立体几何图形辅助线的思考策略.doc

立体几何图形辅助线的思考策略立体几何的证明或计算，离不开辅助线的探寻和构造，能否正确顺利地构造出所需要的辅助线是解题的关键特别是探索性的立体几何题，辅助线的探寻有一定的困难，但也有规律性，如果能够掌握不同情形下辅助线的构造策略，就能够做到不被具体图形所干扰，举一而反三【类型1】过空间一点作两条异面直线的公共交线【策略】设空间一点为O，异面直线分别为a，b，先构造由点O和直线a确定的平面，若b平行于，则所求作的公共交线不存在；若b不平行于，找出b与的交点，即可作出交线【例1】 棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点O是B1C的中点，M、N分别为BB1、AB的中点，过点O作直线l与AM交于点P，与CN交于点Q，求PQ的长度ABCDA1B1C1D1QNMEOP图1【解析】如图1，由点O与直线AM可以确定平面AMED，其中E为CC1的中点；延长CN交AD于点Q（点Q为直线CN与平面AMED的交点）；连接OQ交AM于点P，则PQ为所求线段 在直角梯形OEDQ中，不难计算得PQ= 【类型2】过空间一点确定一条直线与已知直线垂直【策略】通过三垂线定理及其逆定理将两条直线的空间垂直关系转化为某一平面内的垂直关系；或者过空间该点构造平面与已知直线垂直 【例2】已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面为正方形，点O为底面ABCD的中心，且A1在底面ABCD上的射影是点O，若点E、F分别在棱AA1、BC上，且AE=2EA1，问点F在何处时，EFAD？ABCDA1B1C1D1EFHO图2【解析】如图2，若EFAD，则EF在平面ABCD上的射影也垂直于BC；因为A1O平面ABCD，垂足为O，取AO上一点H，使AH：HO=2：1，则EHA1O，可得EH平面ABCD；在正方形ABCD中，作HFBC于点F，则点F即为所求，且BF：FC=1：2 【类型3】过空间一点作已知平面的垂线【策略】（1）过已知空间点构作两个平面分别垂直于已知平面内的两条直线，则两个平面的交线即为所求垂线；（2）不受所给空间点的限制，任作（或找）一条直线垂直于已知平面，再将该直线平移至所给空间点处 【例3】长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=2，AA1=3，点E是平面BCC1B1上的动点，点F是CD的中点，试确定点E的位置，使D1E平面AB1F BCDAB1C1D1A1FNGMEG1图3【解析】如图3，分别取BC、B1C1的中点G、G1，由正方形ABCD易知AFDG，所以AF平面D1DGG1；作A1MAB1交B1B于M，取C1C上一点N，使C1N：NC=B1M：MB，可得AB1平面A1MND1；设MN交GG1于点E，连接D1E，则有D1EAF，D1EAB，有D1E平面AB1F 由计算可得，B1M：MB=4：5 综上可确定E在平面BCC1B1内的位置 【例4】已知ABCD是正方形，DE平面ABCD，BF平面ABCD，且AB=BF=2DE，问：在EF上是否存在一点M，使三棱锥M-ACF是正三棱锥？若存在，试确定点M的位置；若不存在，请说明理由 EMFCBOAGD图4【解析】由题易知AC=AF=CF，即ACF为正三角形，又EOAC，EOOF，可得EO平面ACF；欲构成正三棱锥，则点M在平面ACF上的射影为ACF的中心G，G在OF上，且OG：GF=1：2；过点G作GMEO交EF于点M，则MGEO，于是有MG平面ACF，所以，在EF上存在一点M满足EM：MF=1：2，使三棱锥M-ACF是正三棱锥 【类型4】作两条异面直线的公垂线段【策略】公垂线与两条异面直线都相交，都垂直，且公垂线有且唯一，作起来颇有困难可以在不考虑相交的情况下，先利用线面平行、线面垂直等关系作出一条直线与两条异面直线都垂直，然后通过两次平移使其与两条异面直线都相交 【例5】已知正方形ABCD与正方形ADD1A1所在平面垂直，AB=a，求作异面直线A1D与AC的公垂线段PQ，并求PQ的长 MPCBOAD图5D11A1Q【解析】由题意及三垂线定理易得BD1同时垂直于异面直线A1D和AC；在BDD1中，取BD中点O，DD1中点M，显然OMBD1，且2OM=BD1；AMO中，记AM交A1D于点P，过P作PQOM交AO于点Q，则PQOM，即PQBD1，且3PQ=BD1 可得，PQ是异面直线A1D与AC的公垂线段，且PQ= 【类型5】过点确定直线与已知平面平行；或过直线确定平面与已知直线平行【策略】在不考虑点的情况下作直线与已知平面平行，或在不考虑直线的情况下作平面与已知直线平行 【例6】正方体ABCD-A1B1C1D1中，点Q在对角线B1D上，使A1B平面QAC，试确定点Q的位置 AQBCDA1B1C1D1图6O【解析】连接AD1、CD1，显然有CD1A1B，即有A1B平面ACD1；连接OD1交B1D于点Q，则点Q为所求，即有A1B平面QAC，同时，计算可得B1Q：QD=2：1 以上各类探索题都有一些共通点：探求满足给定的条件的点或线由于所探求的点或线满足的条件多，思考时不易找到切入点此