概率与数理统计-1-1

任课教师：赵阳,概率统计,办公室: 中心教学楼812 电话: 68912581 email: ,2. 气象、水文、地震预报、人口控制,及预测都与概率论紧密相关；,3. 产品的抽样验收，新研制的药品能,否在临床中应用，均要用到假设检验；,为什么要学习概率论与数理统计?,1.金融、信贷、医疗保险等行业策略制定；特别是经济学中研究最优决策和经济的稳定增长等问题 , 都大量采用概率统计方法.,7. 探讨太阳黑子的变化规律时,时间,可夫过程 来描述;,8. 研究化学反应的时变率，要以马尔,序列分析方法非常有用;,5. 电子系统的设计, 火箭卫星的研制及其,发射都离不开可靠性估计;,4. 寻求最佳生产方案要进行实验设计,和数据处理；,6. 处理通信问题, 需要研究信息论；,1654年,一个名叫梅累的骑士就“两个赌徒约定赌若干局, 且谁先赢 c 局便算赢家, 若在一赌徒胜 a 局 ( ac ),另一赌徒胜b局(bc)时便终止赌博,问应如何分赌本” 为题求教于帕斯卡, 帕斯卡与费马通信讨论这一问题, 于1654 年共同建立了概率论的第一个基本概念,概率论与数理统计的诞生和发展,使 概率论 成为 数学的一个分支的真正奠基人是瑞士数学家J.伯努利；而概率论的飞速发展则在17世纪微积分学说建立以后.,第二次世界大战军事上的需要以及大工业,与管理的复杂化产生了运筹学、系统论、信息,论、控制论与数理统计学等学科.,数理统计学是一门研究怎样去有效地收集、,整理和分析带有随机性的数据，以对所考察的,问题作出推断或预测，直至为采取一定的决策,和行动提供依据和建议的 数学分支学科.,概率论与数理统计,课程介绍: 48学时, 共讲8章.5章是概率论，章是数理统计,本课程教材选用概率论与数理统计，北京大学数学科学学院，何书元.,概率论与数理统计（浙江大学，盛骤，谢式千，潘承毅 编，,参考教材：,1 预习, 课堂上认真听讲, 以听，思考为主, 不需要记笔记, 课件的下载地址：,学习方法：,2 作业。要用数学语言写出来。不能抄袭。每周交一次。每次重点检查作业总数的二分之一，作业的收交和完成情况有一个详细的登记, 缺交作业将直接影响学期总评成绩 。,只有期末考试，由作业， 小测验(约30%)， 期末(约70%)成绩确定总评成绩，记入成绩单（归入档案）。按学分制的要求, 只以最基本的内容进行考试, 大体上考课堂教学和所布置作业的内容,考试：,一、必然现象与随机现象,1、必然现象：,在一定条件下肯定会发生的现象,如水100C沸腾，飞机的起落等,2、偶然现象或随机现象,经典的数学理论如微积分学、微分方程等都是研究确定性现象的有力的数学工具。,在一定条件下，具有多种可能的结果，但事先又不能预知确切的结果,第一章 古典概型与概率空间,1.1 试验与事件,实例1 在相同条件下掷一枚均匀的硬币，观察正反两面出现的情况.,结果有可能出现正面也可能出现反面.,结果有可能为:,1, 2, 3, 4, 5 或 6.,实例2 抛掷一枚骰子,观 察出现的点数.,2. 随机现象在一次观察中出现什么结果具有偶然性, 但在大量试验或观察中, 这种结果的出现具有一定的统计规律性 , 概率论就是研究随机现象这种本质规律的一门数学学科.,随机现象是通过随机试验来研究的.,问题 ： 什么是随机试验?,如何来研究随机现象?,说明,1. 随机现象揭示了条件和结果之间的非确定性联系 .,1. 可以在相同的条件下重复地进行;,2. 每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试验的所有可能结果;,3. 进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现.,在概率论中,把具有以下三个特征的试验称为随机试验.,定义,二、随机试验,说明,1. 随机试验简称为试验, 是一个广泛的术语.它包括各种各样的科学实验, 也包括对客观事物进行的 “调查”、“观察”或 “测量” 等.,2. 随机试验通常用 S 来表示.,S1: 抛一枚硬币，分别用“H(head)” 和“T(tail)” 表示正面朝上和反面朝上，观察出现的结果，可能是“H” 或“T”;,S2 ：将一枚硬币抛掷三次，观察正面、反面出现 的情况，可能的结果是：, HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT ,S3：将一枚硬币抛掷三次，观察出现正面的次数。, 0, 1, 2, 3 ,可能的结果是：,S4:掷一颗骰子，考虑可能出现的点数；, 1, 2, 3, 4, 5, 6 ,S6：在一批灯泡中任意抽取一只，测试它的寿命。, t | t 0 ,S7：记录某地一昼夜的最高温度和最低温度。