二次函数典型例题

二次函数典型例题 案例 1 如果函数 y m 2 x是二次函数 求常数 m 的值 4 2 mm 思路点拨 该函数是二次函数 那么 m2 m 4 2 且 m 2 0 解 y m 2 x是二次函数 4 2 mm m2 m 4 2 即 m2 m 6 0 解这个一元二次方程 得 m1 3 m2 2 当 m 3 时 m 2 5 0 符合题意 当 m 2 时 m 2 0 不合题意 常数 m 的值为 3 方法点评 涉及二次函数的问题 按照先看变量 x 项的次数 再看变量最高次项系数 的步骤去分析 案例 2 二次函数 y ax2 bx c 的图象向左平移 2 个单位 再向上平移 3 个单位 得二次函数 y x2 2x 1 求 b 和 c 思路点拨 本题原函数解析式中的一次项系数 b 常数项 c 是待定的 解题关键是需 先求抛物线的顶点坐标 根据两个抛物线的平移情况 可确定其顶点坐标 解 y x2 2x 1 x 1 2 抛物线 y x2 2x 1 的顶点是 B 1 0 根据题意知 把抛物线向下平移 3 个单位 再向右平移 2 个单位 就得到抛物线 y x2 bx c 这时由顶点 B 1 0 平移到 A 3 3 处 所以抛物线 y x2 bx c 的顶点是 3 3 y x2 bx c x 3 2 3 x2 6x 6 b 6 c 6 方法点评 本题根据抛物线的顶点的移动变化确定函数解析式 从图象顶点的变化直 观地找到解题思路 体现了数形结合的基本思想 这是一个基本的解题途径 也是一条行之 有效的坦途 案例 3 已知二次函数 y x2 2x 1 1 写出其图象的开口方向 对称轴和顶点坐标 2 1 2 当 x 为何值时 y 随 x 的增大而减小 当 x 为何值时 y 随 x 的增大而增大 3 该函数是 有最大值还是最小值 此时 x 的值为多少 思路点拨 利用公式法求顶点坐标和对称轴 解 1 0 函数图像开口向上 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 4 21 2 1 4 2 2 2 函数图象的对称轴是直线 x 2 顶点坐标是 2 1 2 由 1 可知 当 x 2 时 y 随 x 的增大而减小 当 x 2 时 y 随 x 的增大而增 大 3 由 0 知 该函数有最小值 由 1 可知当 x 2 时 函数有最小值 1 2 1 方法点评 1 求二次函数图象的对称轴 顶点坐标可用配方法和公式法两种方法 本例运用公式法 2 讨论二次函数的性质时 可先求出其图象对称轴和顶点坐标 并明确图明的开口方 向 再画出草图 然后根据草图说明性质 也可不画草图 直接说明 案例 4 如图 二次函数 y x2 bx c 的图象与 x 轴只有一个公共点 P 与 y 轴交点为 Q 过点 Q 的直线 y 2x m 与 x 轴交于点 A 与这个二次函 数的图象交于另一点 B 若 S BPQ 3S APQ 求这个二次 函数的解析式 思路点拨 要求二次函数 y x2 bx c 的解析式 就 是要求 b c 的值 考虑到直线与抛物线交于 Q B Q 点 坐标为 0 c 可过 B 作 BC x 轴于 C 由 S BPQ 3S APQ可得 S APB 4S APQ 于是 BC 4OQ 4c 联立两个解析式不难表示出 B 的坐标 由 BC 4c 便可得到一个关于 b c 的关系式 又由抛物 线的顶点在 x 轴上 则可得到另一个关于 b c 的关系式 两式联立便可求 b c 的值 解 二次函数 y x2 bx c 与 y 轴的交点 Q 的坐标为 0 c 又 直线 y 2x m 过点 Q m c 联立 得 2 2 cxy cbxxy 24 2 cby bx 又 ABP 与 APQ 有相同的一边 AP 过 B 点作 BC x 轴于点 C BC 4OQ 又 OQ c 故 BC 4c 即 4 2b c 4c 又因 y x2 bx c 与 x 轴只有一个交点 b2 4c 0 联立 解得 b1 b2 4 3 4 经检验当 b1 时与题意不合 舍去 3 4 b 4 c 4 