电路- 讲义第七章

第七章 一阶、二阶电路,动态电路的方程及初始条件一阶电路的零输入响应、零状态响应、全响应二阶电路及其方程、二阶电路的零输入、零状态、全响应的概念二阶电路过渡过程的过阻尼、欠阻尼及临界阻尼的概念一阶二阶电路的阶跃响应、冲激响应,7-1 动态电路的方程及其初始条件,基本概念1动态电路：含有动态元件电容和电感的电路一阶电路：用一阶微分方程描述的电路 即只含一个独立的动态元件的电路换路： 电路结构、状态发生变化 即支路接入或断开、电路参数变化若换路在t=0时刻进行，则换路前的最终时刻记为t=0- 换路后最初时刻记为t=0+ ；换路经历的时间为0-0+,跳变(跃变):,换路定则：,过渡过程：当电路状态发生改变后(或换路后)需要经历一个变化过程才能达到新的稳定状态，这个变化过程称为电路的过渡过程,基本概念2,根据KCL、KVL和电感、电容的VCR关系建立描述电路的方程，方程是以时间为自变量的线性常微分方程求解方程得到电路所求变量,分析动态电路的过渡过程的方法,引例：求uc,一阶微分方程的求解,解的结构：通解特解,特解中的系数，由特解代入方程求出通解中的系数由初始条件求出,通解,特解,A=？,初始条件：若电路在t =0 时刻发生换路，换路前一瞬间记为0 ，换路后一瞬间记为0 ，初始条件为t=0时电路中各个u 、i 的值电路初始值的确定根据换路定则， 时，有： 由电路的uC(0) 和iL(0) 确定uC（0+）和iL(0+) 时刻的值 电路中其他电流和电压在 t=0+ 时刻的值通过 0+ 等效电路求得独立初始条件： uC(0+)和iL(0+) - 无跳变非独立初始条件： uL(0+) 、iC(0+)、uR(0+) 、iR(0+),通解中的系数的确定由初始条件确定,由换路前 t=0-时刻的电路（一般为稳定状态） 求uC (0-) 或 iL (0-)由连续性得uC (0+) 和iL (0+)画 t=0+ 时刻的等效电路： 电容用电压源替代，电感用电流源替代 (取 0+ 时刻值，方向与电容电压、电感电流方向相同)由 0+ 时的等效电路求所需其他各变量的 0+ 值,求初始值的具体步骤,例:图示电路在 t0 时电路处于稳态，求开关打开瞬间电容电流 iC (0+),换路后，除uC(0+) 和iL(0+) 外，其他变量都可能发生跳变，电容电流、电感电压，电阻电压和电流等因此其他变量t=0+ 时刻的值都要由状态变量确定,例:图示电路的开关SW断开已久，t=0时SW闭合，试求开关闭合后uC (t), iL (t), i1 (t), i2 (t)的初始值,解: (1)在t=0时开关SW闭合前瞬间，有： (2)由换路定则得： (3)画出开关SW闭合后瞬间的 t=0+ 等效电路由图得,7-2 一阶电路的零输入响应,零输入响应 ZIR (Zero Input Response)电路在输入信号(即激励)为零的情况下，仅由电路动态元件储能所产生的响应(电压或电流) 一阶电路: Us = 0，Is = 0，由 uC (0-)=U0 或 iL (0-) = I0 产生的响应,例:图示RC一阶电路中，开关S 置“1”已处于稳态，在 t = 0 时刻开关S 拨至“2”。 求：t0时的 uC (t)， iC (t),在放电过程中，电容释放的能量全部被电阻所消耗,电容电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数 其衰减快慢与 RC 有关，令= RC，称为RC电路的时间常数；的大小反映了电路过渡过程时间的长短,根据KVL、KCL和元件VCR特性，列出换路后的电路微分方程，该方程为一阶线性齐次常微分方程由特征方程求出特征根根据初始值确定积分常数从而得方程的解,用经典法求解一阶零输入响应电路的步骤,令= L/R，称为RL电路的时间常数,例:图示RL一阶电路中，开关S 置“1”已处于稳态，在 t = 0 时刻开关S 拨至“2”。 