2011年全国高中数学联赛山东省预赛试题及答案

学奥数 这里总有一本适合你 华东师范大学出版社 20112011 年全国高中数学联赛山东省预赛年全国高中数学联赛山东省预赛 2011 年全国高中数学联赛山东省预赛由山东省数学会普及工作委员会及山 东省数学竞赛委员会主办 由山东省数学竞赛委员会组织及负责命题 试题以 全日制普通高中 新 课程标准 的内容和要求为依据 在方法和 能力的要求上有所提高 试题包括 10 道选择题 4 道填空题 5 道解答题 全 卷满分 150 分 预赛时间 2011 年 9 月 10 日 星期六 9 30 11 30 预赛地点 全省各市组织进行 此项预赛人数为 14 5 万人 获奖面为参赛人数的 5 按 1 2 4 的比例 设一 二 三等 3 个奖项 并根据成绩从中选拔 2000 名优胜者参加 2011 年全 国高中数学联赛山东赛区决赛 学奥数 这里总有一本适合你 华东师范大学出版社 试 题 一 选择题 每小题一 选择题 每小题 6 6 分 共分 共 6060 分 分 1 已知集合 1 3 5 0 2 4 6 0 Mxxxxx Nxxxxx R R R R MN A B C D 2 3 3 4 4 5 5 6 2 已知 若为实数 则最小的正整数的值为 33 nzi zn A B C D 3456 3 已知成等比数列 q 则是的 p a b c dadbc pq A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分且必要条件 D 既不充分也不必要条件 4 函数的单调递增区间是 2 0 3 log 2 f xxx A B C D 2 1 2 1 1 5 已知均为正实数 则的最大值为 x y 22 xy xyxy A 2 B C 4 D 2 3 4 3 6 直线与在区间上截曲线所y 51y 4 0 sin 0 0 2 ymxnmn 得的弦长相等且不为零 则下列描述正确的是 A B 35 n 22 m 3 2mn C D 35 n 22 m 3 2mn 7 有 6 名同学咨询成绩 老师说 甲不是 6 人中成绩最好的 乙不是 6 人中成绩最差 的 而且 6 人的成绩各不相同 那么他们 6 人的成绩不同的可能排序共有 A 120 种 B 216 种 C 384 种 D 504 种 8 若点在曲线上 点在曲线上 则的最小值是 P 2 1yx Q 2 1xy PQ A B C D 3 2 3 2 2 3 2 4 3 2 8 学奥数 这里总有一本适合你 华东师范大学出版社 9 已知函数 为常数 且 2 11 6 12 x f xxbx a a b1a 则的值是 8 lglog 1000 8f lglg2 f A 8 B 4 C D 4 8 10 在等差数列中 若 且它的前项和有最大值 那么当取最 n a 11 10 1 a a n n S n S 小正值时 n A 1 B 10 C 19 D 20 二 填空题 每小题二 填空题 每小题 6 6 分 共分 共 2424 分 分 11 已知 记的最大值为 则 cos2 cos f xxpxp x R f x h p 的表达式为 h p 12 已知 则 sin sin cos cos xxxx 0 x x 13 设为抛物线上相异两点 则的最小值 A B 2 2 0 ypx p 22 OAOBAB 为 14 已知中 是重心 三内角的对边分别为 且ABC G A B C a b c 则 564035aGAbGBcGC 0 B 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 5 5 题 共题 共 6666 分 分 15 12 分 不等式 2 2 sin2 2 22 sin 32 4 cos 4 aa 对恒成立 求实数的取值范围 2 0 a 16 12 分 已知在正方体中 分 1111 ABCDA B C D O E F G 别为的中点 且 求四面体的体 11111 BD BB AD DC1AB OEFG 积 A1 D1 C1 B1 F G O E B C D A 学奥数 这里总有一本适合你 华东师范大学出版社 17 12 分 在平面直角坐标系中 已知圆与圆相交于点 点的坐 1 C 2 CPQP 标为 两圆半径的乘积为 若圆和均与直线 及轴相切 求直 3 2 13 2 1 C 2 Clykx x 线 的方程 l 18 15 分 甲乙两人进行某种游戏比赛 规定每一次胜者得 1 分 负者得 0 分 当 其中一人的得分比另一人的多 2 分时即赢得这场游戏 比赛随之结束 同时规定比赛次数 最多不超过 20 次 即经 20 次比赛 得分多者赢得这场游戏 得分相等为和局 已知每次 比赛甲获胜的概率为 乙获胜的概率为 假定各次比赛的结果是p01p 1qp 相互独立的 比赛经次结束 求的期望的变化范围 E 19 15 分 集合 若满足 其任意三个元素 均满足 1 2 2011 M M a b c 则称具有性质 为方便起见 简记 具有性质的所含元素最多的abc MPM PP 集合称为最大集 试问具有性质的最大集共有多少个 并给出证明 P 学奥数 这里总有一本适合你 华东师范大学出版社 本文档选自华东师范大学出版社的 高中数学 联赛备考手册 2012 预赛试题集锦 该书收 录了 2011 年各省市预赛试题和优秀解答 预赛命 题人员大多为各省市数学会成员 