实数典型例题(培优)

精品文档 1欢迎下载 实数典型问题精析 培优 实数典型问题精析 培优 例 1 2009 年乌鲁木齐市中考题 2的相反数是 A 2 B 2C 2 2 D 2 2 分析 本题考查实数的概念 相反数 要注意相反数与倒数的区别 实数 a 的相反 数是 a 选 A 要谨防将相反数误认为倒数 错选 D 例 2 2009 年江苏省中考题 下面是按一定规律排列的一列数 第 1 个数 11 1 22 第 2 个数 23 11 1 1 111 3234 第 3 个数 2345 11 1 1 1 1 11111 423456 第n个数 2321 11 1 1 1 1111 12342 n nn 那么 在第 10 个数 第 11 个数 第 12 个数 第 13 个数中 最大的数是 A A 第 10 个数B 第 11 个数C 第 12 个数D 第 13 个数 解析 许多考生对本题不选或乱选 究其原因是被复杂的运算式子吓住了 不善于从复杂 的式子中寻找出规律 应用规律来作出正确的判断 也有一些考生尽管做对了 但是通过写 出第 10 个数 第 11 个数 第 12 个数 第 13 个数的结果后比较而得出答案的 费时费力 影响了后面试题的解答 造成了隐性失分 本题貌似复杂 其实只要认真观察 就会发现 从第二个数开始 减数中的因数是成对增加的 且增加的每一对数都是互为倒数 所以这 些数的减数都是 2 1 只要比较被减数即可 即比较 14 1 13 1 12 1 11 1 的大小 答案一目了然 例 3 荆门市 定义a b a2 b 则 1 2 3 解 因为a b a2 b 所以 1 2 3 12 2 3 1 3 1 2 3 2 故 应填上 2 说明 求解新定义的运算时一定要弄清楚定义的含义 注意新定义的运算符号 与有理数运算符号之间的关系 及时地将新定义的运算符号转化成有理数的运算符号 例 4 河北省 古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1 3 6 10 这样的数称为 三角形数 而把1 4 9 16 这样的数称为 正方形数 从如图所示中可以发现 任何一个大于 1 的 正方形数 都可以看作两个相邻 三角形数 之和 下列等式中 符合这一规律的是 精品文档 2欢迎下载 4 1 3 9 3 6 16 6 10 A 13 3 10 B 25 9 16 C 36 15 21 D 49 18 31 解 因为 15 和 21 是相邻的两个 三角形数 且和又是 36 刚好符合 正方形数 所 以 36 15 21 符合题意 故应选C 说明 本题容易错选 B 事实上 25 虽然是 正方形 数 而 9 和 16 也是 正方形数 并不是两个相邻 三角形数 例 5 2009 年荆门市中考题 若11xx 2 xy 则x y的值为 A 1 B 1 C 2 D 3 分析 因为 x 1 0 1 x 0 所以 x 1 x 1 即 x 1 而由11xx 2 xy 有 1 y 0 所以 y 1 x y 1 1 2 例 6 2009 年宜宾市中考题 已知数据 1 3 2 3 2 其中无理数出 现的频率为 A 20 B 40 C 60 D 80 分析 2和3开方开不尽的数 所以2和3都是无理数 是无限不循环小数 也是无理数 而 3 1 2 都是有理数 所以无理数出现的频率为 5 3 0 6 60 选 C 例 7 为了求 200832 2221 的值 可令 S 200832 2221 则 2S 2009432 2222 因此 2S S 122009 所以 200832 2221 122009 仿照以上推理计算出 200932 55551 的值是 A 152009 B 152010 C 4 152009 D 4 152010 解析 本题通过阅读理解的形式介绍了解决一类有理数运算问题的方法 利用例题介 绍的方法 有 设 S 200932 55551 则 5S 2010200932 55555 因此 5S S 2010 5 1 所以 S 4 152010 选 D 说明 你能从中得到解决这类问题的一般性规律吗 试一试 例 8 2009 年枣庄市中考题 a是不为 1 的有理数 我们把 1 1a 称为a的差倒 精品文档 3欢迎下载 数 如 2 的差倒数是 1 1 1 2 1 的差倒数是 11 1 1 2 已知 1 1 3 a 2 a是 1 a的 差倒数 3 a是 2 a的差倒数 4 a是 3 