一次函数压轴题(含答案)

1 如图 1 已知直线 y 2x 2 与 y 轴 x 轴分别交于 A B 两点 以 B 为直角顶点在第二 象限作等腰 Rt ABC 1 求点 C 的坐标 并求出直线 AC 的关系式 2 如图 2 直线 CB 交 y 轴于 E 在直线 CB 上取一点 D 连接 AD 若 AD AC 求证 BE DE 3 如图 3 在 1 的条件下 直线 AC 交 x 轴于 M P k 是线段 BC 上一点 在线段 BM 上是否存在一点 N 使直线 PN 平分 BCM 的面积 若存在 请求出点 N 的坐 标 若不存在 请说明理由 考点 一次函数综合题 分析 1 如图 1 作 CQ x 轴 垂足为 Q 利用等腰直角三角形的性质证明 ABO BCQ 根据全等三角形的性质求 OQ CQ 的长 确定 C 点坐标 2 同 1 的方法证明 BCH BDF 再根据线段的相等关系证明 BOE DGE 得出 结论 3 依题意确定 P 点坐标 可知 BPN 中 BN 变上的高 再由 S PBN S BCM 求 BN 进而得出 ON 解答 解 1 如图 1 作 CQ x 轴 垂足为 Q OBA OAB 90 OBA QBC 90 OAB QBC 又 AB BC AOB Q 90 ABO BCQ BQ AO 2 OQ BQ BO 3 CQ OB 1 C 3 1 由 A 0 2 C 3 1 可知 直线 AC y x 2 2 如图 2 作 CH x 轴于 H DF x 轴于 F DG y 轴于 G AC AD AB CB BC BD BCH BDF BF BH 2 OF OB 1 DG OB BOE DGE BE DE 3 如图 3 直线 BC y x P k 是线段 BC 上一点 P 由 y x 2 知 M 6 0 BM 5 则 S BCM 假设存在点 N 使直线 PN 平分 BCM 的面积 则 BN BN ON BN BM 点 N 在线段 BM 上 N 0 点评 本题考查了一次函数的综合运用 关键是根据等腰直角三角形的特殊性证明全等三 角形 利用全等三角形的性质求解 3 如图直线 y kx 6 与 x 轴 y 轴分别交于点 B C 点 B 的坐标是 8 0 点 A 的 坐标为 6 0 1 求 k 的值 2 若 P x y 是直线 在第二象限内一个动点 试写出 OPA 的面积 S 与 x 的函数关 系式 并写出自变量 x 的取值范围 3 当点 P 运动到什么位置时 OPA 的面积为 9 并说明理由 考点 一次函数综合题 待定系数法求一次函数解析式 三角形的面积 专题 动点型 分析 1 将 B 点坐标代入 y kx 6 中 可求 k 的值 2 用 OA 的长 y 分别表示 OPA 的底和高 用三角形的面积公式求 S 与 x 的函数关系 式 3 将 S 9 代入 2 的函数关系式 求 x y 的值 得出 P 点位置 解答 解 1 将 B 8 0 代入 y kx 6 中 得 8k 6 0 解得 k 2 由 1 得 y x 6 又 OA 6 S 6 y x 18 8 x 0 3 当 S 9 时 x 18 9 解得 x 4 此时 y x 6 3 P 4 3 点评 本题考查了一次函数的综合运用 待定系数法求一次函数解析式 三角形面积的求 法 关键是将面积问题转化为线段的长 点的坐标来表示 7 如图 过点 1 5 和 4 2 两点的直线分别与 x 轴 y 轴交于 A B 两点 1 如果一个点的横 纵坐标均为整数 那么我们称这个点是格点 图中阴影部分 不包 括边界 所含格点的个数有 10 个 请直接写出结果 2 设点 C 4 0 点 C 关于直线 AB 的对称点为 D 请直接写出点 D 的坐标 6 2 3 如图 请在直线 AB 和 y 轴上分别找一点 M N 使 CMN 的周长最短 在图 中 作出图形 并求出点 N 的坐标 考点 一次函数综合题 分析 1 先利用待定系数法求得直线 AB 的解析式为 y x 6 再分别把 x 2 3 4 5 代入 求出对应的纵坐标 从而得到图中阴影部分 不包括边界 所含格点的坐标 2 首先根据直线 AB 的解析式可知 OAB 是等腰直角三角形 然后根据轴对称的性质即 