试题在遵循现 行教学大纲 体现新课标精神的同时 在方法的 要求上有所提高 命题人员大多同时兼任各省市 高考命题工作 试题对高考有一定的指导作用 本书架起了联赛与高考的桥梁 是一本不可或缺的备考手册 图书推荐 图书推荐 奥数 联赛冲刺篇 奥数 IMO 终极篇 更多免费图书资料 请在百度文库中搜索 学奥数 这 里总有一本适合你 学奥数 这里总有一本适合你 华东师范大学出版社 解解 答答 1 B 提示 所以 1 3 5 M 2 4 6 N 3 4 MN 2 A 提示 是使为实数的最小的 13 33 2 3 22 nnn zii 3n z 正整数 3 A 提示 充分性显然成立 必要性不成立 例 1 2 5 10abcd 4 A 提示 由对数函数的性质知 则或 当时 2 20 xx 1x 2x 2x 为增函数 当时 为减函数 f x1x f x 5 B 解法一解法一 令 则2 2sxy txy 11 2 2 33 xstyts 所以 412 22333 xyts xyxyst 解法二解法二 令 则 此时 y t x 0 t 1 22221 xyt f t xyxytt 即有 2 22 3 1 2 21 t ft tt 显然当时 当时 所以函数在 即1t 0f t 1t 0f t f t1t 时取得最大值 xy 2 1 3 f 6 D 提示 函数 的图象只有被及 1 sin 2 x ym 4 0 x ya 这样的两直线所截 截得的弦长才能相等 且不为零 所以截取函数 0yaam 学奥数 这里总有一本适合你 华东师范大学出版社 4 sin 0 2 x ymnx 的图象所得弦长相等且不为零的两直线应为 即有 yna yna 0am 解得 进而 5 1nana 2n 3a 3m 7 D 解法一解法一 以记甲成绩排名第一的所有可能的排序之集 以记乙成绩排名AB 为最后的所有可能的排序之集 则 5 AB 4 AB 甲排名第一或乙排名最后的所有可能的排序数为 216ABABAB 按照老师所述 这 位同学成绩可能的排序数为 6 216504 解法二解法二 以乙的成绩不在最后为前提 考虑甲的成绩不在第一的所有可能排序 1 甲的成绩排在最后的所有可能的排序数为 5 5 120A 2 甲的成绩不在最后 又不在第一的所有可能排序数为 114 444 384CCA 所以甲不在首 乙不在尾的所有可能排序数为 120384504 8 C 提示 两抛物线 关于直线 2 1yx 2 1xy 对称 所求的最小值为抛物线上的点到直线yx PQ 2 1yx 距离的最小值的两倍 设为上任意点 yx 2 1 P xx 2 1yx 则 2 1 2 1 22 xxxx d 8 23 min d min 3 2 4 PQ 9 B 提示 由已知可得 8 3 lglog 1000 lg lglg2 8 3lg2 fff 又 1111111 1 12121212 x xxxx a aaaa 令 则有 从而有 6F xf x FxF x x y o 学奥数 这里总有一本适合你 华东师范大学出版社 lglg2 lglg2 6 lglg2 6fFF 8 即知 lglg2 2 lglg2 lglg2 64FfF 10 C 提示 设该等差数列的公差为 显然 由 知d0d 11 10 1 a a 且 因此 1011 0 0 aa 1110 0aa 120 201011 119 1910 2010 0 2 19190 2 aa Saa aa Sa 由 知 从而有 1110 0 aa 1 2190ad 19111 1 1 19 18 19 2 189 19 9 219 0 SSada ad ad 所以 19n 11 提示 令 则 1 2 21 2 pp h p pp 2 cos22cos1xx cosxu 且01u 2 21 f xupupF u 抛物线顶点的横坐标为 所以 yF u 4 p 1 1 42 1 0 42 p F h p p F 即 1 2 21 2 pp h p pp 12 提示 原方程等价于 4 学奥数 这里总有一本适合你 华东师范大学出版社 cos sin cos cos 2 xxxx 所以 cos2sin 1 2 xxkxxkz 或 cos2 sin 2 2 xxkxxkz 由 1 得 2sincos2 2 xxxk 且函数在上为增函数 所以 2sincosf xxxx 0 1 0 2 21 2 fkf 由此得 所以 0k 2sincos 2 xxx 令 易知在上单调递增 且当时 2sincos 2 g xxxx g x 0 4 x 当时 因此当且仅当时 0g x 4 x 0g x 4 x 0g x 由 2 得 因为 故无整数解 即 kxx2 2 cossin 122 2 k k 此方程无解 综上所述 原方程的解为 4 x 13 解法一解法一 设 则 2 4p AABB A xyB xy 2 22 2 22 22 4 ABAB ABAB ABAB OAOBxxyy ABxxyy OAOBABxxyy 设直线和轴交于点 若直线的斜率存在 设为 则直线的方ABx 0 P aABmAB 程为 将其代入抛物线方程得 ym xa 22222 20m xamp xm a 由二元一次方程根与系数的关系得 由此得 2 AB x xa 2 2 ABAB y ymxa xaap 学奥数 这里总有一本适合你 华东师范大学出版社 所以 22 222 4 4 4 ABAB