a的差倒数 依此类推 则 2009 a 解析 首先要理解差倒数的概念 再按照要求写出一列数 从中找出规律 再应用规 律来解决问题 根据题意可得到 1 1 3 a 2 a 4 3 3 1 1 1 3 a 4 3 1 1 4 4 a 3 1 41 1 可见这是一个无限循环的数列 其循环周期为 3 而 2009 669 3 2 所以 a2009与 a2相同 即 2009 a 3 4 典型例题的探索典型例题的探索 利用概念 例 3 已知 是的算术数平方根 是立方根 求的平方根 分析 由算术平方根及立方根的意义可知 联立解方程组 得 2342 122baba 代入已知条件得 所以 故 M N 的平方根是 练习 1 已知 求的算术平方根与立方根 2 若一个正数 a 的两个平方根分别为和 求的值 大小比较 例 4 比较的大小 分析 要比较的大小 必须搞清 a 的取值范围 由知 由知 综合得 此时仍无法比较 为此可将 a 的取值分别为 三种情况进行讨论 各个击破 当时 取 则 显然有 当时 当时 仿 取特殊值可得 例 5 已知有理数 a 满足 求的值 精品文档 4欢迎下载 分析 观察表达式中的隐含条件 被开方数应为非负数即 亦即 故原已知式可化为 20052004200420052004200520052004 22 aaaaaa 练习 若x y m适合关系式 试求m的值 yxyxmyxmyx 2005200532353 思路 x 2005 y 与 2005 x y 互为相反数 且均有算术平方根 故二者分别 为 0 规律探索 例 6 借助计算器计算下列各题 1 2 3 4 仔细观察上面几道题及其计算结果 你能发现什么规律 你能解释这一规律吗 分析 利用计算器计算得 1 2 3 4 观察上述各式的结果 容易猜想其中的规律为 个 1 与 n 个 2 组成的数的差的算术 平方根等于 n 个 3 组成的数 即 实数思想方法小结实数思想方法小结 实数是整个数学学科的基础 对于初学者来讲 有些概念比较抽象 难懂 但是 如果我们运用数学的思想方法来指导本章的学习 却会收到良好的效果 那么 在本章中 有哪些重要思想方法呢 一 估算思想一 估算思想 估算能力是一种重要的数学思维方法 估算思想就是在处理问题时 采用估算的方法 达到问题解决的目的 在遇到无理数的大小比较或确定无理数的范围等问题时 常用到估 算的方法进行解决 例例 1 1 估计 1 的值是 10 A 在 2 和 3 之间 B 在 3 和 4 之间 C 在 4 和 5 之间 D 在 5 和 6 之间 分析分析 此题主要考查学生的估算能力 首先要确定的取值范围 在估算 1 的取 1010 精品文档 5欢迎下载 值范围 因为 9 10 16 所以9 16 即 3 4 4 1 5 从而 101010 可确定 1 的取值范围 10 解 解 选 C 二 数形结合思想二 数形结合思想 所谓数形结合就是抓住数与形之间本质上的联系 将抽象的数学语言与直观的图形结 合起来的一种方法 通过 以形助数 或 以数解形 使复杂问题简单化 抽象问题具体 化 从而达到优化解题的目的 在数轴上表示实数 根据数轴上的数进行有关的计算等都 能体现数形结合思想的重要作用 例例 2 2 如图 1 数轴上点A表示2 点A关于原点的对称点为B 设点B所表示的数为x 求 0 22xx 的值 分析 分析 此题是与数轴有关的数形结合的问题 要求 0 22xx 的值 需要先根据数 轴确定 x 的值 由数轴易得2x 从而可求出代数式的值 解解 点A表示的数是2 且点B与点A关于原点对称 点B表示的数是2 即2x 00 2 2 22 2 2 1 21xx 三 分类思想三 分类思想 所谓分类讨论思想就是按照一定的标准 把研究对象分成为数不多的几个部分或几种 情况 然后逐个加以解决 最后予以总结做出结论的思想方法 按照不同的标准 实数会 有一些不同的分类方法 例 3 在所给的数据 57 0 3 1 5 2 32 0 585885888588885 相邻两个 5 之间 8 的个数 逐次增加 1 个 其中无理数个数 A 2 个 B 3 C 4 个 D 5 个 解析 作此类题需要掌握实数的分类 判断一个数是哪类数 可以化简后再判断 但是对于 精品文档 6欢迎下载 代数式分类判断 则不能化简后再判断 如 x x2 是分式 对于数 式分类时 常用策略是 数看结果 式看形式 2422 33 55 显然 2 2 3 1 0 57都是有 理数 