溶质运移理论-（三）水动力弥散方程的解析解法

地下水溶质运移理论及模型,第四章 水动力弥散方程的解析解法,中国地质大学环境学院2014春,2,一、基本解,基本解 将瞬时注入点源问题的解称为基本解。由基本解出发，利用叠加原理到处线源、面源、多点源及连续注入问题的解。三维空间瞬时点源 （1）均质各向同性； （2）静止流场 ，弥散系数为常数，即 ，流体密度为常数； （3）t=0时，在原点处瞬时注入质量为m的溶质； （4）瞬时点源位置为坐标原点；,3,一、基本解,对流弥散方程简化成D表示多孔介质分子扩散系数,浓度C对称于原点分布,取半径为R和R+dR的两个球面所构成的单元体为均衡段，根据质量均衡得,4,一、基本解,问题写成,略去高阶变量,5,一、基本解,问题写成,略去高阶变量,6,一、基本解,根据因次分析中的定理设,将m、n合并成新变量m/n，得,和,对该问题，有两个独立的参数，依定理有,1、2可有多种组合，但上述组合可得到最简单的常微分方程，即,7,一、基本解,（4-11）,8,一、基本解,将定解条件做适当变换,通过Boltzmann变换，将偏微分变成常微分,对于式（4-11），令,9,一、基本解,代入（4-15）,（4-15）,讨论并计算得,代入得最终结果,10,一、基本解,分析上式得,（4-20）,空间瞬时点源的解,等浓度面为圆心位于原点处的球面；浓度空间分布情况如图所示；,11,一、基本解,任何时刻处浓度最大值在原点随时间增加，原点处浓度减少由于或 ，浓度为原点的1%,随时间推移，弥散晕范围逐步扩大,12,一、基本解-空间瞬时无限线源与平面瞬时点源,一口承压完整井中瞬时注入示踪剂，求浓度时空分布规律,三维空间一条无限长瞬时线源,映射,13,一、基本解-空间瞬时无限线源与平面瞬时点源,取三维空间上z轴与瞬时线源重合，假定单位长度线源瞬时注入示踪剂的质量为ml，在线源上任意位置 处取一分为线源段 ，将其视为点源的作用，其瞬时注入示踪剂质量为 ，在瞬时点源空间上任意点（x,y,z）产生的微分浓度,根据线性叠加的思想，将线源作用视为点源的连续分布,14,一、基本解-空间瞬时无限线源与平面瞬时点源,空间瞬时无限线源的基本解,令 解得,平面瞬时点源基本解,C和z无关，Z方向不产生弥散,15,一、基本解-空间瞬时无限线源与平面瞬时点源,厚度为M的承压完整井中瞬时注入示踪剂： 线源长度为M，若瞬时注入示踪剂质量为 ,则,对应解为,16,一、基本解-空间瞬时无限面源与平面瞬时无限线源与一维瞬时点源,空间直角坐标系中,取yoz坐标面与面源重合，并设单位面源瞬时注入质量为mf 的示踪剂,无限面源可以视为无数连续排列的无限线源组成,17,一、基本解-空间瞬时无限线源与平面瞬时点源,从无限面源中分割出一根平行于z轴，在 处，宽度为 的窄长型微分面源，对空间上任意（x,y,z）处的作用，与空间瞬时无限线源想当，后者单位长度注入量与前者的 相当，有,浓度与y、z无关，实质为一维弥散问题,积分得,18,一、基本解-有限空间（平面）问题,对于边界简单的情况，可用反映法转化为无限空间问题在叠加求解 ，相当于水流问题中的隔水边界。