可求出点 D 的坐标 3 作出点 C 关于直线 y 轴的对称点 E 连接 DE 交 AB 于点 M 交 y 轴于点 N 则此时 CMN 的周长最短 由 D E 两点的坐标利用待定系数法求出直线 DE 的解析式 再根据 y 轴上点的坐标特征 即可求出点 N 的坐标 解答 解 1 设直线 AB 的解析式为 y kx b 把 1 5 4 2 代入得 kx b 5 4k b 2 解得 k 1 b 6 直线 AB 的解析式为 y x 6 当 x 2 y 4 当 x 3 y 3 当 x 4 y 2 当 x 5 y 1 图中阴影部分 不包括边界 所含格点的有 1 1 1 2 1 3 1 4 2 1 2 2 2 3 3 1 3 2 4 1 一共 10 个 2 直线 y x 6 与 x 轴 y 轴交于 A B 两点 A 点坐标为 6 0 B 点坐标为 0 6 OA OB 6 OAB 45 点 C 关于直线 AB 的对称点为 D 点 C 4 0 AD AC 2 AB CD DAB CAB 45 DAC 90 点 D 的坐标为 6 2 3 作出点 C 关于直线 y 轴的对称点 E 连接 DE 交 AB 于点 M 交 y 轴于点 N 则 NC NE 点 E 4 0 又 点 C 关于直线 AB 的对称点为 D CM DM CMN 的周长 CM MN NC DM MN NE DE 此时周长最短 设直线 DE 的解析式为 y mx n 把 D 6 2 E 4 0 代入 得 6m n 2 4m n 0 解得 m n 直线 DE 的解析式为 y x 令 x 0 得 y 点 N 的坐标为 0 故答案为 10 6 2 点评 本题考查了待定系数法求一次函数的解析式 横纵坐标都为整数的点的坐标的确定 方法 轴对称的性质及轴对称 最短路线问题 综合性较强 有一定难度 19 已知如图 直线 y x 4与 x 轴相交于点 A 与直线 y x 相交于点 P 1 求点 P 的坐标 2 求 S OPA的值 3 动点 E 从原点 O 出发 沿着 O P A 的路线向点 A 匀速运动 E 不与点 O A 重合 过点 E 分别作 EF x 轴于 F EB y 轴于 B 设运动 t 秒时 F 的坐标为 a 0 矩形 EBOF 与 OPA 重叠部分的面积为 S 求 S 与 a 之间的函数关系式 考点 一次函数综合题 分析 1 P 点的纵坐标就是两个函数值相等时 从而列出方程求出坐标 2 把 OA 看作底 P 的纵坐标为高 从而可求出面积 3 应该分两种情况 当在 OP 上时和 PA 时 讨论两种情况求解 解答 解 1 x 4 x x 3 y 所以 P 3 2 0 x 4 x 4 4 2 故面积为 2 3 当 E 点在 OP 上运动时 F 点的横坐标为 a 所以纵坐标为a S a a a a a2 当点 E 在 PA 上运动时 F 点的横坐标为 a 所以纵坐标为 a 4 S a 4 a a 4 a a2 2a 点评 本题考查一次函数的综合应用 关键是根据函数式知道横坐标能够求出纵坐标 横 纵坐标求出后能够表示出坐标作顶点的矩形和三角形的面积以及求两个函数的交点坐标 24 如图 将边长为 4 的正方形置于平面直角坐标系第一象限 使 AB 边落在 x 轴正半轴 上 且 A 点的坐标是 1 0 1 直线经过点 C 且与 x 轴交于点 E 求四边形 AECD 的面积 2 若直线 l 经过点 E 且将正方形 ABCD 分成面积相等的两部分 求直线 l 的解析式 3 若直线 l1经过点 F 且与直线 y 3x 平行 将 2 中直线 l 沿着 y 轴向上 平移 1 个单位 交 x 轴于点 M 交直线 l1于点 N 求 NMF 的面积 考点 一次函数综合题 一次函数图象上点的坐标特征 待定系数法求一次函数解析式 平移的性质 专题 计算题 分析 1 先求出 E 点的坐标 根据梯形的面积公式即可求出四边形 AECD 的面积 2 根据已知求出直线 1 上点 G 的坐标 设直线 l 的解析式是 y kx b 把 E G 的坐标 代入即可求出解析式 3 根据直线 l1经过点 F 且与直线 y 3x 平行 知 k 3 把 F 的坐标代入即 