二次函数的解析式为 y x2 4x 4 案例 5 阅读下列材料 探究问题 已知正方形的周长为 4a 面积为 S 1 求 S 与 a 的函数关系式 2 画出它的图象 求 出 S 6cm2时 正方形的周长 4 根据函数图象 求出 a 取何值时 S 4 1 解 1 正方形的周长为 4a 其边长为 a 正方形的面积为 S a2 2 列表 a 3 2 10123 S9410149 画出图象如图所示 3 当 S 6cm2时 a cm 6 故正方形的周长为 4cm 6 4 当 a cm 时 S cm2 且此函数在其取值范围内 S 随 a 的增大而增大 2 1 4 1 当 a 或 a 时 S 2 1 2 1 4 1 请你就上述材料谈谈你的感受 并与同伴交流从中获利的启迪 思路点拨 上述问题是二次函数 y x2的实际应用题 在解题过程中 由于忽视了对 自变量 a 的取值范围的讨论 致使整个过程发生错误 作为几何量 边长 a 应是个正数 即 a 0 所以图象只是抛物线 S a2的一部分 且不包括最低点 0 0 正确解法如下 1 正方形的周长为 4a 其边长为 a 正方形的面积 S a2 a 0 2 列表 a123 S149 画出图象如图所示 3 当 S 6cm2 a cm a cm 不合题意 舍去 66 故正方形的周长为 4cm 6 4 当 a cm 时 S cm2 且函数在取值范围内 S 随 a 的增大而增大 2 1 4 1 当 a cm 时 S cm2 2 1 4 1 方法点评 上述问题是一个实际应用题 所以注意自变量 a 的取值范围 运用图象来 解决问题 典型例题 典型例题 例例 1 1 在直角坐标系中 二次函数的图象与 x 轴交于 A B 两mnxxy 2 4 3 2 1 2 点 与 y 轴交于点 C 其中点 A 在点 B 的左边 若 ACB 90 1 CO BO AO CO 1 求点 C 的坐标及这个二次函数的解析式 2 试设计两种方案 作一条与 y 轴不生命 与 ABC 的两边相交的直线 使截得的 三角形与 ABC 相似 并且面积是 AOC 面积的四分之一 思考 第一问 1 坐标轴上点的坐标有何特点 2 如何求抛物线与 y 轴的交点坐 标 3 如何 设出抛物线与 x 轴的两个交点坐标 4 线段与坐标之间有何种关系 你会用坐标表示线段 吗 思路分析 本例必须准确设出 A B 两点坐标 再求出 C 点坐标 并会用它们表 示线段的长 将代数问题转化为几何问题 再由几何问题转化为代数问题 相互转化 相互转化 水到 渠成 解解 1 依题意 设 其中 则是方程 0 0 BaA0 0 a a 90 2 2 0 2 2 0 2 4 3 2 1 0 2 1 2 2 2 2 02 4 3 2 1 2 2 OABCOACB mmOC mmC xmnxxya maaBOAO m mnxx 于点 其中 轴有两个交点与抛物线 的两个根 AOC COB 0 4 4 2 1 2 1 2 4 3 2 1 4 2 0 02 4 02 2 4 2 2 2 2 2 21 2 2 的坐标是点 轴负半轴上在点 二次函数时当 的坐标是点 符合题意时当 不合题意时当 得解这个方程 A xA COAO AO CO CO BO AO CO OC BO AO CO nxxym C mm mm mm mm BOAOCOCOBOAOCO 把 A 4 0 代入 得 02 4 4 3 4 2 1 2 n 解这个方程得2 n 所求的二次函数的解析式为 2 2 3 2 1 2 xxy 现在来解答第二问 思考 这第二问所要求作的三角形应具备什么条件 什么样的三角形与 ABC 相似 在什么条件下可以讨论两个三角形面积的比 在一个图形上作一和直线 需要确定什么 ABC 是一个什么样的三角形 思路分析 所求的三角形与 ABC 相似 所求的三角形面积 4 1 AOC S 所求三角形若与 ABC 相似 要具备有 两角对应相等 两边对应成比例且夹角相 等 三边对应成比例 等判定两三角形相似的条件 在两三角形相似的条件下 两三角形面积的比等于相似的平方 