, ( x , y ) | T0 x , y T1 ,S5:记录某段时间内电话交换台接到的呼唤次数，可能是0，1，2，；,1 样本空间,随机试验S的所有可能结果组成的集合，称为S的样本空间，用 表示，记为,样本空间的元素 ，也称为样本点.,S1 : H , T S2 : HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT S3 : 0, 1, 2, 3 S4 : 1, 2, 3, 4, 5, 6 ,S5 : 0,1,2,3S6 : t | t 0 S7 : ( x , y ) | T 0 x , y T1 ,S6 中 t|t1000表示 “灯泡是次品” t|t 1000表示 “灯泡是合格品” t|t1500 表示“灯泡是一级品,投掷一枚骰子的样本空间是A=3 表示掷出3点, 则A是 的子集.我们称A是事件.掷出3点, 就称事件A发生, 否则称事件A不发生.用集合B=2,4,6表示掷出偶数点, B是 的子集, 我们也称B是事件.当掷出偶数点, 称事件B发生, 否则称事件B不发生. 事件B发生和掷出偶数点是等价的.,2、随机事件,定义,随机试验S的样本空间的某些子集称为随机事件，简称为事件，它常用大写字母A，B，C表示. 任意随机事件都是样本空间的某一个子集.,在一次试验中，事件A发生的含义是，当且仅当A中一个样本点发生（或出现）。事件A发生也称为事件A出现,事件的发生,用 表示集合A的余集.则事件A发生和样本点 是等价的,事件A不发生和样本点 是等价的.,特殊的事件：,： 在每次试验中必出现 中一个样本点，即在每次试验中 必发生, 因此称 为必然事件;,：在每次试验中，所出现的样本点都不在中，即在每次试验中 都不发生，因此称 为不可能发生的事件。,基本事件：由一个样本点组成的单点集，称为基本事件 复合事件,三： 事件的关系与运算,1,事件的关系与运算,（1）若AB，则称事件B包含事件A，事件A包含于事件B，指的是事件A发生必然导致B发生,（2）若AB，BA，即A=B，则称事件A与事件B相等。,“A、B中至少有一个发生时”， “A发生或B发生”与“事件AB发生”是等价的。,“事件A和B同时发生”， “A和B都发生”与“事件AB发生”是等价的。,类似地，,若事件A1,An,中任意两个事件是互不相容的，则称这可列无穷多个事件是互不相容的。,（6）若AB=，称为事件A与事件B互不相容，或互斥。, 在每次试验中，事件A、B中必有一个发生，且仅有一个发生。,对立事件必为互不相容事件；互不相容事件未必为对立事件,（7）若AB= , AB=，称事件A与事件B为对立事件。,吸收律,幂等律,差化积,重余律,8）.运算律,对应,交换律,结合律,分配律,De Morgan定律:,对于一个具体事件，要学会用数学符号表示；反之，对于用数学符号表示的事件，要清楚其具体含义是什么.,例1 袋中装有2只白球和1只黑球。从袋中依次任意地摸出2只球。设球是编号的：白球为1号、2号，黑球为3号。(i,j)表示第一次摸得i号球，第二次摸得j号球的基本事件，则这一试验的样本空间为： =(1,2),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,2) 而且可得到下列随机事件A=(3,1),(3,2)=第一次摸得黑球；B1=(1,2),(1,3),(2,1),(2,3)=第一次摸得白球；B2=(1,2),(2,1),(3,1)，(3,2)=第二次摸得白球C=(1,2),(2,1)=两次都摸得白球=B1B2；D=(1,3),(2,3)=第一次摸得白球，第二次摸得黑球；G=(1,2),(2,1)=没有摸到黑球。,例2：从一批产品中任取两件，观察合格品的情况. 记 A=两件产品都是合格品，,若记 Bi =取出的第 i 件是合格品，i=1,2,=两件产品中至少有一个是不合格品,A=B1B2,问如何用 Bi 表示A和 ？,1. A发生, B与C不发生,例3 设A、B、C为三个事件，用A、B、C的运算关系表示下列各事件.,或,2. A与B都发生,而C不发生,或,3. A、B、C中至少有一个发生,4. A、B、C都发生,或,ABC,恰有1个发生,恰有2个发生,3个都发生,5. A、B、C中至少有两个发生,或,6. A、B、C都不发生,恰有2个发生,3个都发生,或,7. A、B、C中不多于一个发生,恰有2个不发生,3个都不发生,或,至少有2个不发生,8. A、B、C 中不多于两个发生,或,或,至少有1个不发生,注意,在大量重复一随机试验时，会发现，有些事件发生的次数多一些，有些事件发生的次数少一些。