线性相关与线性无

线性相关与线性无关习题课 题型一讨论向量组的线性相关性 解题提示 1 定义法一般步骤为 假设有k1 k2 ks使得k1 1 k2 2 ks s 0 要使上式成立 根据已知条件推断 若k1 k2 ks至少有一个不为0 则 1 2 s线性相关 若仅当k1 k2 ks全为0上式才成立 则 1 2 s线性无关 2 n个n维列向量 1 2 n线性相关的充要条件是行列式 1 2 n 0 线性无关的充要条件是行列式 1 2 n 0 3 一般地 把向量组的向量作为矩阵的行 或列 得矩阵Am n 通过初等变换求其秩r Am n 若r m m 则A的行向量组线性无关 相关 若r n n 则A的列向量组线性无关 相关 例1判断下列命题是否正确 1 若向量组 1 2 n线性相关 那么其中每个向量可由其他向量线性表示 2 如果向量 可由向量组 1 2 n线性表示 且表示式是唯一的 那么 1 2 n线性无关 3 如果当且仅当 1 2 m 0时才有 1 1 2 2 m m 1 1 2 2 m m 0 那么 1 2 m线性无关 且 1 2 m也线性无关 4 1 2 m线性相关 且 1 2 m也线性相关 则有不全为零的数 1 2 m 使 1 1 2 2 m m 1 1 2 2 m m 答案 错 对 错 错 例2选择题1 下列命题中正确的是 A 若 1 2 r是一组线性相关的n维向量 则对于任意不全为0的k1 k2 kr均有k1 1 k2 2 kr r 0 B 若 1 2 r是一组线性无关的n维向量 则对于任意不全为0的k1 k2 kr均有k1 1 k2 2 kr r 0 C 若在向量组 1 2 r r 2 中任取m m r 个向量组成的部分组都线性无关 则这个向量组本身也线性无关 D 若 1 2 r r 2 是线性相关的 则其中任何一个向量均可由其余向量线性表示 2 设方阵A的行列式 A 0 则A中 A 必有一列元素为0 B 必有两列元素对应成比例 C 必有一列向量是其余向量的线性组合 D 任一列向量是其余列向量的线性组合 3 设向量组A 1 2 r可由向量组B 1 2 s线性表示 则 A 当r s时 向量组B必线性相关 B 当r s时 向量组B必线性相关 C 当r s时 向量组A必线性相关 D 当r s时 向量组A必线性相关 4 设有两个向量组 1 2 3和 1 2 3 4 则下列各结论正确的是 A 如果 线性无关 则 线性无关 B 如果 线性相关 则 线性相关 C 如果 线性无关 则 线性相关 D 如果 线性相关 则 线性相关 答案 1 B2 C3 D4 B 题型二有关向量组线性相关性的证明 思路一 定义法令k1 1 k2 2 kr r 0 其中k1 Kr为常数 思路二 将线性相关性问题转化为齐次线性方程组有无非零解来分析 例3设向量组 1 2 s线性无关 作线性组合 1 1 1 s 2 2 2 s s 1 s 1 s 1 s 则向量组 1 2 s 1线性无关 其中S 2 i为任意实数 证明 令k1 1 k2 2 ks 1 s 1 0 即k1 1 1 s k2 2 2 s ks 1 s 1 s 1 s 0展开整理得k1 1 k2 2 ks 1 s 1 k1 1 k2 2 ks 1 s 1 s 0 由题设 1 2 s线性无关 所以 k1 k2 ks 1 k1 1 k2 2 ks 1 s 1 0 故 1 2 s 1线性无关 例4设向量组 1 2 s线性无关 并且有 1 证明 1 2 s线性无关的充要条件是 证明 设存在s个常数x1 x2 xs满足x1 1 x2 2 xs s 0 2 把 1 代入 2 式得X1 a11 1 a1s s x2 a21 1 a2s s xs as1 1 ass s 0 即 a11x1 a21x2 as1xs 1 a12x1 