实战演练2015 模拟卷(十一)

句容市实验高级中学 实战演练 2015 高考模拟试卷汇编 20 套 数学 答案 11 上传者 湛治超 第 1 页 共 14 页 实战演练 2015 高考模拟试卷汇编 20 套 数学试卷 11 整理者 湛治超 参考公式 参考公式 柱体的体积公式 V Sh 其中 S 为柱体的底面积 h 为柱体的高 圆柱的侧面积公式 S侧 2 Rh 其中 R 为圆柱的底面半径 h 为圆柱的高 一一 填填空空题题 本本大大题题共共14 小小题题 每每小小题题5 分分 计计 70 分分 不不需需写写出出解解答答过过程程 请请把把答答案案写写在在答答题题纸纸的的指指定定 位位置置上上 1 函数 f x lnx 的定义域为 1 x 2 已知复数 z1 2 i z2 a 2i i 为虚数单位 aR 若 z1z2为实数 则 a 的值为 3 某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成绩进行分析 随机抽取了 150 分到 450 分之间的 1000 名学生的成绩 并根据这 1000 名学生的成绩画出样本的频率分布直方图 如图 则成绩在 300 350 内 的学生人数共有 4 盒中有 3 张分别标有 1 2 3 的卡片 从盒中随机抽取一张记下号码后放回 再随机抽取一张记下号 码 则两次抽取的卡片号码中至少有一个为偶数的概率为 5 已知等差数列 an 的公差 d 不为 0 且 a1 a3 a7成等比数列 则的值为 a1 d 6 执行如图所示的流程图 则输出的 k 的值为 150 200 250 300 350 400 450 0 005 a 0 001 0 004 0 003 O 成绩 分 频率 组距 第 3 题图 k 1 开始 输出 k 结束 S 6 S 1 Y N S S k 1 2 k k 1 第 6 题图 句容市实验高级中学 实战演练 2015 高考模拟试卷汇编 20 套 数学 答案 11 上传者 湛治超 第 2 页 共 14 页 7 函数 f x Asin x A 为常数 A 0 0 0 的图象如下图所示 则 f 的值为 3 8 在平面直角坐标系 xOy 中 双曲线 1 a 0 b 0 的两条渐近线与抛物线 y2 4x 的准线相交 x2 a2 y2 b2 于 A B 两点 若 AOB 的面积为 2 则双曲线的离心率为 9 表面积为 12 的圆柱 当其体积最大时 该圆柱的底面半径与高的比为 10 已知 1 2 AOB 则与的夹角大小为 OA OB 2 3 OC 1 2OA 1 4OB OA OC 11 在平面直角坐标系 xOy 中 过点 P 5 3 作直线 l 与圆 x2 y2 4 相交于 A B 两点 若 OA OB 则 直线 l 的斜率为 12 已知 f x 是定义在 R 上的奇函数 当 0 x 1 时 f x x2 当 x 0 时 f x 1 f x f 1 且 若直线 y kx 与函数 y f x 的图象恰有 5 个不同的公共点 则实数 k 的值为 13 在 ABC 中 点 D 在边 BC 上 且 DC 2BD AB AD AC 3 k 1 则实数 k 的取值范围为 14 设函数 f x ax sinx cosx 若函数 f x 的图象上存在不同的两点 A B 使得曲线 y f x 在点 A B 处的切线互相垂直 则实数 a 的取值范围为 二 解答题 本大题共二 解答题 本大题共 6 小题 计小题 计 90 分分 解答应写出必要的文字说明 证明过程或演算步骤 请把答案写解答应写出必要的文字说明 证明过程或演算步骤 请把答案写 在答题纸的指定区域内 在答题纸的指定区域内 15 本小题满分 14 分 如图 在四棱锥 P ABCD 中 底面 ABCD 为矩形 平面 PAB 平面 ABCD PA PB BP BC E 为 PC 的中点 1 求证 AP 平面 BDE 2 求证 BE 平面 PAC x x y O 11 12 6 2 2 第 7 