即找相似比等于 1 2 在一个图形上 截得一个三角形 需要作一条直线 作一条直线应在图形上确定两个 点 且这条直线不能与 y 轴重合 分析至此问题十分明确 即在 ABC 的两边上找出符合上述条件的两点作一条直线 再来分析 ABC 是一个什么样的三角形 猜测它是直角三角形最为理想 从第一问得知的条件 A 4 0 B 1 0 C 0 2 可用勾股定理推出 ABC 确 是直角三角形 这样 ABC CAO BCO 且 ABCBOC SS 4 1 为作符合条件的直线提供了条件 下边分述作符合条件直线的方案 方案 1 依据 三角形两边中点的连线 截得的三角形与原三角形相似 其相似比 是 1 2 面积的比为 1 4 作法 取 AO 的中点 D 过 D 作 D D OC D 是 AC 的中点 AD AO 1 2 即 AD D AOC S 4 1 AD D ACO ABC 图 13 3 3 DD 是所求作的直线 AD D 是所求作的三角形 方案 2 利用 C 作一个 BCF COB 作法 在 CA 上截取 CE 使 CE CO 2 在 CB 上截取 CF 使 CF BO 1 连结 EF 则 BCF 即为所求 如图代 13 3 4 所示 请读者证明 图 13 3 4图 13 3 5 方案 3 在 AC 上截取 AG 使 AG CO 2 在 AB 上截取 AH 使 AH BC 5 连结 GH 则 AGH 为所 求 如图代 13 3 5 所示 请读者去证明 方案 4 在 CA 上截取 CM 使 CM BO 1 在 CB 上截取 CN 使 CN CO 2 连结 MN 则 CMN 为所求 如图代 13 3 6 所示 请读者去证明 图 13 3 6图 13 3 7 方案 5 在 BA 上截取 BP 使 BP BC 5 在 BC 上截取 BQ 使 BQ BO 1 连结 PQ 则 BPQ 为所示 如图代 13 3 7 所示 请读者去证明 练习 练习 一 一 一运动员推铅球 铅球刚出手时离地面 3 2 1米 铅球落地点距离铅球刚出手时相 应地面上的点 10 米 铅球运行中最高点离地面 3 米 已知铅球走过的路线是抛物线 求这 个抛物线的解析式 图 13 3 8 如图 结合题意 知抛物线过 用一般式 3 2 1 0 A 3 mB 0 10 C cbxaxy 2 解之 于是有 3 4 4 010100 3 5 2 a bac cba c 解方程组 得 300 1 1 a 15 2 1 b 3 5 1 c 12 1 2 a 3 2 2 b 3 5 2 c 所求抛物线解析式为 或 3 5 15 2 300 2 x x y 3 5 3 2 12 2 x x y 3 20 300 1 3 5 15 2 300 2 2 xx x y 3 20 300 1 3 5 15 2 300 2 2 xx x y 这时 抛物线的最高点 20 3 不在运 动员与铅球落地之间 不合题意 舍去 所求抛物线解析式为 3 5 3 2 12 2 x x y100 x 方法二 已知抛物线过 3 2 1 0 A 3 mB 0 10 C 因 B 为顶点 所以利用顶点式最宜 于是可设抛物线的解析式为 又其图象过 A C 两点 则3 2 mxay 03 10 3 5 3 0 2 2 ma ma 解方程组 得 300 1 1 a20 1 m 12 1 2 a4 2 m 抛物线最高点 20 3 不在运动员和铅球之间 不合题3 20 300 1 2 xy 意 舍去 故所求抛物线的解析式是 3 5 3 2 12 2 x x y100 x 方法三 已知抛物线与 x 轴交于两点 即 联想截距式解之 所以 0 1 xD 0 10 C 可设抛物线解析式为 10 1 xxxay 其图象又过 A C 两点 则有 3 5 100 0 1 xa 6 1 1 ax 又 11 2 1 10 10 10 axaxxaxxxxay 3 4 10 104 2 11 a axaxa 联立解方程组 得 300 1 1 a501 x 12 1 2 a22 x 因为不合题意 所以舍去 10 50 