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文档简介
一 概念的引入 为了给出n阶行列式的定义 先来研究三阶行 列式的结构 三阶行列式的定义为 任一项除正负号外可写成 个下标 行标 排成标准排列123 而第二个下标 容易看出 1 上式右边的每一项都恰是三个元素的乘 积 这三个元素位于不同的行 不同的列 因此 这里第一 列标 排成p1p2p3 它是1 2 3这三个数的某个 有 项 2 各项的正负号与列标的排列对照 带正号的三项列标排列 123 231 312 为偶排列 带负号的三项列标排列 132 213 321 为奇排列 故三阶行列式可以写成 排列 这样的排列共有3 种 故上式右端共 其中t为排列p1p2p3的逆序数 表示对1 2 到一般的情形 得到n阶行列式的定义 类似地 可以把三阶行列式的这一定义推广 3三个数的所有排列p1p2p3求和 二 n阶行列式的定义 定义2 1 说明 1 行列式是一种特定的算式 它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的 2 阶行列式是项的代数和 3 阶行列式的每项都是位于不同行 不同列个元素的乘积 4 一阶行列式不要与绝对值记号相混淆 5 的符号为 例1计算副对角行列式 分析 展开式中项的一般形式是 从而这个项为零 所以只能等于 同理可得 解 即行列式中不为零的项为 例2计算上三角行列式 分析 展开式中项的一般形式是 所以不为零的项只有 解 例3 同理可得下三角行列式 例4证明对角行列式 证明 第一式是显然的 下面证第二式 若记 则依行列式定义 证毕 例5 设 证明 证 由行列式定义有 由于 所以 故 四 n阶行列式定义的其它形式 其中为行标排列的逆序数 证明 按行列式定义有 定理2 2n阶行列式也可定义为 记 对于D中任意一项 总有且仅有中的某一项 与之对应并相等 反之 对于中任意一项 也总有且仅有D中的某一项 与之对应并相等 于是D与 中的项可以一一对应并相等 从而 其中p1p2 pn q1q2 qn是两个n级排列 有一个是固定的 另一个是变动的 t为行标排列逆序数与列标排列逆序数的和 解 下标的逆序数为 所以是六阶行列式中的项 定理2 3n阶行列式也可定义为 下标的逆序数为 所以不是六阶行列式中的项 例2在六阶行列式中 下列两项各应带什么符号 解 431265的逆序数为 所以前边应带正号 行标排列341562的逆序数为 列标排列234165的逆序数为 所以前边应带正号 例3用行列式的定义计算 解 1 行列式是一种特定的算式 它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的 2 阶行列式共有项 每项都是位于不同行 不同列的个元素的乘积 正负号
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