江苏省中等职业学校学业水平测试数学辅导用书过关训练

第一章 集 合1.1 集合与元素【知识要点】1集合的概念由某些确定的对象所组成的整体叫做集合。集合通常用大写的英文字母A，B，C，表示。集合中的每个确定的对象叫做这个集合的元素。集合的元素通常用小写的英文字母a，b，c， 表示。2集合元素的特性集合中的元素具有确定性、互异性和无序性。3元素与集合的关系如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作aA；如果a不是是集合A的元素，就说a不属于A，记作aA。4有限集、无限集和空集含有有限个元素的集合，叫做有限集；含有无限个元素的集合，叫做无限集。不含任何元素的集合叫做空集，记作。5常用数集数集名称自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号NN*或N+ZQR【基础训练】1用符号“”或“”填空：（1）-1 N； （2） Q； （3） R；（4） Z； （5）0 ； （6）-5 Z； （7） Q； （8）3.14 Q。2下列关系式中不正确的是（ ）A0 B01，2，3，4 C3x|x2-9=0 D2x|x0【能力训练】1下列对象不能组成集合的是（ ）A不等式x+20的解的全体 B本班数学成绩较好的同学 C直线y=2x-1上所有的点 D不小于0的所有偶数1.2 集合的表示法【知识要点】1列举法把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内，这种表示集合的方法叫做列举法2描述法用集合中元素的共同特征来表示集合的方法叫做描述法描述法的一般形式为：x| x具有的共同特征【基础训练】1小于5的自然数组成的集合用列举法表示为 2方程x+1=0的解集用列举法表示为 3下列元素中属于集合x| x=2k，kN的是（ ）。A-2 B3 C10 Dp4下列元素中不属于集合x| 2x-30的是（ ）。A-1 B0 C1 D2【能力训练】1用列举法表示下列集合：（1）绝对值小于3的所有实数组成的集合；（2）x| x2-2x-3=0 1.3 集合之间的关系【知识要点】1子集对于两个集合A与B，如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素（即若xA，则xB），那么集合A叫做集合B的子集，记作A B或B A根据子集的定义，我们可以得出，任何一个集合是它自身的子集，即A A我们规定：空集是任何集合的子集，即 A2真子集对于两个集合A与B，如果集合A是集合B的子集，并且集合B中至少有一个元素不属于集合A，那么集合A叫做集合B的真子集，记作AB或BA显然，空集是任何非空集合的真子集，即，若A是非空集合，则A3集合相等如果两个集合的元素完全相同，那么我们就说这两个集合相等，记作A=B显然，AB且BAA=B【基础训练】1用适当的符号（，=）填空：（1）3 3； （2）-2 N； （3）a，b b，a；（4）3,5 5； （5）Z Q； （6） x| x1 x|x2； （2） 0； （3）x|x2-3x+2=0 1，2. 2下列正确的是（ ）A0 B0= C0 D 03.集合A=x|1x3x| x4= 2x| 1x3= 3已知U=R，A=xx1 ，则 =（ ）Ax| x1，B= x| x5，那么AB=（ ）A B x| 1x5 C x| 1x5 D x| 11，B= xx5，那么AB=（ ）Ax| x1 B x| x1 Cx| x5 D x| x56已知U=0，1，2，3，4，5，6，A=1，3，5，B=3，4，5，6，求AB，AB， ，（AB）1.5 充要条件【知识要点】1 充分条件、必要条件若命题“如果p，那么q”是正确的，即pq，那么我们就说p是q的充分条件，或q是p的必要条件。2充要条件若p既是q的充分条件，又是q的必要条件，那么我们就说p是q的充分必要条件，简称充要条件，也称p与q是等价的，或称p等价于q，记作pq。【基础训练】1用符号“、”填空：（1）“a=3，b=2” “a+b=5”；（2）“ab=0” “a=0”；（3）“x2=1” “x=1”。2下列各组条件中，p是q的什么条件？（1）p：a是整数；q：a是自然数。 （2）p：四边形是正方形；q：四边形是平行四边形。 【能力训练】1若p：x1，q： x2，则p是q的（ ）。