从特殊三棱锥到一般三棱锥问题

1 解三棱锥 三棱锥对于多面体 如同三角形对于多边形 三角形为多边形之根 三棱锥为多面体之根 注意 三棱锥是个四面体 有4个面 6条棱 图形的认识 从特殊到一般 1 三棱锥中最特殊的是正四面体 次特殊的是正三棱锥 3 与直三角形对应的有直三棱锥 2 与等腰直角三角形对应的有 正直三棱锥 4 与等腰三角形对应的有 等腰四面体 2 解正四面体 正四面体化归为正方体求解 在正方体ABCD A1B1C1D1中 由6条面对角线A1D BC1 A1C1 BD A1B DC1为棱的四面体即为正四面体A1 BC1D 正四面体A1 BC1D的棱长为1的正方体ABCD A1B1C1D1棱长的倍 体积为正方体的1 3 且有公共的外接球 公共的中心和相等的外半径 3 正直 三棱锥 我们把 三条侧棱相等且两两垂直的三棱锥 称作 正直三棱锥 它的三个侧面是全等的等腰直角三角形 1个底面是正三角形 正直棱锥的直观图画法有 立式 左 和 卧式 右 两种 立式图中 1个侧面置于水平位置 可以清楚地看到它在对应的正方体中的位置 卧式图中 它的底面置于水平位置 便于在竖直方向显示底面上的高线 4 解正直三棱锥 二 线面关系 1 垂直 AD与DCD1 2 交成45 AD与ACD1 三 面面关系 1 垂直 三侧面两两之间 2 交成arctan 如平面ACD1与平面ACD 5 正直三棱锥的高线 题目 若正直三棱锥V ABC的侧棱长为VA 1 求它高线VH的长度 设斜高在 ABC上的射影为H 则H为 ABC的中心 故有高线 说明 正直三棱锥的高线长为外接正方体对角线长的1 3 6 题目 若正直三棱锥V ABC的侧棱长为VA 1 求它高线VH的长度 解2 等积法 立式图中 易知正直三棱锥的体积为 证明 等积法常用来 求点到平面的距离 又 7 正直三棱锥的外接球 题目 正直三棱锥的侧棱长为1 求其外半径长 解答 易知正直三棱锥的 外心 O在高线VH的延长线上 设VO CO x 则HO 又 8 考题展示 考题 2006年川卷第13题 分析 已知的三棱锥为正直三棱锥 解1 立式图如右 OM在ABC上射影为MC OM与ABC的成角为 OMC 说明 线面角 OM与ABC成角 化为线线角 OM与MC 亦即面面角 C AB O 设OC a 则OM 故 OMC arctan 答案 9 考题 2006年川卷第13题 分析 已知的三棱锥为正直三棱锥 解2 卧式图如右 H为底面正三角形ABC的中心 说明 本法容易误入迁解 如先求OH和MH的长度 得 OMC arctan 答案 OM与ABC的成角为 OMC 10 正方体内接三棱锥的个数 问题 以正方体8个顶点中的4个顶点作三棱锥 这样的三棱锥称正方体的内接三棱锥 求正方体内接三棱锥的个数 其中 共面的4点的个数是 1 正方体的6个面 2 正方体的6个对角面 故正方体的内接三棱锥有70 12 58 个 答案 从8个顶点中任取4个的组合数为 说明 这58个三棱锥与正方体同外心 共外接球 11 长棱 三棱锥 正方体内接三棱锥可分四类 除了内接正四面体和内接正直三棱锥外 还有两类 1 斜三棱锥 图左 2 底面为直三角形的直三棱锥 图右 它们各有1条长度为的 长棱 其外心在长棱的中点上 12 直正三棱锥 底面为正三角形 且有一条侧棱垂直于底面的三棱锥称作 直正三棱锥 确定一个 直正三棱锥 需2个条件 即底棱长a和直棱长b 直正三棱锥 与 正直三棱锥 不同 后者的确定条件只1个 直正三棱锥的四个面中 1 底面是正三角形 2 有2个侧面为直角三角形 它们都垂直于底面 3 另一个侧面为等腰三角形 13 解直正三角形 1 求三棱锥P ABC的体积 2 求A到平面PBC的距离 解答 1 P ABC的体积 2 设A到平面PBC的距离为h 易得三角形PBC的面积为 14 证明 易知BO AC 又BO PA 由 1 2 知PC 平面BOH 说明 由此可知 BHO为二面角B PC A的平面角 3 O为AC的中点 OH PC于H 求证 PC 平面BOH 所以BO 面PACBO PC 1 又OH PC 2 15 正三棱锥 侧棱长相等 底面为正三角形的三棱锥为正三棱锥 确定一个正三棱锥需2个条件 即侧棱长b和底棱长a 正三棱锥的直观图一般画成卧式 