自控理论基础第二章

第三章控制系统的定性分析 3 2李雅普诺夫稳定判据李氏意义下稳定性的基本思想 法国数学家庞加莱在他的 一书中首先应用定性的方法研究微分方程解的稳定性问题 实际上在庞加莱之前的一些物理学家在求解力学上的稳定状态时已经发现 如果物体仅受重力的作用 则当其重心位置最底 即位能最小 时 平衡状态是稳定的 这实质上是这种条件下一个力学系统的平衡状态的稳定判据 它不必求解这个力学系统的微分方程 而仅根据其位能情况就可对平衡状态的稳定性作出结论 俄国数学家李雅普诺夫正是受到了庞加莱等科学家的研究结果和研究思想的启发 发展了一套判别系统稳定性的方法 李雅普诺夫首先给稳定性下了一个精确的数学定义 然后构造一个相似于 能量 的正定泛函 最后判定这个泛函在沿着描述 系统的微分方程运动时的导数是否随时间的增长而衰减 也即这 个泛函是否为一个负定的泛函 从而对这个系统的稳定性作出结论 而把满足这些条件的泛函称为李雅普诺夫函数 李雅普诺夫函数常用V X 表示 由于状态向量是关于时间t的函数 故V X 是关于X t 的函数的函数 叫泛函 虽然X t 是一个向量函数 但泛函V X 是一个标量函数 李氏关于运动稳定性的理论有两个方法 一种叫 间接法 也叫李雅普诺夫第一法 另一种叫 直接法 也叫李雅普诺夫第二法 下面分别给予简单的介绍 3 2 1李雅普诺夫第一方法李氏第一法需求系统微分方程的解 根据解的形式 按李氏意义下的稳定性定义来判别系统是否稳定 故叫 间接法 下面先介绍用李氏第一法如何判别线性定常系统的稳定性 对于高阶线性定常系统若求其解的形式一般是较为困难的 但线性定常系统的稳定与否 仅与系统本身的结构和参数有关 而与系统输入信号的形式和大小无关 因此 可根据系统的特征值判别系统是否稳定 故李氏第一法应用于线性定常系统也叫特征值判据 定理 线性定常系统 渐进稳定的充分必要条件 是系数矩阵A的所有特征值都位于左半复数平面 即 其中 i是A的特征值 例 设系统的状态方程为 判别此系统的稳定性 解 系统稳定 需要指出的是 当A阵有特征值的实部等于零时 其对应的瞬态输出分量不是常数就是稳定的等幅振荡 不会衰减至零 但此系统在李氏意义下仍是稳定的 实际系统总是非线性的 而非线性的稳定性不仅与系统本身的结构和参数有关 还与输入信号的形式和大小有关 当系统的非线性特性不很严重时 常对此系统作线性化处理 即用线性化的数学模型来近似描述实际的非线性系统 用特征值判据判别此类系统稳定性的结论 请见书上P 1093 2 2李雅普诺夫第二方法 直接法 李雅普诺夫第二方法 直接法 既适用于线性系统也适用于非线性系统 定理 当选定X 0 相当于系统受到扰动后的初始状态 如果 存在一个具有连续的一阶偏导数的标量函数V X 即李氏函数 也叫能量函数 并且满足以下条件 1 V X 0 2 若dV X dt0 则系统是不稳定的 4 若dV X dt 0 但dV X dt不恒等于零 除了dV 0 dt 0以外 则系统是渐进稳定的 但是 若dV X dt恒等于零 那么 系统在李氏意义下是稳定的 但不是渐进稳定的 例 设一非线性系统的状态方程为 试确定该系统的稳定性 解 设李氏函数 一般选V X 为二次型 当X 0 时 V X 0 则有 该系统稳定 如果某系统方程 如上例 存在一个李氏函数 则可充分肯定此系统是稳定的 而不必去求解描述这个系统的微分方程 这个方法既可用于线性系统 也可用于非线性系统 但是 李氏第二法给出的是线性稳定的充分条件 而不是充分必要条件 也就是说 一个稳定的系统一定存在无穷多个李氏函数 见P111例3 7 但是 找不到某个特定系统的李氏函数并不意味着这个系 统是不稳定的 因此 应用李氏第二法判断系统的稳定性 关键在于找一个李氏函数 而一般来讲找一个李氏函数全凭经验和技巧 这是一个很大的缺陷 但经过数学家们的不断努力 对于一些特定种类的系统 已找到了求李氏函数的特定方法 3 2 