溶质运移理论-（四）水动力弥散系数的计算方法

地下水溶质运移理论及模型,第五章 水动力弥散系数的计算方法,中国地质大学环境学院2014春,2,第五章 水动力弥散系数的计算方法,假设： （1）地下水流速较大，可忽略分子扩散系数； （2）弥散系数与孔隙平均流速呈线性关系，可先求弥散系数再除以孔隙平均流速而获取弥散度或反之。计算方法： （1）利用解析公式直接或间接求解； （2）采用标准曲线对比法,不讨论三维弥散的情况,3,一、一维水动力弥散,利用正态分布函数性质求参 （1）瞬时注入示踪剂 其解为,4,一、一维水动力弥散,DL求解步骤：1.确定Cmax的值及其对应的数学期望，2.取0.607 Cmax，从浓度曲线上找出拐点位置，求出对应 ，求出均方差3.依均方差公式 ，得到 利用浓度曲线上出现方差的时间t，代入即可。 利用 ，可类似求解出DL,5,一、一维水动力弥散-连续注入示踪剂,（2）连续注入示踪剂其解为,当t较大或者x较长时，,换元，令 得,6,一、一维水动力弥散-连续注入示踪剂,有,对给定t，为关于x的正态分布函数,DL求解步骤：1.对于固定的时刻t，绘制 曲线，定义x0.8413与x0.1587之间距离为e，因 故e=2于是,7,一、一维水动力弥散-连续注入示踪剂,故,若固定x，在不同时刻测定浓度C，如图，有,8,一、一维水动力弥散-连续注入示踪剂,因为,故,两式相减后取平方再求解得,一般来说，过渡带宽度和砂柱长相比很小，有 和 可由 代替，此时,9,一、一维水动力弥散-连续注入示踪剂,通常在砂柱末端取样测定浓度C，该处还可以测量水出流的体积V，又 ，即则,10,一、一维水动力弥散-浓度曲线线性化求参,式,可写成,t和呈线性关系,浓度曲线线性化求参,11,一、一维水动力弥散-浓度曲线线性化求参,则绘出其曲线图后，可根据斜率和截距求出弥散系数,运用全部试验资料,12,二、二维水动力弥散-瞬时投放示踪剂,1.逐点求参法 3个时刻t1、t2、t3对应浓度C1、C2、C3 ，由式当y=0时，有联立，,瞬时投放示踪剂,（5-16）,（4-65）,13,二、二维水动力弥散-瞬时投放示踪剂,则,若只考虑（5-16）式,令y=0，由（4-65）导出横向弥散系数,理论上，每3组浓度-时间数据可求出u、DL、DT,14,二、二维水动力弥散-瞬时投放示踪剂,实际中，仅用3组数组求出的参数具有一定随机性甚至失去物理意义，故需要一些列C-t数据。可先去掉不符合物理意义的数值，再将其余参数算术平均值即可视作待求参数的近似值。如下表：,15,二、二维水动力弥散-瞬时投放示踪剂,2.直线图解法,（5-23）,16,一、二维水动力弥散-瞬时投放示踪剂,若观测孔位于x轴上，（5-23）可简化成,有,可通过求u来求DL,改写式子,令,则,（5-27）,（5-30）,综合（5-27）（5-30）,17,二、二维水动力弥散-瞬时投放示踪剂,通过证明可得出下式（过程略）：,（5-32）,取,（5-32）写成,参数计算的具体步骤1.从实测的C-t数据序列中找出Cm、tm值，当观测数据较少时，可先作出C-t曲线后，从曲线上查出Cm、tm值2.计算两组X、Y，绘在直角坐标系中，两轴比例一致，再量取R,18,二、二维水动力弥散-瞬时投放示踪剂,3.代入上述公式求DL、u4.利用不在x轴上的观测孔资料，求出其tm，根据 (5-23)求出DT,19,二、二维水动力弥散-瞬时投放示踪剂,算例 在某次瞬时投放示踪剂室内弥散试验中，测得一距投放井80cm且位于x轴上的观测点处的电导率和时间数据（见课本P62），相应的实测曲线见图5-5,20,二、二维水动力弥散-瞬时投放示踪剂,在表5-2中得出特征数据如下：,根据式,求出X、Y,-t曲线的上升段与下降段分别对应X-Y曲线的两条直线段。理想情况下，两直线重合，实际中其交角的大小反映了理论模型与实际模型的偏离程度，分别量取斜率R1和R2，提出DL和u后平均，再求取DT。,21,二、二维水动力弥散-瞬时投放示踪剂,直线法将高斯浓度转化为简单直线。不足：1.两个观测孔资料，其中一个位于x轴；2.转化X、Y数据时，计算量大,22,二、二维水动力弥散-瞬时投放示踪剂,3.标准曲线法 若分子扩散可忽略，有 式 改成 若y=0（主流线上） 当 时， 因 ,故计算得u偏大。