06曲线的凹向与拐点 王振堂 高等数学 教学课件_第1页
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文档简介

4 6曲线的凹向与拐点 观察与思考在研究函数图形的变化状况时 还要知道曲线的弯曲方向 曲线弯曲的方向曲线的切线有什么关系 定义4 2 曲线的凹向 如果在某区间内 曲线弧位于其上任意一点的切线的上方 则称曲线在这个区间内是上凹的 如果在某区间内 曲线弧位于其上任意一点的切线的下方 则称曲线在这个区间内是下凹的 定理4 7 凹向的判断 定理4 7设函数f x 在区间 a b 内具有二阶导数 那么如果x a b 时 恒有f x 0 则曲线y f x 在 a b 内上凹 如果x a b 时 恒有f x 0 则曲线y f x 在 a b 内下凹 定义4 3 拐点 曲线上凹与下凹的分界点称为曲线的拐点 定理4 7 凹向的判断 定理4 7设函数f x 在区间 a b 内具有二阶导数 那么如果x a b 时 恒有f x 0 则曲线y f x 在 a b 内上凹 如果x a b 时 恒有f x 0 则曲线y f x 在 a b 内下凹 定义4 3 拐点 曲线上凹与下凹的分界点称为曲线的拐点 说明 拐点既然是曲线上凹与下凹的分界点 所以在拐点左右邻近f x 必然异号 因而在拐点处f x 0或f x 不存在 若f x0 0 则 x0 f x0 是可能的拐点 解 例1 求曲线y x4 2x3 1的凹向与拐点 y 4x3 6x2 y 12x2 12x 12x x 1 得x1 0 x2 1 令y 0 列表判断 可见 曲线在区间 0 1 内上凹 在区间 0 1 内下凹 曲线上点 0 1 和 1 0 是拐点 0 0 1 拐点 0 拐点 课本p 173图4 18 解 当x 2时 y 0 y 不存在 列表判断 因此 曲线在区间 2 内下凹 在区间 2 内上凹 拐点是 2 0 不存在 0 拐点 课本p 174图4 19 解 当x 0时 y y 都不存在 列表判断 因此 曲线在区间 0 内下凹 在区间 0 内上凹 拐点是 0 0
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