300 1 xxy 故所求二次函数解析式为 10 2 12 1 xxy100 x 方法四 由抛物线对称性 设对称点为 应用 3 2 1 0 A 3 2 1 2 mA 3 mB 0 10 C 一般式可获解 设抛物线 则可得 cbxaxy 2 0 3 5 10100 3 5 3 5 24 3 3 5 2 2 ba bmam bmam 解这个方程组 得 20 1 m4 2 m 在第一象限 3 mB0 m 舍去 20 m 进而求得 12 1 a 3 2 b 故所求抛物线解析式是 3 5 3 2 12 1 2 xxy100 x 二 如图 这是某空防部队进行射击训练时在平面直角坐标系中的示意图 在地面 O A 两个观测点测得空中固定目标 C 的仰角分别为 和 OA 1 千米 tg 28 9 tg 8 3 位于 O 点正上方 3 5 千米 D 点处的直升飞机向目标 C 发射防空导弹 该导弹运行达到距 地面最大高度 3 千米时 相应的水平距离为 4 千米 即图中的 E 点 1 若导弹运行轨道为一抛物线 求该抛物线的解析式 2 说明按 1 中轨道运行的导弹能否击中目标 C 的理由 图 13 3 9 思路分析 本例应用方法 1 4 思路均可 尤以方法 2 应用顶点式最佳 可仿方法 2 求得抛物线 解析式为 3 5 3 2 12 1 2 xxy100 x 过点 C 作 CB Ox 垂足为 B 然后解 Rt OBC 和 Rt ABC 可求得点在抛物 4 9 7 C 线上 因此可击中目标 C 3 5 3 2 12 1 2 xxy 解 略 三 有一抛物线形的立交桥拱 这个桥拱的最大高度为 16m 跨度为 40m 现把它的图 形放在坐标系 里 如图所示 若在离跨度中心 M 点 5m 处垂直竖直一铁柱支撑拱顶 这铁柱应取多长 图 13 3 10 思路分析 本例仿方法 2 可设抛物线解析式为16 20 2 xay 0 x 40 又抛物线过原点 进而求得16 20 25 1 2 xy 在距离 M 点 5m 处 即它们的横坐标是 x1 15 或 x2 25 分别代入抛物线解析式 求得 y1 y2 15 所以铁柱应取 15m 长 评析 二次函数的解题思路 方法一到方法四把二次函数的顶点式 一般式 截距 式 抛物线的 对称性都进行了展示 抛物线应用从体育方面到军事方面 涉及现代科技 导弹 直升飞机等 进而又扩散 到桥梁建筑 涉 及到现代化建设的方方面面 所以同学们 必须学好课本知识 才能适应现代化的需要 我们可以根据不同的情况 迅速进行决策 选设不同的解析式 达到求解的目的 用二次函数解决最值问题用二次函数解决最值问题 例例 1 1 2006 年旅顺口区 已知边长为 4 的正方形截去一个角后成为五边形 ABCDE 如图 其中 AF 2 BF 1 试在 AB 上求一点 P 使矩形 PNDM 有最大面积 评析 本题是一道代数几何综合题 把相似三角形与二次函数的知识有机的结合在 一起 能很好考查学生的综合应用能力 同时 也给学生探索解题思路留下了思维空间 例例 2 2 某产品每件成本 10 元 试销阶段每件产品的销售价 x 元 与产品的日销售量 y 件 之间的关系如下表 x 元 152030 y 件 252010 若日销售量 y 是销售价 x 的一次函数 1 求出日销售量 y 件 与销售价 x 元 的函数关系式 2 要使每日的销售利润最大 每件产品的销售价应定为多少元 此时每日销售利 润是多少元 解析 1 设此一次函数表达式为 y kx b 则 解得 k 1 b 40 1525 220 kb kb 即一次函数表达式为 y x 40 2 设每件产品的销售价应定为 x 元 所获销售利润为 w 元 w x 10 40 x x2 50 x 400 x 25 2 225 产品的销售价应定为 25 元 此时每日获得最大销售利润为 225 元 点评 解决最值问题应用题的思路与一般应用题类似 也有区别 主要有两点 1 设未知数在 当某某为何值时 什么最大 或最小 最省 的设问中 某某 要 设为自变量 什么 要设为函数 2 