概率练习册第五章答案

习题 5 1 数理统计的基础知识 1 某厂生产玻璃板 以每块玻璃上的泡疵点个数为数量指标 已知它服从均值为的泊松 分布 从产品中抽一个容量为的样本 求样本的分布 n 12 n XXX 解 2 1 0 ke k kXPX k 所以 1122 1 n nnii i P XkXkXkP Xk 1 12 n i i n k n e kkk 0 1 i k 1 2 in 2 设总体为其一个简单随机样本 求样本的分布 1 21n XXXpBX 解 1 0 1 1 1 kppkXPpBX kk 所以 11221122 nnnn P Xx XxXxP Xx P XxP Xx nn xxxxxx pppppp 111 1 1 1 2211 其中nixi 2 11 0 3 加工某种零件时 每一件需要的时间服从均值为的指数分布 今以加工时间为零件 1 的数量指标 任取件零件构成一个容量为的样本 求样本分布 nn 解 其它 0 0 xe xfX x 故样本的密度为 12 n XXX 1 12 1 0 0 n i i i x n n x i n i ex f xxxe 其它 1 2 in 4 设是来自总体的一个样本 其中已知 未知 指出下 12 n XXX 2 N 2 列样本函数中哪些是统计量 哪些不是 为什么 222 123 111 11 nnn i ii iii X TXTTXX nn 2 4 1 1 n i i XX T n 解 是统计量 不含未知参数 不是统计量 含未知参数 13 T T 24 T T 2 5 设是来自上的均匀分布的样本 未知 621 XXX 00 1 写出样本的联合密度函数 2 指出下列样本函数中哪些是统计量 哪些不是 为什么 621416362 621 1 max 6 XXXTXEXTXT XXX T 3 设样本的一组观察是 0 5 1 0 7 0 6 1 1 写出样本均值 样本方差和标准差 解 1 其他0 0 621 6 621 xxx xxxf 2 是 不含未知参数 和不是 含未知参数 1 T 4 T 2 T 3 T 3 样本均值8 0 x 样本方差 0 0433 2 s 样本标准差2082 0 s 6 从某班级的英语期末考试成绩中 随机抽取 10 名同学的成绩分别为 100 85 70 65 90 95 63 50 77 86 1 试写出总体 样本 样本值 样本容量 2 求样本均值 样本方差及二阶原点矩 解 1 总体 该班级所有同学的英语期末考试成绩 X 样本 1 X 2 X 3 X 10 X 样本值 100 85 70 65 90 95 63 50 77 86 x x x n 21 样本容量 10n 2 78 1 252 5 6326 9x 2 s 2 a 7 已知某消协收到的大量顾客投诉的某品牌空调质量缺陷数的分布列为X X012345 p 0 040 150 260 30 150 1 现该消协就该品牌空调的质量问题 对 200 人进行了调查 其中投诉空调缺陷数为 0 1 2 3 4 5 的人数分别为 10 37 49 55 36 13 分别求总体的分布函数X 及其样本 容量为 200 的样本的经验分布函数 解 总体的分布函数为 X 5 1 54 9 0 43 75 0 32 45 0 21 19 0 10 04 0 0 0 x x x x x x x xF 经验分布函数为 5 1 54 935 0 43 755 0 32 48 0 21 235 0 10 05 0 0 0 200 x x x x x x x xF 习题 5 2 常用统计分布 1 是正态总体的一组样本 则统计量服从 12 n XXX 0 1 N 222 12n XXX 分布 答案 2 n 2 设 且 X Y 相互独立 则随机变量服从 分布 0 1 XN 2 Yn X t Y n 答案 t n 3 设且 U V 相互独立 则随机变量服从 分布 22 12 UnVn 1 2 U n F V n 答案 12 F n n 4 设总体 X 服从正态分布 为来自该总体的一个样本 要使 0 0 25 N 127 XXX 则应取常数 7 1 22 7 i i Xa a 答案 4 因为 所以 1 0 5 0 N Xi 7 5 0 2 7 1 2 i i X 7 5 0 1 2 7 1 2 2 i i X4 5 0 1 2 a 5 设总体 为总体的样本 则的分布为 2 0 XN 12 XX 2 12 2 12 XX Y XX 答案 1 1 F 2 0 2 21 NXX 2 0 2 21 NXX 1 0 21 N XX 1 0 21 N XX 1 2221 XX 1 2221 XX 故 2 12 2 12 XX Y XX 1 1 F 6 设服从分布 则服从 分布 服从 分布X t n 2 X 2 X 解 因为相互独立且其中VUnVNUnt nV U X 1 0 2 又由 1 1 0 22 UNU相互独立且VU 2 1 1 2 2 1 nF nV U XY 1 1 1 22 2 nF U nV X Y 7 查表求 12 2 99 0 12 2 01 0 12 99 0 t 12 01 0 t 0 050 95 24 28 12 9 FF 解 217 26 12 571 3 12 2 01 0 2 99 0 681 2 12 681 2 12 01 0 99 0 tt 0 050 95 24 28 1 91 12 9 0 3571FF 8 设 求常数 使 10 tTc 95 0 cTP 解 因为 即 95 0 cTP05 0 05 0 cTPcTP即 81 1 10 06 0 tc 故81 1 c 9 