所以无理数的个数为3 选B 解释理由如下 31 2 111211212 3331119 1101111111011122211110111222111 个个 个个个个个个个个 nn n nn n nnn n nnn 平方根平方根 典例分析典例分析 平方根是学习实数的准备知识 是以后学习一元二次方程等知识的必备基础 也 是中考的必考内容之一 现以几道典型题目为例谈谈平方根问题的解法 供同学们学习 时参考 一 基本题型一 基本题型 例例 1 1 求下列各数的算术平方根 1 2 3 64 2 3 49 15 1 分析 分析 根据算术平方根的定义 求一个数的算术平方根可转化为求一个数的平方等a 于的运算 更具体地说 就是找出平方后等于的正数 aa 解 解 1 因为 所以的算术平方根是 即 6482 648864 2 因为 所以的算术平方根是 即 93 3 22 2 3 33 3 2 3 因为 又 所以的算术平方根是 即 49 64 49 15 1 49 64 7 8 2 49 15 1 7 8 7 8 49 15 1 点评 点评 这类问题应按算术平方根的定义去求 要注意的算术平方根是 3 而不是 2 3 3 另外 当这个数是带分数时 应先化为假分数 然后再求其算术平方根 不要出现类似 的错误 7 4 1 49 16 1 想一想 如果把例想一想 如果把例 1 1 改为 求下列各数的平方根改为 求下列各数的平方根 你会解吗 请试一试你会解吗 请试一试 例例 2 2 求下列各式的值 精品文档 7欢迎下载 1 2 3 4 81 16 25 9 2 4 分析 分析 表示的平方根 故其结果是一对互为相反数 表示的负平81811616 方根 故其结果是负数 表示的算术平方根 故其结果是正数 表示 25 9 25 9 2 4 的算术平方根 故其结果必为正数 2 4 解 解 1 因为 所以 9 8192 81 2 因为 所以 1642 416 3 因为 所以 2 5 3 25 9 25 9 5 3 4 因为 所以 22 4 4 4 4 2 点评 点评 弄清与平方根有关的三种符号 的意义是解决这类问题的关 aaa 键 表示非负数的平方根 表示非负数的算术平方根 表示非负数的a a aaaa 负平方根 注意 在具体解题时 符与 的前面是什么符号 其计算结果aa 也就是什么符号 既不能漏掉 也不能多添 例例 3 3 若数的平方根是和 求的值 m32 a12 am 分析 分析 因负数没有平方根 故必为非负数 故本题应分两种情况来解 m 解 解 因为负数没有平方根 故必为非负数 m 1 当为正数时 其平方根互为相反数 故 解得m32 a12 a0 故 从而 3 a32 a9332 912312 a8192 a 2 当为时 其平方根仍是 故且 此时两方程联立无m00032 a0433 a 解 综上所述 的值是 m81 二 创新题型二 创新题型 例例 4 4 先阅读所给材料 再解答下列问题 若与同时成立 则的值应1 xx 1x 是多少 有下面的解题过程 和都是算术平方根 故两者的被开方数1 xx 1 精品文档 8欢迎下载 都是非负数 而和是互为相反数 两个非负数互为相反数 只有一种xx 1 11 xx 1 情形成立 那就是它们都等于 0 即 0 0 故 1 xx 11 x 问题 已知求的值 21221 xxy y x 解 解 由阅读材料提供的信息 可得故 进而可得 故 012 x 2 1 x2 y y x 4 1 2 1 2 点评 点评 这是一道阅读理解题 解这类问题首先要认真阅读题目所给的材料 总结出正确 的结论 然后用所得的结论解决问题 穿墙术 例 穿墙术 例 5 5 请你认真观察下面各个式子 然后根据你发现的规律写出第 个式 子 441414116116 22 2442424216232 22 3443434316348 22 分析 分析 要写出第 个式子 就要知道它们的被开方数分别是什么 为此应认真观 察所给式子的特点 通过观察 发现前面三个式子的被开方数分别是序数乘以 16 得到的 故第 个式子的被开方数应该分别是 64 和 80 解 解 842444416464 22 544545454516580 222 点评点评 这是一个探究性问题 也是一道发展数感的好题 它主要考查观察 归纳 概 括的能力 解这类题需注意分析题目所给的每个式子的特点 然后从特殊的例子 推广到 一般的结论 这是数学中常用的方法 同学们应多多体会 好好掌握 