1 第一章 测量误差及其传播定律

测量平差 主讲张书毕 高等学校 十二五 规划教材 课程考核方式 课程编号 0812220307EFSA 误差理论与测量平差基础 课程考核方式方案总学时56总学分3 5课堂学时56实验学时0一 课程过程考核方式 考核次数 1 在讲授完广义误差转播定律后 进行1次小测验 2 在讲授完最小二乘法和条件平差后 进行1次小测验 3 在讲授完间接平差和学习完Matlab语言后 完成2次大作业 4 在讲授所有规定内容后 最终考试1次 二 课程结课方式 闭卷考核方式三 课程成绩构成 百分制或等级制 各项成绩比例分配 小测验2次共占20 大作业2次占20 期终考试占60 四 说明适用测绘工程专业 水准网 导线网 严密平差 第一章测量误差及其传播定律 主讲人 张书毕 E mail zhangbsi 本章主要内容 预备知识 偶然误差 1 1精度 准确度 精确度1 2衡量精度的标准 5 07 08 20 偶然误差 6 07 08 20 1 误差的分类 2 偶然误差的特性 1 误差的绝对值有一定限值 例1 1 在相同的条件下独立观测了358个三角形的全部内角 计算各内角和的真误差 并按误差区间的间隔0 2秒进行统计 3 绝对值相等的正负误差的个数相近 2 绝对值较小的误差比绝对值较大的误差多 7 07 08 21 用直方图表示 所有面积之和 v1 n v2 n 1 1 横坐标表示误差的大小2 纵坐标采用单位区间频率除以曲线间隔 面积 vi n d d vi n 频率 8 07 08 21 2 偶然误差的特性 例1 2 在相同的条件下独立观测了421个三角形的全部内角 计算各内角和的真误差 并按误差区间的间隔0 2秒进行统计 1 愈接近于零的误差区间 误差出现的频率愈大 2 随着离零愈来愈远 误差出现的频率递减 3 出现在正负误差区间内的频率基本相等 9 0 475 10 07 08 21 当偶然误差的个数0000999时 偶然误差出现的频率就趋于稳定 此时 若把偶然误差区间的间隔无限缩小 则直方图将分别变为如图所示的两条光滑的曲线 其是正态分布 可见 左图误差分布曲线较高且陡峭 精度高右图误差分布曲线较低且平缓 精度低 由概率论知 该曲线是正态分布的概率分布曲线 测量上通常将正态分布作为偶然误差的理论分布 其密度函数为 式中 和为参数 12 07 08 21 2 偶然误差的特性 07 08 21 对正态随机变量求数学期望和方差 下面来看参数和是什么 方差 13 07 08 21 2 偶然误差的特性 期望 由以上推导知 参数和分别是随机误差的数学期望和方差 它们确定了正态分布曲线的形状 14 07 08 21 随机误差的数学期望等于零 如观测量只含有偶然误差时 则观测量的期望等于其真值 2 偶然误差的特性 在一定的观测条件下 误差的绝对值有一定的限值 或者说 超出一定限值的误差 其出现的概率为零 绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的概率大 绝对值相等的正负误差出现的概率相同 偶然误差的数学期望为零 有界性 聚中性 抵偿性 对称性 07 08 21 2 偶然误差的特性 15 1 精度 精度是指误差分布的密集或离散的程度 是观测值与数学期望 均值 接近的程度 表征观测结果偶然误差大小的程度 一定的观测条件对应一种确定不变的误差分布 若观测条件较好 误差分布较密集 则其精度较高 1 1精度 准确度 精确度 精度高 07 08 21 16 准确度是指随机变量X的真值与其数学期望 均值 之差 即 2 准确度 准确度表明了观测值的数学期望值与其真值接近的程度 其数值指标为偏差 表征了观测结果系统误差大小的程度 若只含有偶然误差 则 1 1精度 准确度 精确度 17 准确度低 精度高 07 08 21 精确度是指观测值与其真值接近的程度 是精度和准确度的合成 表征了偶然误差和系统误差对观测结果联合影响大小的程度 即 3 精确度 1 1精度 准确度 精确度 均方误差 18 07 08 21 3 精确度 1 1精度 准确度 精确度 均方误差反映了偶然误差 系统误差的联合影响 当观测值中只含有偶然误差时 均方误差就等于方差 