也就是说，有些事件发生的可能性大一些，有些事件发生的可能性小一些,将表征随机事件发生可能性大小的数称为事件的概率,如何度量事件发生的可能性呢？,记为P(A),23 古典概率模型 概率的公理化定义,历史上概率的三次定义, 几何概率, 统计概率, 古典定义,苏联数学家柯尔莫哥洛夫给出,公理化定义,一 等可能概率模型（古典概型）,1 等可能概率模型具有下列两个特征： 样本空间 只含有有限个元素 试验中，每个基本事件发生是等可能的这类随机现象在概率论发展初期即被注意，许多最初的概率论结果也是对它作出的，一般把这类随机现象的数学模型称为古典概型。古典概型在概率论中占有相当重要的地位，它具有简单、直观的特点，且应用广泛。,如何理解古典概型中的等可能假设？,等可能性是古典概型的两大假设之一，有了这两个假设，给直接计算概率带来了很大的方便。但在事实上，所讨论问题是否符合等可能假设，一般不是通过实际验证，而往往是根据人们长期形成的“对称性经验”作出的。例如，骰子是正六面形，当质量均匀分布时，投掷一次，每面朝上的可能性都相等；装在袋中的小球，颜色可以不同，只要大小和形状相同，摸出其中任一个的可能性都相等。因此，等可能假设不是人为的，而是人们根据对事物的认识一对称性特征而确认的。,用 , 分别表示事件A和样本空间 中样本点的个数.定义2.1设试验S属于古典概型，其样本空间 是有限集合： 则称 (2.1) 为试验S下A发生的概率, 简称为事件A的概率.,2 古典概率的定义,3古典概率的基本性质,设S是古典概型，其样本空间为,A，A1，A2，An是 中事件,则有, 0P（A）1, P（ ）=1，P（）=0, 若A1，A2，An是互不相容的事件，则有,二 、统计概率,古典概率要求很严格，特别是基本事件等可能，,这一点很难做到。,重复掷一颗骰子， 会发现4，5，6出现的次数要多一些，这是因为重心要向1，2，3面倾斜,许多情况下：需要通过大量重复试验，来考察统计规律性。,在n次重复试验中，若事件A发生了m次，,则 f=m/n 称为事件A发生的频率。,不可能事件的频率一定为0。,必然事件的频率一定为1。,实例 将一枚硬币抛掷 5 次、50 次、500 次, 各做 7 遍, 观察正面出现的次数及频率.,波动最小,随n的增大, 频率 f 呈现出稳定性,从上述数据可得,(2) 抛硬币次数 n 较小时, 频率 f 的随机波动幅度较大, 但当 n 逐渐增大时频率 f 总是在 0.5 附近摆动, 且逐渐稳定于 0.5.,(1) 频率有随机波动性,即对于同样的 n, 所得的 f 不一定相同;,统计概率定义,频率当 n 较小时波动幅度比较大，当 n 逐渐增大时 ， 频率趋于稳定值，这个稳定值从本质上反映了事件在试验中出现可能性的大小它就是事件的概率,这种稳定性为用统计方法求概率的数值开拓了道路.,出时，人们常取实验次数很大时事件的频率作为概率的估计值，,在实际中，当概率不易求,年份 新生儿总数 男婴儿数 女婴儿数 男婴频率 女婴儿频率,1977 3670 1883 1787 0.5131 0.4869,1978 4250 2177 2073 0.5122 0.4878,1979 4055 2138 1917 0.5273 0.4727,1980 5844 2955 2889 0.5056 0.4944,1981 6344 3271 3073 0.5156 0.4844,1982 7231 3722 3509 0.5147 0.4853,6年总计 31394 16146 15248 0.5148 0.4852,可以认为生男孩的概率近似值为0.515,这种概率只能通过统计得出。,如某妇产医院几年间出生婴儿的性别记录为：,医生在检查完病人的时候摇摇头“你的病很重，在十个得这种病的人中只有一个能救活. ”当病人被这个消息吓得够呛时，医生继续说“但你是幸运的.因为你找到了我，我已经看过九个病人了，他们都死于此病.”,医生的说法对吗？,请同学们思考.,频率的基本性质,（1） 对任意事件A，有,（2）,（3）若A1，A2，An是互不相容的，则,三、几何概率,考虑一个点等可能地随机落在0,1区间。,1,若问事件C:点落在0.5处的概率。,显然 P(A)=0,但A不是不可能事件。,问事件A：点落在0与0.3之间的概率。,P(B)=0.5,这种与几何测量有关的概率称为几何概率。,问事件B：点落在0与0.5之间的概率。,解： 以 X , Y 分别表示甲乙二人到达的时刻，于是,即 点 M 落在图中的阴影部分。所有的点构成一个正方形，即有无穷多个结果。由于每人在任一时刻到达都是等可能的，所以落在正方形内各点是等可能的。,例 2 (会面问题）甲、乙二人约定在 0点到 5 点之间在某地会面，先到者等一个小时后即离去设二人在这段时间内的各时刻到达是等可能的，且二人互不