问的求解依靠配方法或最值公式 而不是解方 程 例题经典例题经典 例 1 解 设矩形 PNDM 的边 DN x NP y 则矩形 PNDM 的面积 S xy 2 x 4 易知 CN 4 x EM 4 y 且有 作辅助线构造相似三角形 即 NPBCBF CNAF 3 4 y x y x 5 S xy x2 5x 2 x 4 1 2 1 2 1 2 此二次函数的图象开口向下 对称轴为 x 5 当 x 5 时 函数的值是随 x 的增大而增大 对 2 x 4 来说 当 x 4 时 S 有最大值 S最大 42 5 4 1 1 2 二次函数应用题从题设给定形式和解法上看 常见的有以下三类 一 待定系数法型一 待定系数法型 题设明确给出两个变量间是二次函数关系 和几对变量值 要求求出函数关系式 并进行简单的应用 解答的关键是熟练运用待定系数法 准确求出函数关系式 例例 1 1 某公司生产的 A 种产品 它的成本是 2 元 售价是 3 元 年销售量为 100 万 件 为了获得更好的效益 公司准备拿出一定的资金做广告 根据经验 每年投入的广 告费是 x 十万元 时 产品的年销售量将是原销售量的 y 倍 且 y 是 x 的二次函数 它们的关系如下表 x 十万元 012 y11 51 8 1 求 y 与 x 的函数关系式 2 如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费 试写出年利润 S 十万元 与广告费 x 十万元 的函数关系式 3 如果投入的年广告费为 10 30 万元 问广告费在什么范围内 公司获得的年 利润随广告费的增大而增大 析解 析解 1 因为题中给出了 y 是 x 的二次函数关系 所以用待定系数法即可求出 y 与 x 的函数关系式为 1x 5 3 x 10 1 y 2 2 由题意得 S 10y 3 2 x 10 x5x 2 3 由 2 4 65 2 5 x 10 x5xS 22 及二次函数性质知 当 1 x 2 5 即广告费在 10 25 万元之间时 S 随广告费的增大而增大 二 分析数量关系型二 分析数量关系型 题设结合实际情景给出了一定数与量的关系 要求在分析的基础上直接写出函 数关系式 并进行应用 解答的关键是认真分析题意 正确写出数量关系式 例例 2 2 某化工材料经销公司购进了一种化工原料共 7000 千克 购进价格为每 千克 30 元 物价部门规定其销售单价不得高于每千克 70 元 也不得低于 30 元 市场调查发现 单价定为 70 元时 日均销售 60 千克 单价每降低 1 元 日均多售 出 2 千克 在销售过程中 每天还要支出其它费用 500 元 天数不足一天时 按整 天计算 设销售单价为 x 元 日均获利为 y 元 1 求 y 关于 x 的二次函数关系式 并注明 x 的取值范围 2 将 1 中所求出的二次函数配方成a4 bac4 a2 b x ay 2 2 的形式 写出顶点坐标 在图 2 所示的坐标系中画出草图 观察图象 指出单价定为多少 元时日均获得最多 是多少 3 若将这种化工原料全部售出 比较日均获利最多和销售单价最高这两种 销售方式 哪一种获总利较多 多多少 析解 析解 1 若销售单价为 x 元 则每千克降低 70 x 元 日均多售出 2 70 x 千克 日均销售量为 60 2 70 x 千克 每千克获利为 x 30 元 根 据题意得 6500 x260 x2500 x70 260 30 x y 2 30 x 70 2 1950 65x 26500 x130 x 2y 22 顶点坐标为 65 1950 草图略 当单价定为 65 元时 日均获利最多 是 1950 元 3 列式计算得 当日均获利最多时 可获总利 195000 元 当销售单价最 高时 可获总利 221500 元 故当销售单价最高时获总利较多 且多获利 221500 195000 26500 元 三 建模型三 建模型 即要求自主构造二次函数 利用二次函数的图象 性质等解决实际问题 这类问题建模要求高 有一定难度 例例 3 3 如图 4 有一块铁皮 