求：t0时的 uL (t)， iL (t),电阻Req的值为戴维南等效电路中的等效电阻值,时间常数,的大小反映了电路过渡过程(如电容充、放电)时间的长短， 即：大，过渡过程时间长；小 ，过渡过程时间短 下表给出了电容电压在=，2，3，时刻的值,时间常数的几何意义,工程上认为： 经过 3-5, 过渡过程结束,同一电路，无论求什么量，其时间常数均相同,一阶电路的零输入响应是由储能元件的初值引起的响应 , 都是由初始值衰减为零的指数衰减函数，其一般表达式可以写为：一阶电路的零输入响应和初始值成正比，称为零输入线性零输入响应的衰减快慢取决于时间常数，其中RC 电路=RC , RL 电路=L/R ，R 为与动态元件相连的一端口电路的等效电阻 同一电路中所有响应具有相同的时间常数,小结,例:电路中开关SW闭合已久，t=0时SW断开，试求电流 iL(t)，t0,例:图示电路原本处于稳态，t=0 时,打开开关，求 t0 后电压表电压随时间的变化规律，已知电压表内阻为10k，电压表量程为50V,切断电感电流时，必须考虑磁场能量的释放， 不注意会造成设备的损坏,7-3 一阶电路的零状态响应,零状态响应ZSR (Zero State Response) 动态元件初始能量为零 , t0 后由电路中外加输入激励作用所产生的响应 一阶电路：uC (0-)=0 ，iL (0-) = 0 ，由激励 Us 或 Is 产生的响应,例:图示RC一阶电路换路前已处于稳态在 t = 0 时刻开关 S1 接通 ，S2 断开,uR ，iC都有跳变状态变量uC是连续的,没有跳变,一阶电路的零状态响应是只由外加输入激励作用所产生的响应, 状态变量零状态响应的的一般表达式可以写为 一阶电路的零状态响应和变量稳态值成正比响应的变化快慢取决于时间常数，其中RC 电路=RC , RL 电路=L/R ，R 为与动态元件相连的一端口电路的等效电阻,小结,7-4 一阶电路的全响应,电路的完全响应 CR (Complete Response) 电路的初始状态不为零，由初始贮能和外加激励源共同作用时，电路中产生的响应,例:图示RC一阶电路中，开关S置“1”已处于稳态，t=0时刻，开关S拨至“2”。求uC(t)，t0,解：,通解特解,体现了叠加性质,在直流信号的激励和非零的初始状态下，RC一阶电路中状态变量的全响应为：,零输入响应零状态响应,特解通解强制分量自由分量暂态分量稳态分量,例:图示RC一阶电路中，开关S 置“1”已处于稳态， t = 0 时刻开关S 拨至“2”。求 uC(t)， u(t) ，t0，并指出响应中的ZIR,ZSR,(2)求uc() 画出 t 的等效电路 uc()=1V,(3)求时间常数,令电流源开路，得无源网络，求得从电容C两端往里看的等效电阻:,求 u(t),验证1：,验证2：,从一阶电路的状态变量uC(t), iL(t)入手，引入ZIR，ZSR的概念，根据电路的KVL,KCL列出一阶微分方程，带入初始条件，可求解状态变量的ZIR，ZSR ，解的形式分别为： 变化规律：从0+的初值开始衰减到零 变化规律：从0+的初值开始开始按指数规律逼近稳态值 f ()一阶电路中的非状态变量的ZIR，ZSR可以由状态变量带入电路求出,在直流电源激励下，一阶电路中产生的响应小结,引入状态变量的全响应，全响应的两种表达形式： 从数学角度：通解特解从解的形式：自由分量（由特征根决定）强迫分量 （与激励的形式相同）从存在时间范围来看：暂态分量稳态分量 从产生的原因来看：零输入响应零状态响应变化规律：从初始值开始按指数规律逼近稳态值,包括状态、非状态变量,三要素法求解一阶电路的全响应,通解 特解暂态解 稳态解,全响应 零输入响应零状态响应（叠加性质）,三要素法：一阶电路在直流源激励下， 任何变量的全响应均可表示为：,f (0+): 用 t=0+ 等效电路求解 f (): 用 t 的稳态电路求解时间常数：求出戴维宁等效电阻 则RC电路有=RC; RL电路有:= L/R,例:图示一阶RL电路中的开关S断开已处于稳态，在t0时刻开关S闭合，求iL(t), t0,(3)求时间常数：,令电压源Us短路，电流源Is开路，得无源网络，求得从电感 L两端往里看的戴维南等效电阻:,例: 图示电路原无储能,开关S在t=0时刻闭合，求iL、i1、i2和uL，t0,（4）求时间常数 ： 令Us=0,用加压求流法求等效电阻,(5) 求iL、i1、i2和uL，t0,例:t=0时刻开关S由1拨到2，已知,解：,7-5 二阶电路的零输入响应,二阶电路：用二阶微分方程来描述的电路 RLC串联电路和GLC并联电路是最简单的二阶电路二阶电路中，给定的初始条件应有两个，由储能元件的初始值决定,1. 