假设点(x0,y0)对半无限含水层中瞬时注入质量为m的示踪剂,19,二、一维水动力弥散问题,设有一无限长均质砂柱，原有溶液浓C0=0，在t=0，x=0处瞬时注入质量为m的示踪剂，取砂柱中心轴为x轴，流速方向为正，求浓度C(x,t) 分布,对于式,采取动坐标，令 ，让坐标原点跟着流速一起前进,20,二、一维水动力弥散问题,此时有,简化成,比静止流场多了一个对流项,则,21,二、一维水动力弥散问题,将X、T反变换,22,二、一维水动力弥散问题,与正态分布密度函数对比,浓度曲线出现峰值的x坐标曲线在点 处对称；当 时， ；随着Dl或者t的增大，浓度越来越分散；曲线在 处为拐点，拐点浓度一维弥散Cmax衰减比二、三维要慢,23,无限长多孔介质砂柱，初试示踪剂呈阶梯函数分布,一无限长均质砂柱，速度u做稳定流动，且初试浓度呈阶梯状分布，数学模型为：,24,无限长多孔介质砂柱，初试示踪剂呈阶梯函数分布,求解思路：,初始浓度的分布视为沿x轴连续分布的瞬时变强度点源，利用点源基本解积分求取,取浓度坐标与阶梯相重合，线源的坐标用x表示，有,C表示示踪剂浓度，n为有效孔隙率；为砂柱横截面积,25,无限长多孔介质砂柱，初试示踪剂呈阶梯函数分布,考虑与u等速的动坐标系，在位于x处强度为 的瞬时点源作用下，任意点处的微分浓度为：,讨论一阶的情况，进行积分分解并换元求解得,相对浓度,26,无限长多孔介质砂柱，初试示踪剂呈阶梯函数分布,由于erfc（0）=1，故x=ut处，相对浓度=1/2，表示=1/2的点与u同速度推进。,27,半无限长多孔介质柱体，一端为定浓度边界,坐标轴与数学模型如下：,作关于t的Laplace变换,28,半无限长多孔介质柱体，一端为定浓度边界,式（4-3）通解为,利用边界条件确定系数A、B。将（4-45）代入(4-46),常微分方程两相异实根r10,r2DT,a是x的长半轴,当t与C为定值时，上式为常数，记为-A，并设X=x-ut，上式变为,为中心坐标（ut，0）, 的椭圆,37,瞬时注入示踪剂-平面瞬时点源,某浓度等值线所围面积随t的变化，先是增大然后变小。低浓度所围面积随时间增大的持续时间长，而高浓度持续时间短,38,连续注入示踪剂-平面连续点源,连续点源的作为视为无数瞬时点源之和 设单位时间注入示踪剂的质量为ml(=C0Q)，dt注入示踪剂质量为mldt有,经两重换元并化简后，得,39,连续注入示踪剂-平面连续点源,当t较长，简化为,平面稳定连续注入点源的解,40,注入拟稳定条件下示踪剂的径向弥散,设在水平、等厚（B）、无限展布的均质各项同性承压含水层中有一口完整井，井径rw。通过井向其连续注入定流量Q且示踪剂浓度C0的水。忽略天然流速，井的附近形成拟稳定二维径向流。,以井为中心，任意半径为r的圆周通量,平均流速,41,三、一维稳定流动二维水动力弥散问题,转换成极坐标，令,代入式,有,对于均质各向同性介质，无天然流速，弥散是对称的,即,42,三、一维稳定流动二维水动力弥散问题,其中,有,若忽略分子扩散模型，则,其近似解,用于确定实测的纵向弥散度,空间瞬时点源 渗透系数K为均质各向同性，若存在一维稳定流动，流速为 。某点o处瞬时注入示踪剂m。 取o点为坐标原点，x轴平行于 ，且方向相同。,43,三、一维稳定流动三维水动力弥散问题,对弥散系数D来说是各向异性的，它属于二度各向异性，即 ，弥散方程写成,44,三、一维稳定流动三维水动力弥散问题,通过坐标变换变成各向同性，令,45,三、一维稳定流动三维水动力弥散问题,则,有,得,采用动坐标，令 ，记,46,三、一维稳定流动三维水动力弥散问题,方程改成,套用基本解，得,进行坐标反变换，得,47,三、一维稳定流动三维水动力弥散问题,讨论： （1）随时弥散维数的增加，浓度C衰减速度也加快。 （2）对式进行变换，得,椭球方程。等浓度面为一个旋转椭球面，呈橄榄球桩，长轴沿x方向,48,三、一维稳定流动三维水动力弥散问题,空间稳定连续点源 假定：示踪剂注入并不改变渗流场的原始特征，即示踪剂是理想的，且保持原来的