A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 2设p是q的充分不必要条件，q是r的充要条件，则p是r的（ ）。A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件第二章 不 等 式 2.1 不等式的基本性质【知识要点】1不等关系两个数量之间的不等关系可以用不等式来表示，即ab a-b0；a=b a-b=0；ab a-bb，那么a+cb+c性质2 如果a b ，c0, 那么ac bc性质3 如果a b ，c0, 那么acb ，bc ，那么a c【基础训练】一、填空题1用符号“ ”填空：（1） ； （2） ； （3）a+1 a-12已知a b，用用符号“ ”填空：（1）3a 3b； （2）a+4 b+4； （3） 3若a - 4的解集是（ ）Ax| x2 Bx| x-2 Cx| x2 D x| x0 B|x|0 Cx20 Dx20【能力训练】1若xy，则ax ay，那么a一定 是（ ）Aa 0 B a 0，b0，比较a2-ab+b2与ab的大小2.2 区间【知识要点】1 区间区间是指一定范围内的所有实数所构成的集合，也就是数轴上某一“段”所有的点所对应的所有实数2各区间的定义、名称、符号及在数轴上的表示法见下表（a，bR，且ab）定义名称符号数轴表示备注x| a xb 开区间(a，b)x不包含线段的两个端点x| a xb闭区间a，bx包含线段的两个端点x| a xb左开右闭区间(a，bx包含右端点，不包含左端点x| a xa无限区间(a，+)x不包含左端点的射线x| xa无限区间a，+)包含左端点的射线x| xa无限区间(-，a)不包含右端点的射线x| xa无限区间(-，a包含右端点的射线R无限区间(-，+)整个数轴【基础训练】一、填空题1用区间表示下列数集：（1）x| x-1= ；（2）x| -2 x8= ；（3）x| 1 x5= ；（4）x| x2= 。2用集合的描述法表示下列区间：（1）(-，-1= ；（2）-5，2) = 。（3）(3，+)= ；（4）(-1，4)= 。3集合x| -1 x3用区间表示正确的是（ ）。A(-1，3) B-1，3) C(-1，3 D-1，34区间（-，2用集合描述法可表示为（ ）。Ax| x2 D x | x2【能力训练】1已知集合A=-1，1，B=(-2，0)，则AB=（ ）。A(-1，0) B(-2，1 C(-2，1) D -1，0)2已知集合A=(-，3)，集合B=-4，+)，求AB，AB3解下列不等式组，用区间表示解集：（1） （2）（3） （4）2.3 一元二次不等式【知识要点】1一元二次不等式 形如ax2+bx+c0（0）或ax2+bx+c 0）的图像与x轴交点的横坐标即为一元二次方程ax2+bx+c = 0的解函数y = ax2+ bx + c（a 0）的图像在x轴上方（下方）的部分所对应的自变量x 的取值范围，即为一元二次不等式ax2+ bx+ c 0（ 0）的解集 具体结论如下：（0）判别式=b2-4ac 0=00一元二次方程ax2+ bx + c=0的根有两相异实数解x1，x2（x10的解集(-，x1)(x2，+)R一元二次不等式ax2+ bx+ c 0；当 时，y 0的解集为 ；不等式 x2 - x - 2 0的解集 ；不等式 x2 - x - 2 0的解集为 ；不等式 x2 - x - 2 0的解集 3不等式x2-3x 0的解集是（ ）A BR Cx|-1x3 D x| x 35不等式x(x +2)0的解集为（ ）A x | x0 Bx | x -2 Cx| -2 x0 Dx | x0或x -26不等式(x +2)( x -3)0的解集是（ ）Ax| x 3 Bx|x-2 Cx|-2x3 Dx| x 3【能力训练】1解下列不等式：(1) -x2+2x-80 (2) x2+4x+40(3) x2+x+10 (4) x2+2x+302m为什么实数时，方程x2-mx+1=0： 有两个不相等的实数根； 没有实数根？3某商场一天内销售某种电器的数量x（台）与利润y（元）之间满足关系：y=-10x2+500x。如果这家商场计划在一天销售该种电器的利润在6000元以上，那么一天内大约应销售该种电器多少台？