即置正三角形于水平面上 且使底面上的一条高线 如CD于水平线上 锥顶V在底面上的射影为底面正三角形的中心H 截面三角形VCD为锥体的轴截面 1 侧棱与底面的所成角为 VCD 2 侧面与底面所成二面角的平面角为 VDC 3 截面三角形的高线VH就是锥体的高 16 正三棱锥的判断 考题 2005年全国 题16 下面是关于三棱锥的四个命题 底面是等边三角形 侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥 判定 由此推出 三侧面上的斜高相等 从而推得三斜高在底面上的射影相等 从而确定H为底面三角形的中心 由此得 三侧棱相等 见右边的轴截面图 命题 为真命题 它成为正三棱锥 判定定理 之一 17 正三棱锥的判断 考题 2005年全国 题16 下面是关于三棱锥的四个命题 底面是等边三角形 侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥 判定 侧面是等腰三角形 其底边不一定是底面三角形的边 如图右所示 可设VC BC AC 并让点V在直线VD上移动 可使 VAB也为等腰三角形 故命题 是个假命题 18 正三棱锥的判断 考题 2005年全国 题16 下面是关于三棱锥的四个命题 底面是等边三角形 侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥 判定 侧面的面积都相等 只须顶点V到三底边的距离相等 到三边等距的点在平面上是三角形的内心和旁心 到空间中 过底面三角形的内心和旁心的底面垂线上所有的点 都分别与三边等距 故命题 是假命题 19 正三棱锥的判断 考题 2005年全国 题16 下面是关于三棱锥的四个命题 侧棱与底面所成的角都相等 且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥 判定 由侧棱与底面所成的角都相等 可推断三条侧棱相等 由侧面与底面所成的二面角相等 可推断侧面上的三条斜高相等 并推断底面三角形为正三角形 故三棱锥为正三棱锥 命题 为真命题 它成为正三棱锥 判定定理 之一 20 证明 ACB 90 BC AC PA 底面ABCD PA BC BC 平面PAC 求证 BC 平面PAC 直三棱锥到直四棱锥 像四棱锥可化为三棱锥求解一样 直四棱锥也可化归为直三棱锥求解 题目 四棱锥P ABCD中 AB CD AD CD 1 BAD 120 PA ACB 90 21 题目 四棱锥P ABCD中 AB CD AD CD 1 BAD 120 PA ACB 90 证明 易知 ADC 60 求二面角D PC A的大小 又AD CD 1 ADC为等边三角形 且AC 1 取AC的中点O 则DO AC PA 底面ABCD PA DO DO 平面PAC 过O作OH PC 垂足为H 连DH 由三垂线定理知DH PC DHO为二面角D PC A的平面角 由 二面角D PC A的大小为arctan2 22 题目 四棱锥P ABCD中 AB CD AD CD 1 BAD 120 PA ACB 90 求点B到平面PCD的距离 证明 设点B到平面PCD的距离为d AB CD AB平面PCD CD平面PCD AB 平面PCD 点B到平面PCD的距离等于点A到平面PCD的距离 说明 就是上面所说的 等积法 求点到平面的距离 23 三棱锥的外心 任何一个三棱锥都有外接球 就像任何一个三角形都有外接圆一样 三角形的外心到三个顶点等距 这个距离就是三角形的外半径 三棱锥的外心到四个顶点等距 这个距离就是三棱锥的外半径 外心的 心 顶等距 性质 是我们寻找外心的依据 三棱锥外接球的球心 称作三棱锥的外心 24 外心位置的确定 等腰三角形的外心在底边的高线上 正三角形的外心为其中心 直三角形的外心在斜边的中点上 类比可以推出 一些特殊三棱锥的外心位置 1 正三棱锥的外心在底面的高线上 2 正四面体的外心为其中心 3 长棱 三棱锥的外心在 长棱 的中点上 25 1 试确定三棱锥外心位置 2 求外半径的长度 解答 1 VA AB 取VB的中点O 题目 三棱锥V ABC中 底面ABC是边长为1的正三角形 且VA VC 且VA AB 显然有OV OA OB