补反射外 其余低位数沿对称轴镜像对称 利用这一反射特性可以方便地构成位数不同的Gray码 2 可靠性编码 2 奇偶检验码 奇偶检验码由两部分组成 一是信息位 位数不限的二进制代码 二是奇偶检验位 仅有一位 奇偶检验位由两种编码方式 奇检验位和偶检验位 例 二进制代码1100110的奇检验码为 11100110偶检验码为 01100110 表2 3Gray的反射特点及其与二进制数的关系 01 100101110111011010001000 01 0011 11100100 00001111 00000000 11111111 Gray码的最高位与相对应的二进制数的最高位相同 ASCII是AmericanNationalStandardCodeforInformationInterchange美国国家信息交换标准代码的简称 常用于通讯设备和计算机中 它是一组八位二进制代码 用1 7这七位二进制代码表示十进制数字 英文字母及专用符号 第八位作奇偶校验位 在机中常为0 3 ASCII码 3 字符代码 1 ISO编码 ISO编码是国际标准化组织编制的一组8位二进制代码 主要用于信息的传送 2 ASC编码 ACS码是美国信息交换标准化代码的简称 表2 4ASCII码 数制与BCD码之间转换 987 10 100110000111 8421 110010111010 余3 62 31 10 01100010 00110001 8421 2 将四位二进制码B B3B2B1B0 1010转换成四位格雷码G G3G2G1G0 111110 01001111 2 设某一逻辑电路的输入变量为A1 A2 An 输出逻辑变量为F 如果当A1 A2 An的值确定后 F的值就唯一被定下来 则F为A1 A2 An 的逻辑函数 记为 F f A1 A2 An 特点 1 逻辑变量与逻辑函数的取值只有0和1 2 函数与变量的关系由与 或 非三种运算决定 2 3 1逻辑代数的变量和正 负逻辑 F1 f1 A1 A2 An F2 f2 A1 A2 An 1 逻辑函数的定义 2 逻辑函数的相等 若对于A1 A2 An的任何一组取值 F1和F2的值都相等 称函数F1和F2相等 记为 F1 F2 判断函数相等的方法 1 列举法 真值表 2 公式证明法 2 3逻辑代数及其基本运算 3 逻辑值的概念在数字系统中 通常用逻辑真 条件或事件成立 和逻辑假 条件或事件不成立 状态来区分事物的两种对立的状态 逻辑真状态用 1 表示 逻辑假状态用 0 来表示 1 和 0 分别叫做逻辑真假状态的值 0 1只有逻辑上的含义 已不表示数量上的大小 4 高 低电平的概念 以两个不同确定范围的电位与逻辑真 假两个逻辑状态对应 这两个不同范围的电位称作逻辑电平 把其中一个相对电位较高者称为逻辑高电平 简称高电平 用H表示 而相对较低者称为逻辑低电平 简称低电平 用L表示 5 状态赋值和正 负逻辑的概念 状态赋值 把用符号1 0表示输入 输出电平高低的过程叫做状态赋值 正逻辑 用1表示高电平 用0表示低电平 称为正逻辑赋值 负逻辑 用0表示高电平 用1表示低电平 称为负逻辑赋值 2 3 2基本逻辑运算及基本逻辑门 1 与运算 逻辑关系 只有当一件事 灯亮 的几个条件 开关A与B都接通 全部具备之后 这件事 灯亮 才发生 在逻辑代数中 有与 或 非三种基本逻辑运算 1 与运算 a 设定变量 用A B表示开关A和开关B 用变量F表示灯 b 逻辑赋值 开关接通和灯亮用 1 表示 开关断开和灯灭用 0 得此逻辑问题的真值表 1 真值表 F A B 2 逻辑表达式 3 逻辑符号 又称逻辑与或逻辑乘 4 逻辑运算 0 0 00 1 01 0 01 