2.4 含绝对值的不等式【知识要点】1绝对值的几何意义实数a的绝对值| a |的几何意义是| a |为数轴上与实数对应的点到原点的距离2绝对值不等式的解集不等式| x | 0）的解集是(- a ，a)，数轴表示为：-aa0x不等式| x | a（a 0）的解集是(-，-a)(a，+)，数轴表示为：-aa0x【基础训练】1不等式| x |3的解集为 ；不等式| x |2的解集为 2不等式2| x |-15的解集为 4不等式|8-x|3的解集为 5不等式|2x-1|1的解集为（ ）。AR Bx| x1 Cx| 0x1 Dx| -2x1的解集为（ ）。AR Bx|x Cx| x Dx| 0x1同解的是（ ）。A2-3x1 B3x-21或3x-21 D-12-3x 1【能力训练】1解下列不等式：（1）|2x|-30 （2）|2x-3|1（3）4|1-3x|-1”或“”或“1），则称x为a的n次方根；正数a的正的n次方根叫做a的n次算术根，记作。当有意义时，把叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数。负数没有偶次方根，即当根式的根指数为偶数时，根式内应大于或等于零；零的任何次方根都是零。根式具有以下性质：（1）（nN+，且n1）。（2）当n为奇数时，；当n为偶数时2分数指数幂与根式an（nN+）叫做a的n次幂，a叫做幂的底数，n叫做幂的指数。当幂的指数推广到有理数时，规定：（1） （m，nN+，且n1，当n为奇数时，aR，当n为偶数时，am0）。（2） （有意义，且a0）。3实数指数幂的运算法则当我们将幂的指数推广到实数以后，其整数指数幂的运算法则仍然适用于实指数幂（见下表）。整数指数幂（m，nZ）实数指数幂（a0，b0，a，b R）aman=am+naaab=aa +b （a0）(am) n=amn (aa) b=aab (ab)m=ambm(ab) a =aaba （b0）在实指数幂运算法则中，对幂的底数进行了限制，即底数大于零，这是一般性限制。但对一些特殊的底数小于零的实指数幂，只要实指数幂有定义，实指数幂的运算法则仍适用，如。在运用上述运算法则进行计算或化简时，如遇根式，一般先将根式转化为分数指数幂后，再进行计算或化简。【基础训练】1计算（1）2-2= ； （2）(a+1)0= (a1)；（3）= ； （4）= ；（5）= 。2将下列根式化为分数指数幂的形式（1）= ； （2）= ； （3）= 。3将下列分数指数幂化为根式（1）= ； （2）= ； （3）= 。【能力训练】1计算（1） （2）2化简（1）（a0） （2）（x-2）。4.2 幂函数【知识要点】1幂函数的概念形如y=xa（aR，a0）的函数叫做幂函数，其中x为自变量， a为常数。2幂函数的定义域幂函数没有统一的定义域，不同幂函数的定义域根据其幂指数的取值确定，即使得xa有意义。【基础训练】1下列函数是幂函数的是（ ）。A B Cy=(x-5)2 Dy=5x22函数y=的定义域是（ ）。A0,+) B(0,+) C(-,0)(0,+) DR3下列函数中定义域为0,+)的是（ ）。A B Cy=x-2 Dy=x24函数y=x3的定义域是 ；函数y=x-3的定义域是 ；函数的定义域是 ；函数的定义域是 。【能力训练】1已知幂函数，当时，y =2.（1）求该幂函数的表达式；（2）求该幂函数的定义域；（3）求当x =2，3，时的函数值。4.3 指数函数【知识要点】1指数函数的概念形如y=ax（a0，且a1）的函数叫做指数函数，其中x为自变量，a为常数。指数函数与幂函数同样是幂的形式，但要注意自变量的位置，如果自变量在底数位置，那么该函数是幂函数，如果自变量在指数位置，那么该函数是指数函数。2指数函数的图象及性质函数y=ax（a1）y=ax（0 a 1)O1y=1yxy=ax(0 a 0，且a1）的图象经过点(1，3)，则函数的解析式是 ；当x =0时，y = ；当x =3时，y = ；函数在R上是单调 函数（填“增”或“减”）。【能力训练】1比较大小（用“”或“0，且a1），那么b叫做以a为底N的对数，记作logaN=b。其中，a叫做对数的底数，N叫做真数，logaN读作“以a为底N的对数”。2对数式与指数式的互化我们把ab=N叫做指数式，logaN=b叫做对数式，两者之间的关系如下图所示。ab = NlogaN=b底数幂真数指数对数3常用对数和自然对数当对数的底数为10和e时，分别称这两个对数为常用对数和自然对数。这里的e是一个无理数，e =2.。名称底数一般记法简记法常用对数10log10NlgN自然对数elogeNlnN4几个重要结论（1）零和负数没有对数；（2）真数为1的对数等于零，即loga1=0（a0，且a1）；（3）真数与底数相同的对数等于1，即logaa=1（a0，且a1）。