3李雅普诺夫直接法用于线性定常系统线性定常系统的状态方程为 构造一个二次型的李氏 函数 其中 P为n行n列实对称正定矩阵 X为n列 向量 将V X 对时间求导并把状态方程代入 得 其中 即 如果能找到满足式 1 的正定矩阵P和Q 则V X 0 而dV X dt 0系统就是渐进稳定的 式 1 是一个矩阵代数方程 称为李雅普诺夫方程 定理 线性定常连续系统渐进稳定的充要条件是 给定一个实对称正定矩阵Q 存在一个正定对称矩阵P 使它们满足李雅普诺夫方程 即 且标量函数 是系统的一个李雅普诺夫函数 例 设线性定常连续系统状态方程为 决定a值 使系统渐进稳定 解 令P阵为 因Q阵是任意给定的实对称正定矩阵 故令 将A P Q代入李氏方程得 一个矩阵的定号性 可用西尔维斯特定理判定 即 矩阵的各阶主子式均大于零 是一个矩阵正定的充分必要条件 由于 故只要a 0 则P是正定的 系统是渐进稳定的 课外习题 P 165第3 3题 第3 9题 3 5系统的能控性 在状态空间法中 对系统的行为特征用状态方程和输出方程来描述 这种描述法是着眼于系统内部状态的变化 状态方程描述由输入和初始状态所引起的状态变化 输出方程则描述由于状态变化而引起的输出变化 所谓能控性和能观性的概念 就是回答 系统的状态是否能控制 和 状态的变化能否由输出反映出来 这样两个问题 卡尔曼 Kalman R E 在1960年首先提出线性系统的能控性和能观性的概念 是现代控制理论中两个非常重要的基本概念这是因为 欲使系统获得良好的控制效果 一般采用反馈的手段构成闭环系统 闭环系统动态性能的优劣 主要受闭环系统的极点在极点平面上的位置的影响 为了使闭环极点能在极点平面上任意配制而获得理想的控制性能 仅以输出进行反馈是难以实现的 而必须采用状态反馈 采用状态反馈的前提是要 求系统的状态变量能被控制和能被观测 而基于现代控制理论基 础上的最优控制和最优估计也以系统具有能控性和能观性为先决条件 这就是为什么要研究系统能控性和能观性的原因 3 5 1能控性定义定义 设一个线性定常系统 A B C 其状态向量属于n维实空间 若对n维实空间中的任一状态X t0 和另一任意状态X tf 存在一个有限的时间tf t0和输入U t0 tf 能在T tf t0内使状态X t0 转移到X tf 则称此系统完全能控 简称能控 此系统中只要有一个状态不能控 则称此系统完全不能控 简称不能控 对于上述定义须注意 1 由于上述定义中的X t0 和X tf 均是任意的 所以定义包含了能控和能达两个概念 对于线性定常系统 能控和能达是等价的 即状态能控 则一定能达 反之亦然 2 不限制U t0 tf 的大小 3 不限制X t0 转移到X tf 的軌迹 定义可用书上P 126图3 5 1和图3 5 2加以直观的说明 3 5 2能控性判据之一定理1 设线性定常系统的状态方程为 其状态完全能控的充要条件是 其能控矩阵 满秩 即rank S n 例 判定系统 是否具有能控性 解 rank S 2 n 3 所以系统不具有能控性 在上例中 S阵不是方阵 有时求其秩较为不便 此时可利用 这一性质 因 是一方阵 求其秩 较为方便 对于上例 推论 若系统 A B 对中B的秩为r 则系统完全能控的条件是当且仅当 例 设有三阶状态方程 试判其能控性 解 因B的秩为2 故 则不能控 推论的应用减少了可控阵S的计算量 在第二章中曾提到过 能控标准型 状态方程这一名称 即 可以证明 当单输入线性定常连续系统的 A B 对取上面形式时 此系统一定能控 A B 对取上面形式的好处在于系统的特征多 项式很容易写出 即 定理2 单输入单输出线性定常连续系统的动态方程为 如系统能控 即能控性矩阵 非奇异 则存在一个 非奇异变换矩阵 使 而得到能控标准型的动态方程 其中 变换矩阵 例 设系统的 A B 对为 其中 为行向量 试将A B化为能控标准型 解 系统可控 有 从而 为能控标准型 A B 对 3 5 