1 1 2 或运算 1 真值表 F A B 2 逻辑表达式 3 逻辑符号 又称逻辑或 逻辑加 4 逻辑运算 0 0 00 1 11 0 11 1 1 逻辑关系 当一件事情 灯亮 的几个条件 开关A接通 开关B接通 中只要有一个条件得到满足 这件事 灯亮 就会发生 3 非运算 1 真值表 2 逻辑表达式 3 逻辑符号 又称逻辑非或逻辑反 4 逻辑运算 逻辑关系 一件事情 灯亮 的发生是以其相反的条件为依据的 即当开关A接通时 事件不发生 灯不亮 反之亦然 2 4逻辑代数的定律和规则 1 基本公式 1 用简单的公式证明略为复杂的公式 2 用真值表证明 等式两边函数的真值表是否一致 例证明消因子律 解 例用真值表证明反演律 公式证明 利用基本公式不难证明下列各式也是正确的 直接运用这些公式 可以给化简带来很大方便 2 常用公式 代入规则 在任何一个逻辑等式中 如果将等式两边出现的某变量A 都用一个函数代替 则等式依然成立 这个规则称为代入规则 例如 在B A C BA BC中 将所有出现A的地方都代以函数A D 等式仍成立 即B A D C B A D BC BA BD BC 对偶规则 L是一个逻辑表达式 如把L中的与 换成或 或 换成与 1换成0 0换成1 可得到一个新的逻辑函数式 这就是L的对偶式 记作 例如 则 对偶规则是指当某个逻辑恒等式成立时 其对偶式也成立 3 逻辑代数的3条规则 例 求的反函数时 按照上述法则 得 反演规则 根据摩根定律 求一个逻辑函数L的反函数时 可以将L中的与 换成或 或 换成与 再将原变量换为非变量 如A换成 非变量换为原变量 并将1换成0 0换成1 那么所得的逻辑函数式就是 这个规则称为反演规则 运用反演规则时必须注意两点 1 保持原来的运算优先顺序 即如果在原函数表达式中 AB之间先运算 再和其他变量进行运算 那么非函数的表达式中 仍然是AB之间先运算 2 两个及以上变量的公用非号应保留不变 例 反号不动 反号不动 反演规则与 或 互换 原变量 反变量互换 1 0互换 两种反演比较 例1 反演 反演规则与 或 互换 原变量 反变量互换 1 0互换 两种反演比较 例2 反演 1 与非逻辑 2 或非逻辑 3 与或非逻辑 4 异或逻辑与同或逻辑 异或 条件A B有一个具备 另一个不具备则F发生 同或 条件A B相同 则F发生 2 5常用的复合逻辑运算 1 真值表 真值表直观明了 把实际逻辑问题抽象为数学问题时 使用真值表很方便 真值表是将输入逻辑变量的所有可能取值与相应的输出变量函数值排列在一起而组成的表格 11 11 11 0000 真值表的特点 唯一性 输入变量按自然二进制递增顺序排列 n个输入变量有2n个不同的取值组合 表达式中的原变量对应真值表中1 反变量对应0 表达式中出现的变量组合其函数值为1 否则为0 2 6逻辑问题的几种表示方法 找出使函数值为1的变量取值组合 变量值为1的写成原变量 为0的写成反变量 这样对应于使函数值为1的每一个组合就可以写出一个乘积项 把这些乘积项加起来 可以得到函数的原函数的标准与或式 2 逻辑表达式 特点 简洁方便 便于利用公式和定理进行运算 变换 便于利用逻辑图实现函数 缺点是难以直接从变量取值看出函数值 F AB BC CA 把函数表达式输入变量间的逻辑关系用逻辑符号表示出来而得到的电路图 称逻辑图 3 逻辑图 一般可根据逻辑表达式画逻辑图 方法是把逻辑表达式中相应的运算用门电路的符号来代替 F AB BC CA的逻辑图如 把函数值为0的对应乘积项相加 则得反函数 4 波形图和卡诺图 波形图是数字电路的输入信号和输出信号随时间变化的电压或电流图形 卡诺图 KarnaughMap 