【基础训练】1指数式25=32化为对数式为 ；指数式化为对数式为 。2对数式log5125=3化为指数式为 ；对数式化为指数式为 。3求值：log33= ，log20131= ，ln1= ，lg10= 。【能力训练】1求下列各式中的x：（1）log3x=4 （2）lgx=2（3）lnx=0 （4）=x（5）logx 8=34.5 对数的运算【知识要点】运算性质（下述性质中a0，且a1，M 0，N 0）：积的对数：两个正数积的对数，等于同一底数的这两个数的对数的和。 即loga (MN)= loga M+ loga N商的对数：两个正数商的对数，等于同一底数的被除数的对数减去除数的对数。 即loga= loga M- loga N一个正数幂的对数，等于幂指数乘以这个数的对数。即loga M b=bloga M【基础训练】1下列各式中，正确的是（ ）。Aloga (x+y)= loga x+ loga y Bloga (MN)= loga M loga N C Dlog5 x3=3log5x（x0）2log216= ；lg100-lg0.1= ； ； ；log1122- log112 。3若log32=a，则log323= 。【能力训练】1化简log38log32可得（ ）。Alog34 B4 C3 D2若lg2=a，lg3=b，则lg6可用a，b表示为（ ）。Aab Ba-b Ca+b D3计算（1）lg5+lg20 （2）lg0.01+lne -log8.314.6 对数函数【知识要点】1对数函数的概念形如y=logax（a0，且a1）的函数叫做对数函数，其中x为自变量，a为常数。2对数函数的图象及性质函数y=loga x (a1)y=loga x (0 a 1)O1yxy=logax (0a”或“0，且a1）的图象经过点（8，3），则该对数函数的解析式为 ，当x =32时，y = ，当x =时，y = 。3求下列函数的定义域（1）y=log0.3 (2x-3) （2） （3）4.7 利用计算器求对数值【知识要点】不同型号的计算器，按键和操作的方法略有不同，如果你对某种型号的计算器不是很熟悉，使用时请先阅读一下该计算器的使用说明书，说明书中会介绍计算器的使用方法和有关计算的操作程序。下面以TY90MS349学生用计算器为例，介绍一下利用计算器求对数值的操作程序：常用对数：按lg键输入真数值按 = 键显示结果；自然对数：按ln键输入真数值按 = 键显示结果；一般底的对数：按log键输入底数值按 ，键输入真数值按 = 键显示结果。【基础训练】利用计算器求下列对数值（精确到0.0001）：1lg8350； 2lg0.345； 3；4lg2.813； 5ln12.8； 6ln0.935；7log22048； 8log0.518； 9；10。4.8 指数函数、对数函数的实际应用【知识要点】指数函数与对数函数在经济、社会、生活中应用较为广泛，运用指数函数与对数函数解决实际问题，先将实际问题数学化，即建立数学模型。对于较为复杂的数学化式子在计算时可考虑取对数，如对于等式可两边取同底对数，一般取常用对数，然后利用计算器计算。【能力训练】1某毕业生工作后，第一年存款5000元，计划以后每年的存款增长10%。（1）第二年存款和第三年的存款分别为多少元（只列式，不计算）？（2）写出第x年存款数y（元）与x之间的函数关系式；（3）多少年后，每年存款超过10000元（精确到1年）？2某企业50万元购进一套机械设备，并计划折旧至25万元时，更新这套机械设备，如果每年的折旧率按5%计算，问多少年后这套机械设备被更新（精确到1年）？3某林区原有林木30000m3，如果每年植树以保证每年林木的体积（单位：m3）增长5%，经过x年林区中有林木y m3。（1）写出y随x变化的函数关系式；（2）大约经过多少年，该林区的林木体积可增加到50000m3（精确到0.1年）？第五章 三角函数5.1 角的概念推广【知识要点】1角的概念的推广（1）角的概念角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形射线的端点称为角的顶点，射线旋转的开始位置和终止位置分别称为角的始边和终边（2）正角、负角和零角一条射线绕着端点按逆时针方向旋转形成的角叫做正角；按顺时针方向旋转形成的角叫做负角；如果一条射线没有做任何旋转，那么也把它看成一个角，叫做零角2象限角和非象限角为了