OAOBABxxyyappp 当直线的斜率不存在时 有 所以仍有AB 2 ABAB xxa yyap 22 222 4 4 4 ABAB OAOBABxxyyappp 显然 当且仅当时 即直线的斜率不存在时等号成立 ap AB 有最小值 22 OAOBAB 2 4p 解法二解法二 设 则 22 22 AB AB yy AyBy pp 22 2 22 22 2 22 2 2 AB AB AB AB yy OAOByy p yy AByy p 所以 22 22 2 22 2 4 4 4 2 4 AB AB AB OAOBAB yy yy p yy pp p p 当时 取最小值 2 2 AB y yp 22 OAOBAB 2 4p 14 提示 因为 所以60 GAGBGC 0 404040bGAbGBbGC 0 所以 5640 3540 aGAb GAcb GC 0 因为不共线 所以有 GA GC 750 780abcb 设则 由余弦定理可得 5 ak 7 8bk ck 学奥数 这里总有一本适合你 华东师范大学出版社 222 2564491 cos 2 582 kkk B kk 所以 60B 1515 设 则有sincosx 2 sin21x 2 sin cos 442 x 1 2x 原不等式化为 2 22 2 1 2 22 32 22 2 xaxa x 即 2 4 1 2 320 xa xa x 整理得 2 422 2 2 2 2 xx x axxxx xx 因为 即得 1 2x 20 x 2 ax x 令 则函数在上单调递减 所以在 2 f xx x f x1 2x f x 上的最大值为 即知的取值范围为 1 2x 1 3f a3a 16 连结交于 连结 则 因为 11 B DFGH 11 CA 1111 B DAC 分别为的中点 所以 因此 又 F G 1111 A D D C 11 FG AC 11 FGB D 因为面 在平面内 所以 1 BB 1111 A B C DFG 1111 A B C D 1 BBFG 由此得 面 因为 所以FG 11 BB D DFHGH 2 2 3 O EFGF OEHG OEHF OEHOEH VVVVSFH 在梯形中 1 OBB H H D1 C1 B1 A1 F G O E B C D A 学奥数 这里总有一本适合你 华东师范大学出版社 11 5 223 25 2 881616 OEHEB HOBEOBB H SSSS 梯形 因此四面体的体积为OEFG 15 225 2 316448 O EFG V 17 17 由题意知 共线 设圆与圆的半径分别为 直线的斜率 12 O C C 1 C 2 C 12 r r 12 C C 为 令 则圆与圆的圆心分别为 两圆tan0 cotm 1 C 2 C 111 C mr r 222 C mr r 的方程分别为 222 111 222 222 xmryrr xmryrr 点是两圆的公共点 所以 3 2 P 222 111 222 222 3 2 3 2 mrrr mrrr 由此可知是方程 12 r r 22 64 130m rmr 的两个根 即有 从而知直线 的方程为 1 2 2 13 rr m 2m l 2 2tan tan22 2 1tan yxxx 18 以记比赛经次结束的概率 若为奇数 则甲乙得分之差亦为奇数 pk kk 因而有 0pk 考虑头两次比赛的结果 1 甲连胜或乙连胜两次 称为有胜负的两次 此结果出现的概率为 22 pq 2 甲乙各胜一次 称为无胜负的两次 此结果有两种情况 故出现的概率 为 2pq 比赛经次结束 必为偶数 则 1 2 两次 3 4 两次 两次均未kk3 2kk x y O C1 C2 学奥数 这里总有一本适合你 华东师范大学出版社 分胜负 若 则第两为有胜负的两次 从而有20k 1 kk 1 22 2 2 k pkpqpq 若 比赛必须结束 所以 20k 9 20 2 ppq 综上所述 9 2219 1 2 2 20 2 i i Epqipqpq 由 知 令 则 所以1pq 22 1 2pqpq 2upq 22 1pqu 9 19 1 1 220 i i Euiuu 令 则 9 1 1 2 i i siu 91010 11 121 9 9 199 1 9 999 10 22 1 2 1 2 1 1 21818 1 1 20 2 19 1 10 1 1 2 1 1 iii iii i i usiuiuiu u u suuu u Eu su uuuuu u u u 因 所以有 1 0 2 u 8 1 24 2 E 19 19 令 2 3 44 A 45 46 2011 1 B 对任一 令M P MMAMMB AB 显然 集合 B P 设最大集元素的个数为 则 0 n 0 1968nB 若 设中除 之外的最小元为 M P B M45p 042p 集合中与的乘积大于的元素个数记为 则A45 p2011q 学奥数 这里总有一本适合你 华东师范大学出版社 20112011 4445 4545 q pp 结论结论 1 1 当时 有 4p qp 事实上 若有 即 2011 45 45 pq p 2 4545 45 2011ppp 则可解得 3p 不难验证 当时 均有 令03p pq 且 12 AAA MMM 12 AA MM 这里 1 44 AA Mk kq kM 2 44 AA Mk kq kM 设 且