a22x2 as2xs 2 a1sx1 a2sx2 assxs s 0 由于 1 2 s线性无关 所以 有 3 证充分性因为故DT D 0 因此方程 3 只有零解 即X1 x2 xs 0 故 1 2 s线性无关 证必要性设 1 2 s线性无关 则齐次线性方程组 3 只有零解等价于而DT D 0 例5设向量组与秩相同且能经线性表出 证明与等价 证明 解 设向量组 1 与向量组 2 的极大线性无关组分别为 3 和 4 由于 1 可由 2 线性表出 那么 1 也可由 4 线性表出 从而 3 可以由 4 线性表出 即 因 4 线性无关 故 3 线性无关的充分必要条件是 aij 0 可由 解出 即 4 可由 3 线性表出 从而它们等价 再由它们分别同 1 2 等价 所以 1 和 2 等价 题型三判断一个向量是否可由一组向量线性表示 解题提示 法一给定一个向量 及向量组 1 2 s 判断 是否可由 1 2 s线性表出 1 令 k1 1 k2 2 ks s 2 由向量相等关系将上式写成方程组 3 若方程组无解 则 不能由 1 2 s线性表出 若方程组有解 则 能由 1 2 s线性表出 法二 初等行变换法若r 1 2 s r 1 2 s 则 可由 1 2 s线性表出 若r 1 2 s r 1 2 s 则 不可由 1 2 s线性表出 例6设 0 4 2 5 1 1 2 3 1 2 2 3 1 2 3 3 1 2 2 问 是否可表示成 1 2 3的线性组合 解法一 令 k1 1 k2 2 k3 3 得k1 1 k2 1 k3 1 故 1 2 3解法二 初等行变换 略 题型四求向量组的极大无关组 思路 初等变换 例7求下列向量组的一个极大无关组 并将其余向量用此极大无关组线性表示 1 1 1 1 3 1 2 1 1 1 3 3 5 2 8 9 4 1 3 1 7 2 1 1 1 2 3 2 1 1 1 1 3 1 3 3 5 4 4 2 5 6 5 3 1 5 7 解 1 以向量组为列向量组成 应用初等行变换化为最简形式 可知 1 2为向量组的一个极大无关组 设 3 x1 1 x2 2 即 解得 设 4 x3 1 x4 2 解得 2 同理可知 1 2可作为 的一个极大线性无关组 所以 3 2 1 2 4 1 3 2 5 2 1 2 例8考虑向量组 1 求向量组的秩 2 求此向量组的一个极大无关组 并把其余向量分别用该极大无关组线性表示 分析 根据矩阵的初等变换不改变矩阵的秩 利用行初等变换将以 1 2 3 4 5为列向量的矩阵化为阶梯形 然后在每一个阶梯中选取一个 元素 即构成此向量组的一个极大无关组 同时求得向量组的秩 当阶梯形化为最简时 还可直接得到其余向量用此极大无关组的线性表达式 解 1 显然矩阵A1的秩为3 故A的秩也为3 2 在每一个阶梯中选一元素 1 2 3构成此向量组的一个极大无关组 进一步把A1化为最简形 从而有 4 2 3 1 1 3 2 3 5 1 3 1 1 3 2 0 3 题型五向量组之间的等价性及相互表示 思路 通过线性方程组是否有解进行判断 例设向量组 1 1 0 2 T 2 1 1 3 T 3 1 1 a 2 T 向量组 1 1 2 a 3 T 2 2 1 a 6 T 3 2 1 a 4 T 试问当a为何值时向量组 与 等价 当a为何值时向量组 与 不等价 分析 所谓向量组 与 等价 即向量组 与 可以相互线性表出 若方程组x1 1 x2 2 x3 3 有解 即 可由 1 2 3线性表出 若对同一个a 三个方程组x1 1 x2 2 x3 3 i i 1 2 3 均有解 即 可由 线性表出 解 由克莱姆法则知三个线性方程组x1 1 x2 2 x3 3 i i 1 2 3 均有解 即 可由 线性表出 由于行列式 故对于任意给定的a 