概率与数理统计-1-3

,在解决许多概率问题时，往往需要求在有某些附加信息(条件)下事件发生的概率。,一. 条件概率的概念,通常记事件B发生的条件下, 事件A发生的概率为P(A|B)。,4条件概率,P(A )=1/6，,例如：掷一颗均匀骰子，A=掷出2点 ，,B=掷出偶数点，,P(A|B)=？,已知事件B发生，相当于原试验加了一个条件，此时新试验所有可能结果构成的集合就是B（新试验下的样本空间）。,于是，P(A|B)= 1/3。(直接推广不方便),B中共有3个元素，每个元素出现是等可能的，且其中只有1个(2点)在集合A中。,容易看到：,P(A|B),若事件B已发生,相当于原试验加了一个条件，此时新试验所有可能结果构成的集合就是B（新试验下的样本空间），新试验下 A也发生 等同于AB发生。,设A、B是两个事件，且P(B)0，则称 (1),二. 条件概率的定义,为在事件B发生条件下，事件A的条件概率。,对于古典概型,P(A|B),三. 条件概率的性质,(i). 对任一事件A，0P(A|B)1;,(ii). 规范性： P ( | B) =1 ；,(2) 对于事件 B, C, 当 时有,证明：对任意事件A1和A2 ,互不相容，有 P(A1A2|B)=P(A1|B)+P(A2|B）,其他性质请同学们自行写出。,例如：对任意事件A1和A2 ,有 P(A1A2|B)=P(A1|B)+P(A2|B)- (A1A2|B),证,四. 条件概率的计算,1) 用定义计算:,P(B)0。,P(A|B）=,B发生后的缩减样本空间所含样本点总数,在缩减样本空间中A所含样本点个数,（2） 在缩减的样本空间上计算,例1 ：掷两颗均匀骰子, 已知第一颗掷出6点,问“掷出点数之和不小于10”的概率是多少?,解法1:,解法2:,解: 设A=掷出点数之和不小于10， B=第一颗掷出6点。,应用定义,在B发生后的缩减样本空间中计算,原试验样本总数：36,例2、袋中装有2n个白球，2n-1个黑球，从中随机地取出n个球，若发现 取出的n个球都是同一种颜色，求它们都是白球的概率。,解：设A=“取出的n个球是同一种颜色” B=“取出的n个球都是白球”,法一：（公式法）,法二：（直接法）将条件事件A考虑到试验E中，新试验样本总数,新实验下样本总数,例3: 设某种动物由出生算起活到20年（包含20)以上的概率为0.8，活到25年(包含25)以上的概率为0.4。问现年20岁的这种动物，它能活到25岁以上的概率是多少？,解:设A=能活20年以上, B=能活25年以上，,依题意， P(A)=0.8, P(B)=0.4，,所求为P(B|A) 。,条件概率P(A|B)与P(A)的区别,每一个随机试验都是在一定条件下进行的，设A是随机试验的一个事件，则P(A)是在该试验条件下事件A发生的可能性大小。,P(A)与P(A |B)的区别在于两者发生的条件不同,在数值上一般也不同。,而条件概率P(A|B)是在原条件下又添加“B发生”这个条件时A发生的可能性大小，即P(A|B)仍是概率。,条件概率P(A|B)与P(A)数值关系,条件概率P(A|B)是在原条件下又添加“B发生”这个条件时A发生的可能性大小. 那么,是否一定有:,或 P(A|B) P(A)?,P(A|B) P(A)?,请思考！,请看演示,“条件概率与概率的相对大小”,由条件概率的定义：,即 若P(B)0, 则 P(AB)=P(B)P(A|B) , (1),而 P(AB)=P(BA)，,五、 乘法公式,在已知P(B), P(A|B)时, 可反解出P(AB)。,将A、B的位置对调，有,故 P(A)0,则P(AB)=P(A)P(B|A) 。 (2),若 P(A)0, 则P(BA)=P(A)P(B|A) ，,(1)和(2)式都称为乘法公式, 利用它们可计算两个事件同时发生的概率。,例1 甲、乙、丙三人参加面试抽签，每人的试题通过不放回抽签的方式确定。假设被抽的10个试题中有4个难题签，按甲、乙、丙次序抽签，试求甲抽到难题签，甲和乙都抽到难题签，甲没抽到难题签而乙抽到难题签，甲、乙、丙都抽到难题签的概率。 。,解 设A、B、C分别表示甲、乙、丙抽到难题签的事件,乘法公式应用举例,一场精彩的足球赛将要举行, 5个球迷好不容易才搞到一张入场券.大家都想去,只好用抽签的方法来解决.,5张同样的卡片,只有一张上写有“入场券”,其余的什么也没写. 将它们放在一起,洗匀,让5个人依次抽取.,后抽比先抽的确实吃亏吗？,例2:,到底谁说的对呢？让我们用概率论的知识来计算一下,每个人抽到“入场券”的概率到底有多大?,“大家不必争先恐后，你们一个一个按次序来，谁抽到入场券的机会都一样大.”,我们用Ai表示“第i个人抽到入场券” i1,2,3,4,5.,显然，P(A1)=1/5，P( )4/5,第1个人抽到入场券的概率是1/5.,也就是说，,则 表示“第i个人未抽到入场券”,因为若第2个人抽到了入场券，第1个人肯定没抽到.,由于,由乘法公式,也就是要想第2个人抽到入场券，必须第1个人未抽到，,P(A2)= (4/5)(1/4)= 1/5,这就是有关抽签顺序问题的正确解答.,同理，第3个人要抽到“入场券”，必须第1、第2个人都没有抽到. 