此时精确度就是精度 19 精度低准确度低精确度低 07 08 21 20 4 精度 准确度 精确度关系 可见 精度高 不一定准确度也高 图 a 表示精度 精确度均高 而准确度高 a b c 图 b 表示精度高 精确度低 而准确度低 图 c 表示精度 精确度均低 因而准确度低 07 08 21 X E X 精度 准确度 精确度 数学期望 观测值 真值 在测量平差中 我们只研究含有偶然误差的观测值 常用误差分布表 绘制直方图或画出误差分布曲线的方法来比较 1 2衡量精度的标准 22 07 08 21 可以用误差分布表 直方图 分布曲线方法比较麻烦 如何衡量精度 能否只用一个数字表示简单 精度指标 23 07 08 21 精度指标 方差和中误差 平均误差 或然误差 极限误差 相对误差 据随机变量X方差的定义 观测误差 的方差为 1 方差和中误差 1 2衡量精度的标准 24 07 08 21 标准差为 实际工作中 n是有限的 则 1 方差和中误差 观测次数n无限多时 用标准差 均方差 表示 25 07 08 21 方差的意义 由正态分布知 正态分布曲线具有两个拐点 这两个拐点在横轴上的坐标为方差的几何意义是 方差是正态分布曲线的拐点横坐标 提示 越小 误差曲线越陡峭 误差分布越密集 精度越高 相反 精度越低 26 07 08 21 平均误差 在一定的观测条件下 一组独立偶然误差绝对值的数学期望 1 2衡量精度的标准 3 平均误差与或然误差 27 1 2衡量精度的标准 3 平均误差与或然误差 28 平均误差 或然误差与中误差的关系 当n不大时 中误差比平均误差更能灵敏地反映大的真误差的影响 同时 在计算或然误差时往往是先算出中误差 因此 通常都是采用中误差作为精度指标 1 2衡量精度的标准 当观测次数有限时 只能求得误差的估值 29 07 08 21 所谓极限误差就是在一定观测条件下偶然误差出现的最大值 通常取 由正态分布的概率计算知 1 2衡量精度的标准 4 极限误差 30 07 08 21 31 1 2衡量精度的标准 思考 例1 3分别丈量100m和500m两段距离 它们的中误差均为2cm 如何衡量两组观测值的精度 中误差与观测值之比 称为相对中误差 一般用1 M表示 5 相对误差 精度高 07 08 21 方差 中误差 平均误差 或然误差 极限误差都是衡量精度的绝对指标 实际上 n有限 只能求出他们的估值 中误差比平均误差和或然误差能更灵敏地反映误差的影响 国际和我国通常采用中误差作为精度指标 07 08 21 1 2衡量精度的标准 32 本节总结 33 07 08 21 例题 例1 1 为了鉴定经纬仪的精度 对已知精确测定的水平角 45 00 00 作12次观测 结果为 45 00 06 44 59 55 44 59 58 45 00 04 45 00 03 45 00 04 45 00 00 44 59 58 44 59 59 44 59 59 45 00 06 45 00 03 设 没有误差 试求观测值的中误差 平均误差和或然误差 34 07 08 21 分析 解 中误差 平均误差 或然误差 35 07 08 21 概念误差传播定律 阐述观测值的中误差与观测值函数中误差的关系的定律 函数形式 倍数函数和差函数线性函数一般函数 1 3误差传播定律 测量学基础 复习 一 线性函数的误差传播定律 设线性函数为 式中为独立的直接观测值 为常数 相应的观测值的中误差为 设非线性函数的一般式为 式中 为独立观测值 为独立观测值的中误差 求函数的全微分 并用 替代 d 得 二 一般函数 式中 是函数F对的偏导数 当函数式与观测值确定后 它们均为常数 因此上式是线性函数 其中误差为 误差传播定律的一般形式 例2 已知 测量斜边D 50 00 0 05m 测得倾角 15 00 00 30 求 水平距离D的中误差解 1 函数式2 全微分3 求中误差 1 列出观测值函数的表达式 2 对函数式全微分 得出函数的真误差与观测值真误差之间的关系式 式中 是用观测值代入求得的值 求观测值函数中误差的步骤 三 运用误差传播定律的步骤 3 根据误差传播率计算观测值函数中误差 注意 在误差传播定律的推导过程中 要求观测