可求出 b 的值即可得出直线 11 同理求出解析式 y 2x 3 进一步求出 M N 的坐标 利用 三角形的面积公式即可求出 MNF 的面积 解答 解 1 当 y 0 时 x 2 E 2 0 由已知可得 AD AB BC DC 4 AB DC 四边形 AECD 是梯形 四边形 AECD 的面积 S 2 1 4 4 10 答 四边形 AECD 的面积是 10 2 在 DC 上取一点 G 使 CG AE 1 则 St 梯形 AEGD S梯形 EBCG G 点的坐标为 4 4 设直线 l 的解析式是 y kx b 代入得 解得 即 y 2x 4 答 直线 l 的解析式是 y 2x 4 3 直线 l1经过点 F 且与直线 y 3x 平行 设直线 11的解析式是 y1 kx b 则 k 3 代入得 0 3 b 解得 b y1 3x 已知将 2 中直线 l 沿着 y 轴向上平移 1 个单位 则所得的直线的解析式是 y 2x 4 1 即 y 2x 3 当 y 0 时 x M 0 解方程组得 即 N 18 S NMF 18 27 答 NMF 的面积是 27 点评 本题主要考查了一次函数的特点 待定系数法求一次函数的解析式 一次函数图象 上点的特征 平移的性质等知识点 解此题的关键是能综合运用上面的知识求一次函数的 解析式 25 如图 直线 l1的解析表达式为 y 3x 3 且 l1与 x 轴交于点 D 直线 l2经过点 A B 直线 l1 l2交于点 C 1 求直线 l2的解析表达式 2 求 ADC 的面积 3 在直线 l2上存在异于点 C 的另一点 P 使得 ADP 与 ADC 的面积相等 求出点 P 的坐标 4 若点 H 为坐标平面内任意一点 在坐标平面内是否存在这样的点 H 使以 A D C H 为顶点的四边形是平行四边形 若存在 请直接写出点 H 的坐标 若不存在 请说明理由 考点 一次函数综合题 专题 综合题 分析 1 结合图形可知点 B 和点 A 在坐标 故设 l2的解析式为 y kx b 由图联立方程 组求出 k b 的值 2 已知 l1的解析式 令 y 0 求出 x 的值即可得出点 D 在坐标 联立两直线方程组 求 出交点 C 的坐标 进而可求出 S ADC 3 ADP 与 ADC 底边都是 AD 面积相等所以高相等 ADC 高就是 C 到 AD 的距离 4 存在 根据平行四边形的性质 可知一定存在 4 个这样的点 规律为 H C 坐标之和 等于 A D 坐标之和 设出代入即可得出 H 的坐标 解答 解 1 设直线 l2的解析表达式为 y kx b 由图象知 x 4 y 0 x 3 直线 l2的解析表达式为 2 由 y 3x 3 令 y 0 得 3x 3 0 x 1 D 1 0 由 解得 C 2 3 AD 3 S ADC 3 3 3 ADP 与 ADC 底边都是 AD 面积相等所以高相等 ADC 高就是 C 到 AD 的距离 即 C 纵坐标的绝对值 3 3 则 P 到 AB 距离 3 P 纵坐标的绝对值 3 点 P 不是点 C 点 P 纵坐标是 3 y 1 5x 6 y 3 1 5x 6 3 x 6 所以点 P 的坐标为 6 3 4 存在 3 3 5 3 1 3 点评 本题考查的是一次函数的性质 三角形面积的计算以及平行四边形的性质等等有关 知识 有一定的综合性 难度中等偏上 26 如图 直线 y x 6 与 x 轴 y 轴分别相交于点 E F 点 A 的坐标为 6 0 P x y 是直线 y x 6 上一个动点 1 在点 P 运动过程中 试写出 OPA 的面积 s 与 x 的函数关系式 2 当 P 运动到什么位置 OPA 的面积为 求出此时点 P 的坐标 3 过 P 作 EF 的垂线分别交 x 轴 y 轴于 C D 是否存在这样的点 P 使 COD FOE 若存在 直接写出此时点 P 的坐标 不要求写解答过程 若不存在 请说明理由 考点 一次函数综合题 解二元一次方程组 待定系数法求一次函数解析式 三角形的面 积 全等三角形的判定 专题 计算题 动点型 分析 1 求出 P 的坐标 当 P 在第一 二象限时 根据三角形的面积公式求出面积即 可 当 P 在第三象限时 