函数及其表示知识点+练习题+答案

函数及其表示考纲知识梳理 一 函数与映射的概念一 函数与映射的概念 函数映射 两集合 设AB 是两个非空数集设AB 是两个非空集合 对应关系 fAB 如果按照某种确定的对应关 系f 使对于集合A中的任 意一个数x 在集合B中都 有唯一确定的数 f x和它 对应 如果按某一个确定的对应关 系f 使对于集合A中的任 意一个元素x 在集合B中 都有唯一确定的元素y与之 对应 名称 称 fAB 为从集合A到 集合B的一个函数 称 fAB 为从集合A到 集合B的一个映射 记法 yf x xA 对应 fAB 是一个映射 注 函数与映射的区别 函数是特殊的映射 二者区别在于映射定义中的两个集合是非 空集合 可以不是数集 而函数中的两个集合必须是非空数集 二 函数的其他有关概念二 函数的其他有关概念 1 函数的定义域 值域 在函数 yf x xA 中 x叫做自变量 x的取值范围A叫做函数的定义域 与x的值相对应的y值叫做函数值 函数值 f xxA 的集合叫做函数的值域 2 一个函数的构成要素 定义域 值域和对应法则 3 相等函数 如果两个函数的定义域相同 并且对应关系完全一致 则这两个函数为相等函数 注 若两个函数的定义域与值域相同 是否为相等函数 不一定 如果函数 y x 和 y x 1 其定义域与值域完全相同 但不是相等函数 再如 y sinx 与 y cosx 其定义域 为 R 值域都为 1 1 显然不是相等函数 因此凑数两个函数是否相等 关键是看定义 域和对应关系 4 函数的表示方法 表示函数的常用方法有 解析法 图象法和列表法 5 分段函数 若函数在其定义域的不同子集上 因对应法则不同而分别用几个不同的式子来表示 这种函数称为分段函数 分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集 其值域等于各段函数的值域的并集 分段函数虽由几个部分组成 但它表示的是个函数 函数及其表示测试题 1 设函数 0 6 0 64 2 xx xxx xf则不等式 1 fxf 的解集是 A A 3 1 3 B 2 1 3 C 3 1 1 D 3 1 3 解析 由已知 函数先增后减再增 当0 x 2 xf3 1 f令 3 xf 解得3 1 xx 当0 x 3 36 xx 故3 1 fxf 解得313 xx或 2 试判断以下各组函数是否表示同一函数 1 f x 2 x g x 33 x 2 f x x x g x 01 01 x x 3 f x 1212 nn x g x 12 n x 2n 1 n N N 4 f x x1 x g x xx 2 5 f x x2 2x 1 g t t2 2t 1 解 1 由于 f x 2 x x g x 33 x x 故它们的值域及对应法则都不相 同 所以它们不是同一函数 2 由于函数 f x x x 的定义域为 0 0 而 g x 01 01 x x 的定义域为 R 所以它们不是同一函数 3 由于当 n N N 时 2n 1 为奇数 f x 1212 nn x x g x 12 n x 2n 1 x 它们的定义域 值域及对应法则都相 同 所以它们是同一函数 4 由于函数 f x x1 x 的定义域为 x x 0 而 g x xx 2 的定义 域为 x x 1 或 x 0 它们的定义域不同 所以它们不是同一函数 5 函数的定义域 值域和对应法则都相同 所以它们是同一函数 注 对于两个函数 y f x 和 y g x 当且仅当它们的定义域 值域 对应法则都 相同时 y f x 和 y g x 才表示同一函数若两个函数表示同一函数 则它们的图象完 全相同 反之亦然 3 求下列函数的值域 1 2 32yxx 2 2 65yxx 3 31 2 x y x 4 4 1yxx 5 2 1yxx 6 1 4 yxx 7 2 2 22 1 xx y xx 8 2 211 212 xx yx x 解 1 配方法 22 12323 323 61212 yxxx 2 32yxx 的值域为 23 12 2 求复合函数的值域 设 2 65xx 0 则原函数可化为 y 又 22 65 3 44xxx 0 4 故 0 2 2 65yxx 的值域为 0 2 3 法一 反函数法 31 2 x y x 的反函数为 21 3 x y x 其定义域为 3 xR x 原函数 31 2 x y x 的值域为 3 yR y 法二 分离变量法 313 2 77 3 222 xx y xxx 7 0 2x 7 33 2x 函数 31 2 x y x 的值域为 3 yR y 4 换元法 代数换元法 设 10tx 则 2 1xt 原函数可化为 22 14 2 5 0 ytttt 5y 原函数值域为 5 注 总结 yaxbcxd 型值域 变形 22 yaxbcxd 或 2 yaxbcxd 5 三角换元法 2 1011xx 设 cos 0 x 则 cossin2sin 4 y 0 5 444 2 sin 1 42 2sin 1 2 4 原函数的值域为 1 2 6 数形结合法 23 4 1 4 5 41 23 1 xx yxxx xx 5y 函数值域为 5 7 判别式法 2 10 xx 恒成立 函数的定义域为R 由 2 2 22 1 xx y xx 得 2 2 1 20yxyxy 当 20y 即 2y 时 即3 00 x 0 xR 当 20y 即 2y 时 x R 时方程 2 2 1 20yxyxy 恒有实根 22 1 4 2 0yy A 1 5y 且 2y 原函数的值域为 1 5 8 2 1 21 21 1111 2 1 21212122 2 xxxx yxx xxx x 1 2 x 1 0 2 x 11 11 22 2 2 11 22 22 xx xx 当且仅当 1 1 2 1 2 2 x x 时 即 12 2 x 时等号成立 1 2 2 y 原函数的值域为 1 2 2 4 求函数的解析式 1 已知 3 3 11 f xx xx 求 f x 2 已知 2 1 lgfx x 求 f x 3 已知 f x 是一次函数 且满足3 1 2 1 217f xf xx 求 f x 4 已知 f x 满足 1 2 3f xfx x 求 f x 解 1 配凑法 33 3 1111 3 f xxxx xxxx 3 3f xxx 2x 或 2x 2 换元法 令 2 1t x 1t 则 2 1 x t 2 lg 1 f t t 2 lg 1 1 f xx x 3 待定系数法 设 0 f xaxb a 则3 1 2 1 333222f xf xaxabaxab 5217axbax 2a 7b 27f xx 4 方程组法 1 2 3f xfx x 把 中的x换成 1 x 得 13 2 ff x xx 2 得 3 3 6f xx x 1 2f xx x 5 设 a 是正数 ax y 2 x 0 y 0 记 y 3x 2 1 x2的最大值是 M a 试求 M a 的表达 式 解 将代数式 y 3x 2 1 x2表示为一个字母 由 ax y 2 解出 y 后代入消元 建立关于 x 的 二次函数 逐步进行分类求 M a 设 S x y 3x 2 1 x2 将 y 2 ax 代入消去 y 得 S x 2 ax 3x 2 1 x2 2 1 x2 3 a x 2 2 1 x 3 a 2 2 1 3 a 2 2 x 0 y 0 2 ax 0 而 a 0 0 x a 2 下面分三种情况求 M a i 当 0 3 a0 即 023 30 2 aa a 时 解得 0 a 1 或 2 a