平方根概念解题的几个技巧平方根概念解题的几个技巧 平方根在解题中有着重要的应用 同学们想必已经知到 但是 今天要告诉同学们的是它的几 个巧妙的应用 希望对大家的学习有所帮助 一 巧用被开方数的非负性求值一 巧用被开方数的非负性求值 大家知道 当 a 0 时 a 的平方根是 即 a 是非负数 a 精品文档 9欢迎下载 例 1 若求yx的立方根 622 yxx 分析 认真观察此题可以发现被开方数为非负数 即 2 x 0 得 x 2 x 2 0 得 x 2 进 一步可得 x 2 从而可求出 y 6 解 x 2 当 x 2 时 y 6 yx 6 2 36 02 02 x x 2 2 x x 所以 yx的立方根为 3 36 二 巧用正数的两平方根是互为相反数求值二 巧用正数的两平方根是互为相反数求值 我们知道 当 a 0 时 a 的平方根是 而a 0 aa 例 2 已知 一个正数的平方根是 2a 1 与 2 a 求 a 的平方的相反数的立方根 分析 由正数的两平方根互为相反得 2a 1 2 a 0 从而可求出 a 1 问题就解 决了 解 2a 1 与 2 a 是一正数的平方根 2a 1 2 a 0 a 1 a 的平方的相反数的立方根是 1 1 3 三 巧用算术平方根的最小值求值三 巧用算术平方根的最小值求值 我们已经知道 即 a 0 时其值最小 换句话说的最小值是零 0 aa 例 3 已知 y 当 a b 取不同的值时 y 也有不同的值 当 y 最 1 32 ba 小时 求ba的非算术平方根 即负的平方根即负的平方根 分析 y 要 y 最小 就是要和最小 1 32 ba2 a 1 3 b 而 0 0 显然是 0 和 0 可得 a 2 b 1 2 a 1 3 b2 a 1 3 b 解 0 0 y 0 和2 a 1 3 b 1 32 ba2 a 0 时 y 最小 由 0 和 0 可得 a 2 b 1 1 3 b2 a 1 3 b 所以ba的非算术平方根是 1 1 四 巧用平方根定义解方程四 巧用平方根定义解方程 我们已经定义 如果 x2 a a 0 那么 x 就叫 a 的平方根 若从方程的角度观察 这里 的 x 实际是方程 x2 a a 0 的根 例 4 解方程 x 1 2 36 精品文档 10欢迎下载 分析 把 x 1 看着是 36 的平方根即可 解 x 1 2 36 x 1 看着是 36 的平方根 x 1 6 x1 5 x2 7 例 4 实际上用平方根的定义解了一元二次方程 后来要学的方程 你能否解 27 x 1 3 64 这个方程呢 不妨试一试 利用平方根的定义及性质解题利用平方根的定义及性质解题 如果一个数的平方等于a a 0 那么这个数是a的平方根 根据这个概念 我们可 以解决一些和平方根有关的问题 例 1 与例 2 区别 例 1 已知一个数的平方根是 2a 1 和a 11 求这个数 分析 根据平方根的性质知 一个正数的平方根有两个 它们互为相反数 互为相反 数的两个数的和为零 解 由 2a 1 a 11 0 得a 4 所以 2a 1 2 4 1 7 所以这个数为 72 49 例 2 已知 2a 1 和a 11 是一个数的平方根 求这个数 分析 根据平方根的定义 可知 2a 1 和a 11 相等或互为相反数 当 2a 1 a 11 时 a 10 所以 2a 1 21 这时所求得数为 21 2 441 当 2a 1 a 11 0 时 a 4 所以 2a 1 7 这时所求得数为 72 49 综上可知所求的数为 49 或 441 区别 类似 区别 类似 3 3 是是 9 9 的平方根 但的平方根 但 9 9 的平方根不是的平方根不是 3 3 是 是 3 3 3 3 例 3 已知 2x 1 的平方根是 6 2x y 1 的平方根是 5 求 2x 3y 11 的平方根 分析 因为 2x 1 的平方根是 6 所以 2x 1 36 所以 2x 37 因为 2x y 1 的平方根是 5 所以 2x y 1 25 所以y 26 2x 11 所以 2x 3y 11 37 3 11 11 81 因为 81 的平方根为 9 所以 2x 3y 11 的平方根为 9 例 4 若 2m 4 与 3m 1 是同一个数的平方根 则m为 A 3 B 1 C 3 或 1 D 1 分析 本题分为两种情况 1 可能这个平方相等 即 2m 4 3m 1 此时 m 3 2 一个数的平方根有两个 它们互为相反数 所以 2m 4 3m 1 0 解 