小波变换的提升实现 第二代小波提升相位矩阵

小波变换的提升实现 概述1 能够用于构造第一代小波 用户可根据需要来设计小波基 2 能够改进第一代小波变换算法 3 可用于构造第二代小波 小波分解与重构的多相位表示 滤波器的多相位表示 滤波器 的多相位表示为 小波分解与重构的多相位表示 滤波器的多相位矩阵 滤波器 的多相位矩阵为 和 滤波器 的对偶多相位矩阵为 和 则小波滤波器的完全重构条件等价于 小波分解与重构的多相位表示 Laurent多项式的Euclidean算法 的次数 两个Laurent多项式的带余除法可表述为 或 两个Laurent多项式的欧几里德算法如下 从 开始进行如下的递归运算 则 且 是一个Laurent多项式 其中 为使 的最小数 Laurent多项式的Euclidean算法 如果an z 是一个单项式 则a z 和b z 是互素的 注意与多项式带余除法和欧几里德算法的异同之处 多相位矩阵的因子分解 若 则总存在Laurent多项式 和 以及非零常数 使得 其中 有限滤波器多相位矩阵的提升分解算法 第1步 使用欧几里德算法得到 第2步 计算 第3步 计算 基于提升的正向小波变换流程图 时小波变换的提升实现算法 若 分别是序列 的z变换 且 正向小波变换的提升实现算法 预测步骤由奇序列预测偶序列开始 Step1 懒小波变换 Step2 提升与对偶提升 Fori 1tom Step3 比例变换 For 时逆向小波变换的提升实现算法 Step1 比例变换 Step2 提升与对偶提升 Fori mto1 Step3 逆懒小波变换 For 时提升算法的实现 时正向小波变换的提升实现算法 预测步骤由偶序列预测奇序列开始 Step1 懒小波变换 Step2 提升与对偶提升 Fori 1ton Step3 比例变换 For 两点说明 1 本质上我们可以根据它们的任一分解式写出小波变换的提升算法 如果在实际计算时已知 的因子分解 设 则 2 尚未完全解决的问题多相位矩阵分解存在极大的不唯一性 到底存在多少种分解方法 如何求出所有的分解 如何根据具体的应用 选择一种 好 的分解方法 5 3 小波变换的提升实现 正变换 逆变换 整数小波变换 提升算法的一大优点是 它存在整数提升算法 即在忽略归一化因子的情况下 将算子 提升步骤中的算子 作用于每个 和 换的整数提升算法 即可得到小波变 如 5 3 小波变换的整数版本如下 特点 非线性变换 D4小波变换的提升实现 其中 D4小波变换的提升实现 第一种实现方法 第二种实现方法 9 7 小波变换的提升实现 其中 说明 JPEG2000中C语言实现模块中尺度变换是 1 23017410558578 1 62578613134411 Lena图像实验 1 842 2 938 9 7 小波变换的提升实现 小波变换提升算法的实现技巧 任意长度信号小波变换的提升实现 9 7 小波变换的提升实现如下 小波变换提升算法的实现技巧 利用少量辅助内存实现多尺度小波变换 必要性 算法过程由以下三步组成 第1步 申请一个大小为 的数组buffer存放高频系数 然后 在原空间中调整信号的低频系数的位置 使 变为 第2步 调整 中的高频系数的位置使 变为 第3步 将buffer中暂存的高频系数 调整到 占用的位置 使 变为 边界处理 对于 5 3 和 9 7 这些具有线性相位的滤波器 采用对称周期延拓则不仅可实现小波变换的完全重构 同时又不增加变换后的数据量 因此 在实现时我们可采用对称周期延拓的方法 双正交小波变换的对称提升实现 多相位矩阵的对称因子分解对称提升实现 多相位矩阵的对称因子分解 一个Laurent多项式 称为对称的 如果 记 为非负整数 则对称Laurent多项式都可表示为 的形式 若 则存在惟一的Laurent多项式 和 以及非零常数 使得 其中 其中 和 是对称Laurent多项式 计算对称提升因子的快速算法 基本思想 根据 和 理 有效地避免了传统提升因子算法中求解 的复杂计算 因而 的不同大小关系 分以下两种情况处 更加实用 1 当 时 记 令 对 和 应用多项式的 欧几里德算法 求出唯一的一组多项式 和一个非零常数 使得 其中 为偶数 计算