列微分方程,(1)以 iL为变量,(2)以uc为变量,以RLC串联电路为例，介绍二阶电路的零输入响应,2. 特征方程与特征根,特征根p1，p2仅与电路参数和结构有关 A1，A2由初始条件求得，与初始储能有关 B与激励源有关，零输入响应 B0,3. 特征根与解的形式的关系：,过阻尼情况,为不相等的负实根,例:已知 R=3, L=0.5H, C=0.25F，uc(0-)=2V, iL(0-)=1A。 求uc(t)、 iL(t)，t0,电感电流先对电容充电(电容电源上升，电感电流下降) , 部分为电阻消耗电感电流下降到零，电容储能达到最大此后电容放电，电流方向也改变，电感充电到反相电流达到最大电容、电感放电，由于电阻较大，其消耗能量较大，当磁场能量再度释放时已不能再给电场存储，电容没有再被充电电阻较大，能量迅速消耗，响应是非振荡的，称过阻尼如果电阻较小，电容可能再度充电，形成不断充放电的局面，从而产生振荡响应,解2：若以iL为变量,由t=0+的等效电路得uL(0+)= -3-2= -5V,欠阻尼情况,为共轭复根,解的形式:,其中A1、A2 为共轭复数，B1、B2为实数,例：,电阻较小时，电容电压周期性的改变方向，储能元件周期性的交换能量，波形呈衰减振荡的状态，振荡放电其中， 称为衰减系数, 越大,衰减越快 d为衰减振荡的角频率, d 越大，振荡越快电阻较小时，响应是振荡性的，称为欠阻尼,临界阻尼情况,相等负实根,例：已知 R=2,L=1H，C=1F， uc(0-)=0V，iL(0-)=1A 求uc(t)， iL(t)，t0,响应处于临界振荡状态，称为临界阻尼,等幅振荡,当 R=0 时， = 0,无阻尼情况,7-6 二阶电路的全响应,以过阻尼情况为例,求二阶电路的全响应，解的结构中包括通解特解， 带入初始条件，求出通解系数即可,例：,RLC并联电路的响应,建立微分方程：以uc作为变量,3.特征根与响应形式的关系,根据对偶原理 ， 只要将RLC串联电路的各种响应作如下 变换即可得到GLC并联电路各种阻尼情况相应的响应,7-7 单位阶跃响应,单位阶跃函数,奇异函数：一类特殊的函数，其函数本身有跳变点（不连续点），或其函数的导数与积分有不连续点；是从实际信号中抽象出来的理想化了的信号；常见的奇异信号：单位斜坡函数，单位阶跃函数，和单位冲激函数等。,单位阶跃函数1,开关的数学模型,单位阶跃函数的常用形式,起始任意一个函数,信号在t0时刻接入：,描述矩形脉冲,单位阶跃函数2,单位阶跃响应 激励为单位阶跃函数时，电路中的的零状态响应,波形复杂的 f(t) 可以分解为若干个阶跃函数来表示 ，使用叠加定理分析响应,单位阶跃响应,例: 求电容电压的单位阶跃响应S(t),一般用S(t)表示单位阶跃响应阶跃响应是电路的零状态响应注意阶跃响应中的(t) 表示t0,例:图示一阶RC 电路的 uC(0-)=10V，求 uC(t) t0,利用线性系统的性质和叠加定理求解复杂激励的响应 P169例7-11-12,7-8 单位冲激响应,单位冲激函数的定义(函数)狄拉克定义法,单位冲激响应：激励为单位冲激函数时，产生的零状态响应,冲激函数的主要性质,筛分特性,冲激函数有把一个函数在某一时刻的值 筛出来的本领， 又称“取样性质”,单位斜坡函数 r(t)、单位阶跃函数(t)和单位冲激函数(t),当 i(t)= (t) A加到uc(0-)=0, C=1F的电容上时,物理意义：单位冲激电流瞬时把电荷转移到电容上，使电容电压从零跳变到1V，然后在t=0+时刻消失,例:求图示电路的单位冲激响应uc(t),ic(t),电路的冲激响应一般计为h(t)电路的冲激响应可以按阶跃响应的一阶导数求得,二阶电路的单位阶跃响应：二阶电路在阶跃激励下的零状态响应 二阶电路的单位冲激响应：根据线性电路的微分性质，则将单位阶跃响应求导即可,二阶电路的阶跃、冲激响应,二阶电路的冲击响应 P178 例7-13,实例电路- “振动生电”照明电筒,（无电池免维护电筒）,磁铁, 电感线圈, 法拉电容,感生电势及储能电路:,感生电动势 由机械能电能,整流/储能电路 交流桥式整流