方程组x1 1 x2 2 x3 3 j j 1 2 3 恒有唯一解 即 总可由 线性表出 因此 当a 1时 向量组 与 等价 当a 1时 例确定常数a 使向量组 1 1 1 a T 2 1 a 1 T 3 a 1 1 T 可由向量组 1 1 1 a T 2 2 a 4 T 3 2 a a T线性表示 但向量组 1 2 3不能由 1 2 3线性表示 分析 若方程组x1 1 x2 2 x3 3 i有解 则 i可由 1 2 3线性表示 若方程组x1 1 x2 2 x3 3 j无解 即 j不能由 1 2 3线性表出 解 因为向量组 1 2 3可以由 1 2 3线性表示 故三个方程组x1 1 x2 2 x3 3 i i 1 2 3 均有解 对增广矩阵进行初等行变换 可见a 4且a 2时 1 2 3可以由 1 2 3线性表示 向量组 1 2 3不能由 1 2 3线性表示 即方程组x1 1 x2 2 x3 3 j j 1 2 3 无解对增广矩阵进行初等行变换 可见a 1或a 2时 2 3不能由 1 2 3线性表示 因此 a 1时向量组 1 2 3可以由 1 2 3线性表示 向量组 1 2 3不能由 1 2 3线性表示 近几年研究生考试题 2011年第5题 设A为3阶矩阵 将A的第二列加到第一列得矩阵B 再交换B的第二行与第三行得单位矩阵 记 A P1P2B P1 1P2C P2P1D P2P1 1 答案 D 第20题设向量组 1 1 0 1 T 2 0 1 1 T 3 1 3 5 T不能由向量组 1 1 1 1 T 2 1 2 3 T 3 3 4 a T线性表示 1 求a的值 2 将 1 2 3由 1 2 3线性表示 解 1 由题意三个方程组x1 1 x2 2 x3 3 i i 1 2 3 无解 当a 5时 r 系数矩阵 r 增广矩阵 无解于是a 5时 1 2 3不能由 1 2 3线性表示 2 令A 1 2 3 1 2 3 2010年第5题设向量组 1 2 r可以由向量组 1 2 s线性表示 则A 若向量组 线性无关 则r sB 若向量组 线性相关 则r sC 若向量组 线性无关 则r sD 若向量组 线性相关 则r s 答案 A提示 课本p134定理3 9的另一说法 2006年第12题设 1 2 s均为n维列向量 A是m n矩阵 下列选项正确的是 A 若 1 2 s线性相关 则A 1 A 2 A s线性相关B 若 1 2 s线性相关 则A 1 A 2 A s线性无关C 若 1 2 s线性无关 则A 1 A 2 A s线性相关D 若 1 2 s线性无关 则A 1 A 2 A s线性无关 答案 A 第20题设4维向量组 1 1 a 1 1 1 T 2 2 2 a 1 1 T 3 3 3 3 a 3 T 4 4 4 4 4 a T 问a为何值时 1 2 3 4线性相关 当 1 2 3 4线性相关时求其一个极大无关组 并将其余向量用该极大无关组线性表出 分析 以 1 2 3 4为列向量的矩阵记为A A 0 确定a的值 解 于是a 10或0时 1 2 3 4线性相关当a 10时 因此 1 2 3是其一个极大无关组 且 4 1 2 3 提示 设 4 k1 1 k2 2 k3 3 解线性方程组确定k1 k2 k3的值 当a 0时 显然 1为其一个极大无关组 且 2 2 1 3 3 1 4 4 1 2005年第20题设 1 1 2 0 T 2 1 a 2 3a T 3 1 b 2 a 2b T 1 3 3 T 试讨论当a b为何值时 1 不能由 1 2 3线性表示 2 可由 1 2 3唯一的线性表示 求表达式 3 可由 1 2 3线性表示 但表达式不唯一 并求表达式 分析 将线性表达式 k1 1 k2 2 k3 3转化为线性方程 根据方程组无解 有唯一