根据三角形的面积公式求出解析式即可 2 把 s 的值代入解析式 求出即可 3 根据全等求出 OC OD 的值 如图 所示 求出 C D 的坐标 设直线 CD 的解析 式是 y kx b 把 C 6 0 D 0 8 代入 求出直线 CD 的解析式 再求出直线 CD 和直线 y x 6 的交点坐标即可 如图 所示 求出 C D 的坐标 求出直线 CD 的解析 式 再求出直线 CD 和直线 y x 6 的交点坐标即可 解答 解 1 P x y 代入 y x 6 得 y x 6 P x x 6 当 P 在第一 二象限时 OPA 的面积是 s OA y 6 x 6 x 18 x 8 当 P 在第三象限时 OPA 的面积是 s OA y x 18 x 8 答 在点 P 运动过程中 OPA 的面积 s 与 x 的函数关系式是 s x 18 x 8 或 s x 18 x 8 解 2 把 s 代入得 18 或 x 18 解得 x 6 5 或 x 6 舍去 x 6 5 时 y P 点的坐标是 6 5 3 解 假设存在 P 点 使 COD FOE 如图所示 P 的坐标是 如图所示 P 的坐标是 存在 P 点 使 COD FOE P 的坐标是 或 点评 本题综合考查了三角形的面积 解二元一次方程组 全等三角形的性质和判定 用 待定系数法求一次函数的解析式等知识点 此题综合性比较强 用的数学思想是分类讨论 思想和数形结合思想 难度较大 对学生有较高的要求 27 如图 在平面直角坐标系中 直线 AB 与 x 轴交于点 A 与 y 轴交于点 B 与直线 OC y x 交于点 C 1 若直线 AB 解析式为 y 2x 12 求点 C 的坐标 求 OAC 的面积 2 如图 作 AOC 的平分线 ON 若 AB ON 垂足为 E OAC 的面积为 6 且 OA 4 P Q 分别为线段 OA OE 上的动点 连接 AQ 与 PQ 试探索 AQ PQ 是否存在最 小值 若存在 求出这个最小值 若不存在 说明理由 考点 一次函数综合题 专题 综合题 数形结合 分析 1 联立两个函数式 求解即可得出交点坐标 即为点 C 的坐标 欲求 OAC 的面积 结合图形 可知 只要得出点 A 和点 C 的坐标即可 点 C 的坐标 已知 利用函数关系式即可求得点 A 的坐标 代入面积公式即可 2 在 OC 上取点 M 使 OM OP 连接 MQ 易证 POQ MOQ 可推出 AQ PQ AQ MQ 若想使得 AQ PQ 存在最小值 即使得 A Q M 三点共线 又 AB OP 可得 AEO CEO 即证 AEO CEO ASA 又 OC OA 4 利用 OAC 的 面积为 6 即可得出 AM 3 AQ PQ 存在最小值 最小值为 3 解答 解 1 由题意 2 分 解得所以 C 4 4 3 分 把 y 0 代入 y 2x 12 得 x 6 所以 A 点坐标为 6 0 4 分 所以 6 分 2 存在 由题意 在 OC 上截取 OM OP 连接 MQ OP 平分 AOC AOQ COQ 又 OQ OQ POQ MOQ SAS 7 分 PQ MQ AQ PQ AQ MQ 当 A Q M 在同一直线上 且 AM OC 时 AQ MQ 最小 即 AQ PQ 存在最小值 AB OP 所以 AEO CEO AEO CEO ASA OC OA 4 OAC 的面积为 6 所以 AM 2 6 4 3 AQ PQ 存在最小值 最小值为 3 9 分 点评 本题主要考查一次函数的综合应用 具有一定的综合性 要求学生具备一定的数学 解题能力 有一定难度 29 如图 在平面直角坐标系 xoy 中 直线 AP 交 x 轴于点 P p 0 交 y 轴于点 A 0 a 且 a b 满足 1 求直线 AP 的解析式 2 如图 1 点 P 关于 y 轴的对称点为 Q R 0 2 点 S 在直线 AQ 上 且 SR SA 求直线 RS 的解析式和点 S 的坐标 3 如图 2 点 B 2 b 为直线 AP 上一点 以 AB 为斜边作等腰直角三角形 ABC 点 C 在第一象限 D 为线段 OP 上一动点 连接 DC 以 DC 为直角边 点 D 为直角顶点作等 