因此,(4/5)(3/4)(1/3)=1/5,继续做下去就会发现, 每个人抽到“入场券” 的概率都是1/5.,抽签不必争先恐后.,也就是说，,摸球试验,解,例3,此模型被波利亚用来作为描述传染病的数学模型.,显然 P(A|B)=P(A),这就是说,已知事件B发生,并不影响事件A发生的概率,这时称事件A、B独立.,一、两事件的独立性,A=第二次掷出6点， B=第一次掷出6点，,先看一个例子：,将一颗均匀骰子连掷两次，,设,5 独立性,由乘法公式知，当事件A、B独立时，有 P(AB)=P(A) P(B),P(AB)=P(B)P(A|B),用P(AB)=P(A) P(B)刻划独立性,比用 P(A|B) = P(A) 或 P(B|A) = P(B) 更好,它不受P(B)0或P(A)0的制约.,若两事件A、B满足 P(AB)= P(A) P(B) 则称A、B独立，或称A、B相互独立.,两事件独立的定义,例1 从一副不含大小王的扑克牌中任取一张，记 A=抽到K, B=抽到的牌是黑色的,可见, P(AB)=P(A)P(B),由于 P(A)=4/52=1/13,说明事件A、B独立.,问事件A、B是否独立？,解：,P(AB)=2/52=1/26,P(B)=26/52=1/2,在实际应用中,往往根据问题的实际意义去判断两事件是否独立。,由于“甲命中”并不影响“乙命中”的概率，故认为A、B独立 。,(即一事件发生与否并不影响另一事件发生 的概率)。,一批产品共n件，从中抽取2件，设 Ai=第i件是合格品， i=1,2。,若抽取是有放回的, 则A1与A2独立。,因为第二次抽取的结果受到 第一次抽取的影响。,又如：,因为第二次抽取的结果不受第一次抽取的影响。,若抽取是无放回的，则A1与A2不独立。,请问：如图的两个事件是独立的吗？,即 若A、B互斥，且P(A)0, P(B)0,则A与B不独立.,反之，若A与B独立，且P(A)0,P(B)0, 则A 、B不互斥.,若P(A) 0, P(B) 0,故 A、B不独立,我们来计算：,P(AB)=0,若P(A)0,P(B)0, A与B独立与A与B互不相容不能同时成立,设A、B为互斥事件，且P(A)0,P(B)0,下面四个结论中，正确的是：,前面我们看到独立与互斥的区别和联系，,1. P(B|A)0 2. P(A|B)=P(A)3. P(A|B)=0 4. P(AB)=P(A)P(B),设A、B为独立事件，且P(A)0,P(B)0,下面四个结论中，正确的是：,1. P(B|A)0 2. P(A|B)=P(A)3. P(A|B)=0 4. P(AB)=P(A)P(B),再请你做个小练习.,=P(A)1- P(B),= P(A)- P(AB),P(A )= P(A - A B),概率的性质,= P(A)- P(A) P(B),仅证A与 独立,定理 2 若两事件A、B独立, 则,也相互独立.,证明,= P(A) P( ),故 A与 独立,例2 设事件A 与B 相互独立，P(A)=0.4,P(B )=0.3，求,解：,注意,三个事件相互独立,三个事件两两相互独立,二 多事件相互独立的概念,n 个事件相互独立,n个事件两两相互独立,推广,包含等式总数为：,反例 随机投掷编号为 1 与 2 的两个骰子 事件A 表示1号骰子出现奇数 B 表示2号骰子出现奇数 C 表示两骰子出现的点数之和为奇数,则,但,独立性质,若 n 个事件 A1, A2, , An 相互独立,将这 n 个事件任意分成 k 组,同一个事件不能 同时属于两个不同的组,则对每组的事件 进行求和、积、差、对立等运算所得到 的 k 个事件也相互独立.,3,n个独立事件和的概率公式:,设事件 相互独立,则,P(A1+An),也相互独立,也就是说，n个独立事件至少有一个发生的概率等于1减去各自对立事件概率的乘积.,则“ 至少有一个发生”的概率为,P(A1+An) =1- (1-p1 ) (1-pn ),类似可以得出：,=1- p1 pn,对独立事件，许多概率计算可得到简化：,例3: 三人独立地去破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为1/5，1/3，1/4，问三人中至少有一人能将密码译出的概率是多少？,解：将三人编号为1，2，3，,三、独立性概念在计算概率中的应用,所求为 P(A1+A2+A3)。,记 Ai=第i个人破译出密码 ， i=1,2,3。,已知 ：P(A1)=1/5, P(A2)=1/3, P(A3)=1/4。,P(A1+A2+A3),=1-1-P(A1)1-P(A2)1-P(A3),则,请看演示,“诸葛亮和臭皮匠”,即,例6系统可靠性问题）一个元件能正常工作的概率称为这个元件的可靠性。一个系统能正常工作的概率称为这个系统的可靠性下面是一个串并联电路示意图. A、B、C、D、E、F、G、H 都是电路中的元件. 它们下方的数是它们各自正常工作的概率. 求电路正常工作的概率.,解 将电路正常工作记为W，由于各元件独立工作，有,其中,P(W) 0.782,代入得,练习1 设在10个同一型号的元件中有7个一等品，从这些元件中不放回地连续取三次，每次取一个元件，求（1）三次都取得一等品的概率；（2）三次中至少有一次取得一等品的概率。,解,设,