3能控性判据之二 定理1 设系统 A B 对中的A阵具有各不相同的单特征值 则其状态能控的充要条件是系统经非奇异阵P线性变换后的对角标准型 的矩阵 中不包含元素全为零的行 上式中 其中 是线性变换前系统的状态向量及矩阵 定理2 设系统 A B 对中的A阵具有若干组各不相同的重特 征值 其中m1 m2 mk分别表示相应一 组特征值为m1 m2 mk重 则其状态能控的充要条件是系统经非奇异阵P线性变换后的约 当标准型 中 和每个约当块 的最后一行相对应的 阵的所 有那些行 其元素不全为零 如果两个约当块有相同的特征值 上述结论不成立 定理1和定理2的基础是 系统经非奇异线性变换后不改变系统的状态能控性 例子请见书上P 134 P 135的例3 25对于实际系统来说 更关心的是系统的输出 下面讨论系统输出能控性的定义和判据 定义 线性连续定常系统的动态方程为 如果存在一个无约束的分段连续控制向量U t 在有限时间 tf t0 内使得任一初始输出Y t0 能够转移到Y tf 则称这个系统为输出完全能控 定理3 系统 输出能控的充分必要条件是其输出 能控性矩阵 满秩 即当有q个输出时 其秩为q 例 设系统的动态方程为 试确定输出能控性 解 所以输出能控性 课外习题 P 170第3 20题 第3 21题 第3 22题 第3 25题 第3 26题 3 6系统的能观性3 6 1能观性定义在上一节的讨论中 已说明 系统状态能控是采用状态反馈构成闭环系统并使其极点能在极点平面上任意配制而获得理想控制性能的先决条件 而要获得最优控制的效果 往往需要全状态反馈 从而引出以下两个问题 1 系统内部的状态有的具有明确的物理含意 有的没有 具有明确的物理含意的状态变量 也不一定有仪表能将其取出来进行反馈 更不用说没有明确的物理含意的状态变量 2 既使系统内部所有的状态变量都可用相应的仪表能将其取出进行反馈 则当系统的阶次n较高时 所用的仪表数量也很可观 这不仅增加了成本 也给安装和维修带来困难 但实际上 系统的输入不仅是可测量的 有的还是已知的 而系统的输出是人们所需要的 其数量一般不多 且都具有明确 的物理含意 还便于测量 因此 自然想到 能否利用可测量甚至已知的输入及便于测量的输出 来观察系统内部的状态变量 从而为状态反馈创造条件 这就涉及到系统内部的状态变量是否能观的问题 定义 线性连续定常系统的动态方程为 如果在任意有限时间间隔t0 t tf内 根据给定的控制输入U t 和Y t 的量测值 能够唯一地确定系统在t0时刻的状态X t0 的每一个分量 则称此系统的状态是完全能观的 简称能观 若系统中至少有一个状态变量是不能观的 则称此系统的状态不完全能观简称不能观 书上第P 136还介绍了能构性概念 对线性连续定常系统而言能观性与能构性是等价的 对能观性定义的直观理介 可参见书上P 136 P 137中的例3 27和例3 27 3 6 2能观性判据之一 定理1 线性连续定常系统的动态方程为 系统状态完全能观的充分必要条件是其能观性矩阵 满秩 即rank V n n为状态变量的个数 q为输出变量的个数 例 设系统的动态方程为 试判定能观性 解 系统状态能观 需要指出的是 系统状态能控 不一定能观 反之 系统状 态能观 不一定能控 在第二章中曾提到过 能观标准型 动态方程这一名称 即 可以证明 当单输出线性定常连续系统的 此系统一定能观 对取上面形式时 定理2 若n维单输入单输出线性连续定常系统能观 则一定 可找到一个非奇异线性变换阵T 并令 可将系统动态方程 变换为能观标准型 定理中变换阵T的求法如下 而 例 系统动态方程为 能否将其化为能观标准型 如能将其化为能观标准型 解 先判是否能观 所以系统能观 求T 从而 3 6 3能观性判据之二 定理1 设系统中的A阵具有各不相同的单特征值 则其状态能观的充要条件是系统经非奇异阵P线性变换后的对角标准型 的矩阵 中不包含元素全为零的列 上式中 其中