设是独立同分布的随机变量 且每一个都服从 521 XXX 5 2 1 iXi 0 1 N 1 试给出常数 使得服从分布 并指出它的自由度 c 2 2 2 1 XXc 2 2 试给出常数 使得服从 t 分布 并指出它的自由度 d 2 5 2 4 2 3 21 XXX XX d 解 1 故 2 22 2 2 1 XX 自由度为 21 c 2 1 0 2 2 0 21 21 N XX NXX 3 22 5 2 4 2 3 XXX 3 3 2 2 5 2 4 2 3 21 t XXX XX 故 自由度为 3 2 6 d 10 设总体 从中抽取容量为 15 的样本 求概率 2 0 0 3 XN 1215 XXX 15 2 1 2 25 i i PX 解 因为 15 1 2 15 1 2 2 2 i i X 故 25 2 P05 0 25 3 0 25 2 3 0 1 2 15 1 2 2 2 PXP i i 2515 2 05 0 习题 5 3 抽样分布 1 设是正态总体的样本 和分别是样本均值和样本方差 1 12 n XXX 2 N X 2 s 则有 A B 2 2 2 1 1 nS n 2 2 1 2 1 n i i XX n C D 22 2 1 2 1 n i i XnX n 2 2 1 2 n i i X n 答案 A B C D 2 设为来自正态总体简单随机样本 是样本均值 记 n XXX 21 2 NX 2 1 2 1 1 1 XX n S n i i 2 1 2 2 1 XX n S n i i 2 1 2 3 1 1 n i i X n S 则服从自由度为的 分布的随机变量是 22 4 1 1 n i i SX n 1 nt A B C D 1 1 nS X t 1 2 nS X t nS X t 3 nS X t 4 答案 B 1 0 N n X 1 1 2 1 2 2 nXX n i i n i i XX n nX t 0 2 1 1 n i i XX nn X 0 2 1 1 1 1 2 nt nS X 3 设是来自正态总体的容量为 n m 的样本 则统计 121 nnn m XXXXX 2 0 N 量服从的分布是 2 1 2 1 n i i n m i i n m V n A B C D F m n 1 1 F nm F n m 1 1 F mn 答案 C 因为 1 2 1 2 2 nX n i i 1 2 1 2 2 mX mn ni i 故 2 1 2 1 n i i n m i i n m V n 1 1 1 2 2 1 2 2 mnF mX nX mn ni i n i i 4 设和分别来自两个正态总体和的样本 821 X X X 1210 Y YY 2 1 2 N 2 5 N 且相互独立 和分别为两个样本的样本方差 则服从的统计量是 2 1 S 2 2 S 7 9 F A B C D 2 1 2 2 2 5 S S 2 1 2 2 5 4 S S 2 1 2 2 4 5 S S 2 1 2 2 5 2 S S 答案 B 因为 1 1 1 1 2 2 2 2 22 1 2 1 2 11 n Sn n Sn F 2 2 2 2 2 1 2 1 S S 5 2 2 2 2 2 1 S S 2 1 2 2 5 4 S S 5 设为正态总体的一个样本 则 12 n XXX 2 N X 分布 S nX 答案 1 2 nt n N 6 服从正态分布 则服从 分布 X n i i X n XEXEX 1 2 1 4 1X 答案 3 1 N n 因为 n i i X n XEXEX 1 2 1 4 1314 22 EXEXXD 3 1 3 1 1 n NX n XD n XDXEXE 7 设为来自正态总体的简单随机样本 分别为样本均值 n XXX 21 1 0 NXS 和样本标准差 则 X S n 答案 1 t n 因为X S n 1 1 1 0 2 2 Sn n X 1 t n 8 设是来自具有分布的总体的样本 求样本均值的数学期望和方 12 n XXX 2 n X 差 解 2 2 DXn EXEXn DX nn 9 设是总体的样本 是样本方差 若 1217 XXX 4 N 2 S 2 0 01P Sa 求a 注 2 0 01 17 33 4 2 0 005 17 35 7 2 0 01 16 32 0 2 0 005 16 34 2 解 16 4 4 16 1 222 2 2 SS Sn 01 0 4 44 222 aPaSPaSP 8 32 16 4 2 01 0 aa 10 试求正态总体的容量分别为 10 15 的两独立样本均值差的绝对值大于 5 0 2 N 0 4 的概率 解 10 5 0 2 NX 15 5 0 2 NY 15 5 0 10 5 0 0 22 NYX 即 6 5 0 0 2 NYX 05 0 6 5 0 04 0 22 4 0 YXP 11 设总体 从总体中抽取一个容量为 100 的样本 问样本均值与总 2 80 20 XNX 体均值之差的绝对值大于 3 的概率是多少 解 2 80 2 NX 0 133 7 1 2 3 2 380 XP 12 从正态总体中抽取容量为的样本 如果要求样本均值位于区间 1 4 2 3 4 6 Nn 5 4 内的概率不小于 0 95 问样本容量至少应多大 n 解 6 4 3 2 n NX 95 0 1 3 2 6 4 34 1 6 4 34 5 4 54 1 n nn XP 96 1 975 0 3 n 96 1 3 n 故样本容量至少应取 35n 13 从正态总体中抽取样本 2 0 5 N 110 XX 1 已知求概率0 10 2 1 4