腰三角形 DCE EF x 轴 F 为垂足 下列结论 2DP EF 的值不变 的值 不变 其中只有一个结论正确 请你选择出正确的结论 并求出其定值 考点 一次函数综合题 非负数的性质 偶次方 非负数的性质 算术平方根 待定系数 法求一次函数解析式 等腰三角形的性质 关于 x 轴 y 轴对称的点的坐标 专题 代数几何综合题 动点型 分析 1 根据非负数的性质列式求出 a p 的值 从而得到点 A P 的坐标 然后利用 待定系数法求直线的解析式 2 根据关于 y 轴的点的对称求出点 Q 的坐标 再利用待定系数法求出直线 AQ 的解析 式 设出点 S 的坐标 然后利用两点间的距离公式列式进行计算即可求出点 S 的坐标 再 利用待定系数法求解直线 RS 的解析式 3 根据点 B 的横坐标为 2 可知点 P 为 AB 的中点 然后求出点 B 得到坐标 连接 PC 过点 C 作 CG x 轴于点 G 利用角角边证明 APO 与 PCG 全等 根据全等三角形对 应边相等可得 PG AO CG PO 再根据 DCE 是等腰直角三角形 利用角角边证明 CDG 与 EDF 全等 根据全等三角形对应边相等可得 DG EF 然后用 EF 表示出 DP 的长度 然后代入两个结论进行计算即可找出正确的结论并得到定值 解答 解 1 根据题意得 a 3 0 p 1 0 解得 a 3 p 1 点 A P 的坐标分别为 A 0 3 P 1 0 设直线 AP 的解析式为 y mx n 则 解得 直线 AP 的解析式为 y 3x 3 2 根据题意 点 Q 的坐标为 1 0 设直线 AQ 的解析式为 y kx c 则 解得 直线 AQ 的解析式为 y 3x 3 设点 S 的坐标为 x 3x 3 则 SR SA SR SA 解得 x 3x 3 3 3 点 S 的坐标为 S 设直线 RS 的解析式为 y ex f 则 解得 直线 RS 的解析式为 y 3x 2 3 点 B 2 b 点 P 为 AB 的中点 连接 PC 过点 C 作 CG x 轴于点 G ABC 是等腰直角三角形 PC PA AB PC AP CPG APO 90 APO PAO 90 CPG PAO 在 APO 与 PCG 中 APO PCG AAS PG AO 3 CG PO DCE 是等腰直角三角形 CD DE CDG EDF 90 又 EF x 轴 DEF EDF 90 CDG DEF 在 CDG 与 EDF 中 CDG EDF AAS DG EF DP PG DG 3 EF 2DP EF 2 3 EF EF 6 EF 2DP EF 的值随点 P 的变化而变化 不是定值 的值与点 D 的变化无关 是定值 点评 本题综合考查了一次函数的问题 待定系数法求直线解析式 非负数的性质 等腰 直角三角形的性质 全等三角形的判定与性质 以及关于 y 轴对称的点的坐标的特点 综 合性较强 难度较大 需仔细分析找准问题的突破口 30 如图 已知直线 l1 y x 2 与直线 l2 y 2x 8 相交于点 F l1 l2分别交 x 轴于点 E G 矩形 ABCD 顶点 C D 分别在直线 l1 l2 顶点 A B 都在 x 轴上 且点 B 与点 G 重合 1 求点 F 的坐标和 GEF 的度数 2 求矩形 ABCD 的边 DC 与 BC 的长 3 若矩形 ABCD 从原地出发 沿 x 轴正方向以每秒 1 个单位长度的速度平移 设移动 时间为 t 0 t 6 秒 矩形 ABCD 与 GEF 重叠部分的面积为 s 求 s 关于 t 的函数关系式 并写出相应的 t 的取值范围 考点 一次函数综合题 专题 数形结合 分类讨论 分析 1 由于直线 l1 y x 2 与直线 l2 y 2x 8 相交于点 F 因而联立两解析式组成方 程组求得解即为 F 点的坐标 过 F 点作直线 FM 垂直 X 轴交 x 轴于 M 通过坐标值间的关 系证得 ME MF 4 从而得到 MEF 是等腰直角三角形 GEF 45 2 首先求得 B 或 G 点的坐标 再依次求得点 C D A 的坐标 并进而得到 DC 与 BC 的长 3 首先将动点 A B 用时间 t 来表示 再就 在运