精品文档 11欢迎下载 得m 1 所以选 C 练一练 1 已知x的平方根是 2a 13 和 3a 2 求x的值 2 已知 2a 13 和 3a 2 是x的平方根 求x的值 3 已知x 2y 10 4x 3y 15 求x y的平方根 答案 1 49 2 49 或 1225 3 5 从被开方数入手从被开方数入手 二次根式中被开方数的非负性 时常是求解二次根式问题的重要隐含条件 从被开方 数入手 将会使很多问题迎刃而解 一 确定二次根式有意义一 确定二次根式有意义 例例 1 1 下列各式中一定是二次根式的是 A B C D 分析 二次根式的两个基本特征是 带二次根号 被开方数必为非负数 A 中 被开方数为负数 B 中不带 而是 D 中被开方数的正负无法确定 所以 A B D 都不是或不一定是二次根式 只有 C 中的被开方数恒大于 0 且带 故选 C 例例 2 2 x 取何值时 下列各式在实数范围内有意义 分析 使二次根式在实数范围内有意义 必有被开方数大于等于 0 如果式子中含有 分母 分母不能为 0 解 由 2 当 时 式有意义 由 2x 1 0 分母 2x 1 0 x 当 x 时 式有意义 由 x 1 0 x 2 0 x 1 且 x 2 当 x 1 且 x 2 时 式有意义 由于 x 3 0 x 取任何实数时 式都有意义 二 含有相反数的被开方数根式的化简与求值二 含有相反数的被开方数根式的化简与求值 精品文档 12欢迎下载 例例 3 3 已知 y 求 xy 64 的算术平方根 分析 由被开方数 x 7 7 x 互为相反数 且均需满足被开方数大于等于 0 故 x 7 7 x 0 由此求出 x y 解 由 x 7 7 x 0 得 x 7 y 9 1 例例 4 4 设等式在实数范围内成立 其中 m x y 是互不相等的三个实数 求代数式的值 解 由 m x y x m 0 y m 0 又被开方数 x m 0 m y 0 即 y m 0 即有 x m 0 y m 0 而被开方数 m 0 将 m 0 代入等式 得 x y 0 0 xy 下面两道练习题 同学们不妨试试 1 x 取何值时 下列各式在实数范围内有意义 2 若 y 试求 4x 2y 2010的值 实数大小进行比较的常用方法实数大小进行比较的常用方法 实数的大小比较是中考及数学竞赛中的常见题型 不少同学感到困难 实数 是初中数 学的重要内容之一 也是学好其他知识的基础 为帮助同学们掌握好这部分知识 本文介 绍几种比较实数大小的常用方法 供同学们参考 方法一 差值比较法方法一 差值比较法 差值比较法的基本思路是设 a b 为任意两个实数 先求出 a 与 b 的差 再根据当 a b 0 时 得到 a b 当 a b 0 时 得到 a b 当 a b 0 得到 精品文档 13欢迎下载 a b 例例 1 1 1 比较 5 13 与 5 1 的大小 2 比较 1 2与 1 3的大小 解 5 13 5 1 5 23 0 5 13 5 1 解 1 2 1 3 23 0 1 2 1 3 方法二 商值比较法方法二 商值比较法 商值比较法的基本思路是设 a b 为任意两个正实数 先求出 a 与 b 得商 当 b a 1 时 a b 当 b a 1 时 a b 当 b a 1 时 a b 来比较 a 与 b 的大 小 例例 2 2 比较 5 13 与 5 1 的大小 解 5 13 5 1 13 1 5 13 5 1 方法三 倒数法方法三 倒数法 倒数法的基本思路是设 a b 为任意两个正实数 先分别求出 a 与 b 的 倒数 再根据当 a 1 b 1 时 a b 来比较 a 与 b 的大小 例例 3 3 比较2004 2003与2005 2004的大小 解 20032004 1 2004 2003 20042005 1 2005 2004 又 2004 2003 2005 2004 2004 2003 2005 2004 超纲 不作要求 方法四 平方法 超纲 不作要求 方法四 平方法 平方法的基本是思路是先将要比较的两个数分别平 方 再根据 a 0 b 0 时 可由 2 a 2 b得到 a b 来比较大小 这种方法常用于比较无 理数的大小 例 5 比较62 与53 的大小 解 1228 62 2 2 53 8 215 又 8 212 8 215 62 53 精品文档 14欢迎下载 方法五 估算法方法五 估算法 估算法的基本是思路是设 a b 为任意两个正实数 先估算出 