拱形边缘呈抛物线状 MN 4dm 抛物线顶点处到边 MN 的距离是 4dm 要在铁皮 上截下一矩形 ABCD 使矩形顶点 B C 落在边 MN 上 A D 落在抛物线上 问这样截下去的矩形铁皮的周长能 否等于 8dm 析解 析解 由 抛物线 联想到二次函数 如图 4 以 MN 所在的直线为 x 轴 点 M 为原点建立直角坐标系 设抛物线的顶点为 P 则 M 0 0 N 4 0 P 2 4 用待定系数法求得抛物线的解析式为 x4xy 2 设 A 点坐标为 x y 则 AD BC 2x 4 AB CD y 于是 8x12x2 4x2 2 x4x 2 4x2 2y2AD2AB2l 22 8x12x2 4x2 2 x4x 2 4x2 2y2AD2AB2l 22 且 x 的取值范围是 0 x 4 x 2 若 l 8 则 88x12x2 2 即 08x6x 2 解得 4x2x 21 而 0 x 4 x 2 故 l 的值不可能取 8 即截下的矩形周长不可能等于 8dm 注 注 本题还可在其它位置建立直角坐标系 例例4 某环保器材公司销售一种市场需求较大的新型产品 已知每件产品的进价为40元 经销 过程中测出销售量y 万件 与销售单价x 元 存在如图所示的一次函数关系 每年销售该种产 品的总开支z 万元 不含进价 与年销量y 万件 存在函数关系z 10y 42 5 1 求y关于x的函数关系式 2 度写出该公司销售该种产品年获利w 万元 关于销售单价x 元 的函数关系式 年获利 年销售总金额 年销售产品的总进价 年总开支金额 当销售单价x为何值时 年获利最大 最大值是多少 3 若公司希望该产品一年的销售获利不低于 57 5 万元 请你利用 2 小题中的函数图象帮 助该公司确定这种产品的销售单价的范围 在此条件下要使产品的销售量最大 你认为销售单价应定为多少元 解 1 由题意 设y kx b 图象过点 70 5 90 3 解得 y x 12 3分 570 390 kb kb 1 10 12 k b 1 10 2 由题意 得w y x 40 z y x 40 10y 42 5 x 12 x 10 10 x 12 42 5 1 10 1 10 0 1x2 17x 642 5 x 85 2 80 1 10 当85元时 年获利的最大值为80万元 6分 3 令w 57 5 得 0 1x2 17x 642 5 57 2 整理 得x2 170 x 7000 0 解得x1 70 x2 100 由图象可知 要使年获利不低于57 5万元 销售单价应在70元到 100元之间 又因为销售单价越低 销售量越大 所以要使销售量 最大 又使年获利不低于57 5万元 销售单价应定为70元 10分 二次函数中考题赏析二次函数中考题赏析 近年来 加强对应用数学知识和能力的考查已成为中考试卷中一道亮丽的风景线 从 各地中考试卷中的实际问题可以看出 它已不再局限于传统而古老的列方程 组 解实际 问题这一类题目 而是呈现出建模方式多元化的新特点 函数应用性问题便是实际问题中 的一朵奇葩 它对同学们的阅读 理解 分析 判断及思维灵活性等能力要求较高 当然 也少不了对基础知识的考查 下面以近年部分中考题为例进行简单的分析 供同学们学习 时参考 例例 1 海安县 抛物线的对称轴是 2 4yxx 2x 4x 2x 4x 分析 分析 此题是对二次函数基础知识的考查 可利用配方法把二次函数变形为 2 2 4yx 所以它的对称轴为 故选 2x 例例 2 河南省 某市近年来经济发展速度很快 据统计 该市国内生产总值 1990 年 为亿元人民币 1995 年为亿元人民币 2000 年为亿元人民币 8 610 412 9 经论证 上述数据适合一个二次函数 请你根据这个函数关系 预测 2005 年该市国内 生产总值将达到多少 分析 分析 先根据题意建立年数与生产总值之间的关系式 不妨把 1990 1995 2000 三个 数分别减去 1990 得 0 5 10 此题就转化为已知二次函数的图象过 2 yaxbxc 三点 求时的函数值 0 8 6 510