是逻辑函数的一种图形表示方 诺图和真值表一样可以表示逻辑函数和输入变量之间的逻辑关系 2 7逻辑函数的代数化简法 1 化简的意义 逻辑函数表达式简单 逻辑图就简单 实现逻辑问题所需要的逻辑单元也就比较少 从而所需要的电路元器件少 电路便更加可靠 2 化简遵循的原则 1 逻辑电路所用的门最少 2 各个门的输入端级数要少 3 逻辑电路所用的级数要少 4 逻辑电路能可靠地工作 1 最简表达式 最简与或式 乘积项的项数最少 每个乘积项中变量个数最少 与 或表达式 与非 与非表达式 反演 与或非 反演 化简 或与表达式 反演 或非或非表达式 反演 1 并项法 2 逻辑函数的公式化简法 2 吸收法 3 消去法 4 配项法 解法2 解法3 答案都正确 最简结果的形式不唯一 例1 消去法 例2 反演 a 最小项的概念最小项是一个含有全部逻辑变量 且每个变量仅以原变量或反变量出现一次的与项 由最小项组成的或逻辑表达式称为最小项表达式 是逻辑表达式的标准形式之一 1 最小项及最小项表达式 2 6逻辑问题的几种表示方法 b 最小项的性质 a 对于任意一个最小项 有且只有一组变量取值使其值为1 b 相同变量构成的任意两个最小项的乘积为0 c 对于变量的任一组取值 全体最小项之和为1 d 对于变量的任一组取值 有且只有一个最小项的取值为1 e n个变量构成的最小项有n个相邻最小项 逻辑相邻 c 最小项的编号 以为例 变量取值为011 所以该最小项记为m3 最小项通常用mi表示 下标i是最小项的编号 在最小项中 原变量用1表示 反变量用0表示 对应的变量取值组合当成二进制数 与其对应的十进制就是该最小项的编号 d 逻辑函数的最小项表达式 最小项是组成逻辑函数的基本单元 任何逻辑函数都可以用与或表达式来表示 任何与或表达式都可以用配项的方法变换为标准的表达式 利用的基本运算关系 将逻辑函数中的每一项都化成包含所有变量的项 即 2 卡诺图的画法 a 两个变量的卡诺图 每对相邻小方格表示的最小项是逻辑相邻的 卡诺图实现了用几何相邻来表示逻辑相邻 b 三个变量的卡诺图 变量的取值按格雷码 循环码 排列 c 四个变量的卡诺图 d 五变量卡诺图 e 几何相邻 三种 相接相对相重 几何相邻均可化简 图中分别标出了m0和m27的5个逻辑相邻最小项 图中虚线均可作为对称轴 3 用卡诺图表示逻辑函数 a 根据逻辑函数的真值表 给出真值表时 根据逻辑函数的变量个数选择相应的卡诺图在对应于变量取值组合的每一小方块中 函数值为1时填1 为0时填0 即得函数的卡诺图 3 用卡诺图表示逻辑函数 b 根据最小项逻辑表达式 将对应的逻辑函数的最小项的小方格填入1 其它的方格填入0 例 画出函数Y A B C D m 0 3 5 7 9 12 15 的卡诺图 3 用卡诺图表示逻辑函数 c 根据一般逻辑表达式 首先将函数变换成一般与或式 在变量卡诺图中 把每一乘积项所包括的那些最小项对应的格子都填上1 剩下的填0 注意事项 每一乘积项包含的最小项的格子数是2 4 8 即2n 乘积相越简单 所包含的最小项的个数越多 4 用卡诺图化简逻辑函数 a 合并最小项规则 用卡诺图化简逻辑函数一般可按以下步骤进行 a 画出函数的卡诺图 b 画圈 长方形或正方形 合并最小项在卡诺图中 凡是相邻的最小项均可合并 2n个最小项合并消去n个变量 三变量卡诺图二相邻最小项的合并 消去1个变量 四变量卡诺图二相邻最小项的合并 三变量卡诺图四相邻最小项的合并 消去2个变量 四变量卡诺图四相邻最小项的合并 四变量卡诺图八相邻最小项的合并 消去3个变量 3 每一个圈中的公因子构成一个 与 项 然后将所有 与 项相加 得最简 与或 表示式 2 画圈 长方形或正方形 步骤 4