a b 两数或两数中某部 分的取值范围 再进行比较 例例 4 4 比较 8 313 与 8 1 的大小 解 3 13 4 13 3 1 8 313 8 1 方法六 移动因式法 穿墙术 方法六 移动因式法 穿墙术 移动因式法的基本是思路是 当 a 0 b 0 若要比较形如 adbc与的大小 可 先把根号外的因数 a 与 c 平方后移入根号内 再根据被开方数的大小进行比较 例 6 比较 27与 33的大小 解 27 722 28 33 332 27 又 28 27 27 33 方法七 取特值验证法方法七 取特值验证法 比较两个实数的大小 有时取特殊值会更简单 例例 7 7 当10 x时 2 x x x 1 的大小顺序是 解 特殊值法 取x 2 1 则 2 x 4 1 x 1 2 4 1 2 1 2 2 x x x 1 例 常德市 设a 20 b 3 2 c 3 9 d 1 1 2 则a b c d按由小到大的 顺序排列正确的是 A c a d b B b d a c C a c d b D b c a d 分析 可以分别求出a b c d的具体值 从而可以比较大小 解 因为a 20 1 b 3 2 9 c 3 9 3 9 d 1 1 2 2 而 3 9 1 2 9 所以c a d b 故应选A 精品文档 15欢迎下载 除以上七种方法外 还有利用数轴上的点 右边的数总比左边的数大 以及绝对值比 较法等比较实数大小的方法 对于不同的问题要灵活用简便合理的方法来解题 能快速地 取得令人满意的结果 无限循环小数可以化成分数无限循环小数可以化成分数 我们知道小数分为两大类 一类是有限小数 一类是无限小数 而无限小数又分为两 类 无限循环小数和无限不循环小数 有限小数都可以表示成十分之几 百分之几 千分 之几 很容易化为分数 无限不循环小数即无理数 它是不能转化成分数的 但无限 循环小数却可以化成分数 下面请看 探索 1 把 0 323232 即 0 Error Error Error Error 化成分数 分析 设 x Error Error Error Error 0 32 0 0032 0 000032 上面的方程两边都乘以 100 得 100 x 32 0 32 0 0032 0 000032 得 100 x x 32 99x 32 x 所以 0323232 32 99 32 99 用同样方法 我们再探索把 0 Error Error 0 Error Error 0Error Error 化为分数 可知 0 Error Error 0 Error Error 0Error Error 5 9 302 999 我们把循环节从小数点后第一位开始循环的小数叫做纯循环小数 通过上面的探索可 以发现 纯循环小数的循环节最少位数是几 化成分数的分母就有几个 9 组成 分子恰好 是一个循环节的数字 探索 2 把 0 4777 和 0 325656 化成分数 分析 把小数乘以 10 得 0 4777 10 4 777 再把小数乘以 100 得 0 4777 100 47 77 得 0 4777 100 0 4777 10 47 4 0 4777 90 43 0 4777 所以 0 4777 43 90 43 90 再分析第二个数 0 325656 化成分数 把小数乘以 100 得 0 325656 100 32 5656 精品文档 16欢迎下载 把小数 10000 得 0 325656 10000 3256 56 得 0 325656 10000 100 3256 32 0 325656 9900 3224 0 325656 3224 9900 同样的方法 我们可化 0 17Error Error Error Error 0 3Error Error Error Error 1708 9900 326 990 我们把循环节不从小数点后第一位开始循环的小数叫做混循环小数 混循环小数化分 数的规律是 循环节的最少位数是 n 分母中就有 n 个 9 第一个循环节前有几位小数 分 母中的 9 后面就有几个 0 分子是从小数点后第一位直到第一个循环节末尾的数字组成的 数 减去一个循环节数字的差 例如 0 17Error Error Error Error 化成分数的分子是 1725 17 1708 0 3Error Error Error Error 化成分数的分子是 329 3 326 用数形结合思想解实数中问题用数形结合思想解