概率与数理统计-5-1

第五章 大数定律与中心极限定理,5.2 大数定律5.3 中心极限定理,本章要解决的问题,为何能以某事件发生的频率 作为该事件的 概率的估计？,为何能以样本均值作为总体 期望的估计？,为何正态分布在概率论中占 有极其重要的地位？,大样本统计推断的理论基础 是什么？,大数定律,中心极限定理,频率稳定性:,投n次硬币, 出现正面的频率逐渐接近于,问题：如何精确的描述这种稳定性呢,5.2 大数定律,发生的频率为,则,实例,正面朝上,“抛硬币”试验,将一枚硬币连续抛 次,记,是随机变量列,分 析,次试验中,试验结果:,设想一下,会不会出现这样的试验结果:,正面朝上,反面朝上,？,发生的次数,贝努里（Bernoulli） 大数定律,设 nA 是 n 次独立重复试验中事件 A 发生的次数, p 是每次试验中 A 发生的概率，则,有,或,证 引入随机变量序列Xk,据题意,因为,相互独立，,由Chebyshev 不等式,故,在概率的统计定义中，事件 A 发生的频率,“ 稳定于”事件 A 在一次试验中发生的概率是指：,贝努里（Bernoulli） 大数定律的意义：,定义1,a 是一常数，,(或,则称随机变量序列,依概率收敛,于常数 a , 记作,是一系列随机变量，,设,命题:依概率收敛序列的性质:,注 常数 a可用随机变量Y来代替,Chebyshev 大数定律,(指任意给定 n 1, 相互独立)，且具有相同的数学期望和方差,或,在 Bernoulli 定理的证明中，Y n 是相互独立的服从 0-1分布的r.v.序列 Xk 的算术平均值,定理的意义：,当 n 足够大时，算术平均值几乎就是一个常数,可以用算术平均值近似地代替数学期望.,具有相同数学期望和方差的独立随机变量序列的算术平均值依概率收敛于数学期望.,注：,有,辛钦大数定律,说明 （1）在不变的条件下，重复测量n次得到n个观察值，x1, x2, , xn可看作服从同一分布的n个相互独立的随机变量X1, X2, , Xn的试验值。（2）n充分大时， x1, x2, , xn的算术平均值与期望值的误差依概率任意小。（3）n不太大时，x1, x2, , xn的算术平均值与期望值的误差可能较大，所以，实际计算平均值时往往采取“去掉几个最高、几个最低”的办法。,上述结论称为弱大数律,解,由辛钦定理知,例1,Monte Carlo 方法或称为计算机随机模拟方法、计算机仿真方法是科学与工程中的一种重要工具. Monte Carlo 方法的原理主要基于大数定律.,例,设计算机屏幕上有一矩形区域 不妨设 的面,积为 现用鼠标在 的内部任画一封闭曲线 求 围成,的内部图形 的面积,大数定律的实际应用,-Monte Carlo方法,分析,量(随机点),立、均服从 上均匀分布的随机变,用计算机产生一串相互独,落入 中个数,由伯努利大数定律有,记事件 产生的随机点落入 中,故当 充分大时 的面积,例2,类似于(2.6)的结果称为强大数律 (strong law of large numbers). 从强大数律结论(2.6)知道概率的频率定义是合理的。,强大数律结论比弱大数律结论要强:,5.3 中心极限定理,在数学分析中，计算有限函数和，有时不太容易，如：,设有限个独立同分布随机变量,在一些较松的条件下，和的极限分布就是正态分布呢，此类定理就是中心极限定理,可否考虑用极限的方法来计算呢？,令 Sn = X1 + X2 + + Xn.,则Sn为n次独立试验中成功的次数,Sn B(n,p)。,从演示看出 时,Sn的分布形状很象正态分布。,例1. 二项分布,则Xj iid B(1,p)(两点分布)。,独立地重复某一试验，设,若Xjiid P( ), 则由3.4的例4.1知道部分和,例2. Poisson(泊松)分布,从演示看出 时,Sn的分布形状很象正态分布。,定理1 独立同分布的中心极限定理,则对于任意实数 x ,注1：,则 Y n 为,的标准化随机变量.,即 n 足够大时，Y n 的分布函数近似于标准正态随机变量的分布函数,记,近似,近似服从,特别地,注2：,在实际问题中，若某随机变量可以看作是有相互独立的大量随机变量综合作用的结果，每一个因素在总的影响中的作用都很微小，则综合作用的结果服从正态分布.,中心极限定理的意义,中心极限定理是概率论中最著名的结果之一，它不仅提供了计算独立随机变量之和的近似概率的简单方法，而且有助于解释为什么很多自然群体的经验频率呈现出钟形曲线这一值得注意的事实.,推论（棣莫佛-拉普拉斯中心极限定理）设随机变量Yn服从参数为n , p的二项分布(n=1, 2, , 0p1)，则对于任意实数x, 恒有,证 由于服从二项分布的随机变量Yn可视为n个相互独立的、服从同一参数 p 的 0-1 分布的随机变量 X1, X2, , Xn 之和:,其中,由定理1有结论成立。,Y n N (np , np(1-p) (近似),说明,设 Y n B( n , p) , 0 p 1920),E(Y)=1600,D(Y)=160000,P(Y1920)=1-P(Y1920),=1-(0.8),1-,=1-0.7881=0.2119,解 设X表示500 辆的士中出事故的车辆数，则 X服从n=500, p=0.006的二项分布, 这时,保险公司一年赚钱不小于200000元的事件为,即事件0X4,从而有,例2 某出租车公司有500辆的士参加保险，在一年里每辆出事故的概率为0.006，参加保险的的士每年交800元的保险费若出事故，保险公司最多赔钱50000元，试利用中心极限定理，计算保险公司一年赚钱不小于200000元的概率,可见，保险公司在一年里赚钱不小于200000元的概率为0.7781.,由德莫佛-拉普拉斯极限定理,例3 在抽样检查某种产品的质量时，如果发现次品多于10个，则拒绝接受这批产品设产品的次品率为10，问至少应抽查多少个产品进行检查，才能保证拒绝这批产品的概率达到0.9？ 解 设应抽