,23,二、二维水动力弥散-瞬时投放示踪剂,x是测得Cm的位置，此时,(5-42),(5-46),(5-43),(5-45),24,二、二维水动力弥散-瞬时投放示踪剂,式中,CD是rD和tD函数，可作标准曲线求参,25,二、二维水动力弥散-瞬时投放示踪剂,对给定rD，K为定值。故CD-t与W-tD两曲线相似，可利用曲线拟合求参,由(5-42)得,26,二、二维水动力弥散-瞬时投放示踪剂,参数计算步骤：（1）若已知流向 在注入孔正下游设一取样孔（x1,0）,偏离正下游设孔（x2，y2）,27,二、二维水动力弥散-瞬时投放示踪剂,参数计算步骤：1.作lgCD-lgt实测曲线；2.与标准曲线拟合，得rD1和rD2；3.根据（5-45）、（5-42）与（5-43），易知,若观测孔偏离流向，会出现弥散度偏低,28,二、二维水动力弥散-瞬时投放示踪剂,29,二、二维水动力弥散-瞬时投放示踪剂,参数计算步骤：（2）若流向不确定 计算方法改变，用（x1，y1）（x2,y2）两个观测孔,解得,30,二、二维水动力弥散-瞬时投放示踪剂,4.弥散晕面积求参法 前面已证 弥散晕为椭圆，圆心为（ut，0），以孔隙平均流速向前移动，长轴a和短轴b之比 以浓度C为等值线的椭圆面积为,(4-68),(5-61),31,二、二维水动力弥散-瞬时投放示踪剂,4.弥散晕面积求参法 表明t时刻的一系列浓度与对应的椭圆面积在半对数坐标上为一直线，斜率为 求出横轴截距d，有（5-61）得 可求有效孔隙度 由（5-60）得 求出浓度C等值线围成的椭圆面积随时间变化值，则S/t与t在半对数坐标中呈直线。同理可求上述参数,联立，可得DL、DT,(5-62),32,二、二维水动力弥散-瞬时投放示踪剂,算例 在示踪剂浓度溶液中氯化物浓度为580.7mg/L，体积共0.7m3，分5井瞬时注入。由于含水层非均质，示踪剂分为流速快、慢移动。慢带实际平均速度 m/s，121d后，如图所示，试求慢带参数,33,二、二维水动力弥散-瞬时投放示踪剂,计算步骤：1.量取不同浓度的椭圆长、短轴，按比例换算成实际长度，求出相应面积及两轴比值。2.舍去异常值，求出a/b平均值，此处为1.7614。3.作lnC-S关系图，求出斜率，此处K=-18.453,34,二、二维水动力弥散-瞬时投放示踪剂,计算步骤： 得 则 则,弥散晕面积法优点：1.不一定要求观测孔在主流线上（但要求较多观测孔）；2.求弥散系数不需知道流速且可求孔隙度3.数据在时空上均有一定延伸，代表性较好,35,二、二维水动力弥散-瞬时投放示踪剂,5.lnC-t曲线拐点法 对式 两边取自然对数并求时间的二阶导再取二阶导为0，得 ti表示lnC-t曲线上出现拐点时相应的时间。,(5-65),36,二、二维水动力弥散-瞬时投放示踪剂,5.lnC-t曲线拐点法若（x,y）处另一观测孔中出现拐点的时间为ti有联立，可得DL、DT优缺点：1.不需求流速且不要求观测点在主流线上；2.拐点的选择有一定任意性。,(5-66),37,二、二维水动力弥散-瞬时投放示踪剂,6.优选拟合法将上述方法所计算出的参数视作初值，再据弥散试验中某孔的观测资料与（5-65）式的计算相拟合，从而通过计算机进行参数优选，采用目标函数来反映计算浓度值与实测浓度值之间的拟合程度,38,二、二维水动力弥散-瞬时投放示踪剂,算例 在一组观测孔中所测得的电导率数据为基础，采用优选拟合法计算水动力弥散参数。因电导率与浓度近似线性，直接采用电导率进行拟合计算。结果如下：,39,二、二维水动力弥散-连续投放示踪剂,连续投放示踪剂 对 求t的一阶导，得到浓度随时间的变化率后，可借用瞬时投放的解法 1.lgWc（A, ）-lgA标准曲线法 记 对（4-70）（5-68）两边取对数，得,（4-70）,（ 5-68 ）,40,二、二维水动力弥散-连续投放示踪剂,1.lgWc（A, ）-lgA标准曲线法 (1)作对应不同值的标准曲线族，做出实测曲线与标准曲线进行拟合； (2)找出拟合最好的0 ； (3)找出与A=1，WC=1相对应的C0、t0 ；,实测曲线与理论曲线形状相同，只发生坐标平移,41,二、二维水动力弥散-连续投放示踪剂,将u、DT、DL视作待求参数，联立上述3式可得结果,42,二、二维水动力弥散-连续