题图 P B C D E A 第 15 题图 句容市实验高级中学 实战演练 2015 高考模拟试卷汇编 20 套 数学 答案 11 上传者 湛治超 第 3 页 共 14 页 16 本小题满分 14 分 在平面直角坐标系 xOy 中 角 的顶点是坐标原点 始边为 x 轴的正半轴 终边与单位圆 O 交 于点 A x1 y1 将角 终边绕原点按逆时针方向旋转 交单位圆于点 B x2 y2 4 2 4 1 若 x1 求 x2 3 5 2 过 A B 作 x 轴的垂线 垂足分别为 C D 记 AOC 及 BOD 的面积分别为 S1 S2 且 S1 S2 求 tan 的值 4 3 17 本小题满分 14 分 如图 经过村庄 A 有两条夹角为 60 的公路 AB AC 根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂 P 分别在两条公路边上建两个仓库 M N 异于村庄 A 要求 PM PN MN 2 单位 千米 如何设计 使得工厂产生的噪声对居民的影响最小 即工厂与村庄的距离最远 18 本小题满分 16 分 在平面直角坐标系 xOy 中 已知椭圆 C 1 a b 0 的左 右焦点分别为 F1 F2 焦距为 x2 a2 y2 b2 2 一条准线方程为 x 2 P 为椭圆 C 上一点 直线 PF1交椭圆 C 于另一点 Q 1 求椭圆 C 的方程 2 若点 P 的坐标为 0 b 求过 P Q F2三点的圆的方程 3 若 且 2 求 的最大值 F1P QF1 1 2 OP OQ A B DOC x y 第 16 题图 A P M N B C 第 17 题图 句容市实验高级中学 实战演练 2015 高考模拟试卷汇编 20 套 数学 答案 11 上传者 湛治超 第 4 页 共 14 页 19 本小题满分 16 分 已知函数 f x ex a bR 且 a 0 ax b x 1 若 a 2 b 1 求函数 f x 的极值 2 设 g x a x 1 ex f x 当 a 1 时 对任意 x 0 都有 g x 1 成立 求 b 的最大值 设 g x 为 g x 的导函数 若存在 x 1 使 g x g x 0 成立 求 的取值范围 b a 20 本小题满分 16 分 已知数列 an 的各项都为正数 且对任意 n N a2n 1 a2n a2n 1成等差数列 a2n a2n 1 a2n 2成等比数列 1 若 a2 1 a5 3 求 a1的值 2 设 a1 a2 求证 对任意 n N 且 n 2 都有 an 1 an a2 a1 句容市实验高级中学 实战演练 2015 高考模拟试卷汇编 20 套 数学 答案 11 上传者 湛治超 第 5 页 共 14 页 江苏省高等学校招生考试高三数学模拟测试卷 十一 参考答案及评分标准 一 填空题 本大题共一 填空题 本大题共 14 小题 每小题小题 每小题 5 分 计分 计 70 分分 1 0 1 2 4 3 300 4 5 2 6 4 7 1 5 9 8 9 10 60 11 1 或 12 2 2 13 14 1 1 5 1 2 7 23 2 5 3 7 3 二 解答题二 解答题 15 证 1 设 AC BD O 连结 OE 因为 ABCD 为矩形 所以 O 是 AC 的中点 因为 E 是 PC 中点 所以 OE AP 4 分 因为 AP平面 BDE OE平面 BDE 所以 AP 平面 BDE 6 分 2 因为平面 PAB 平面 ABCD BC AB 平面 PAB 平面 ABCD AB 所以 BC 平面 PAB 8 分 因为 AP平面 PAB 所以 BC PA 因为 PB PA BC PB B BC PB平面 PBC 所以 PA 平面 PBC 12 分 因为 BE平面 PBC 所以 PA BE 因为 BP PC 且 E 为 PC 中点 所以 BE PC 因为 PA PC P PA PC平面 PAC 所以 BE 平面 PAC 14 分 16 解 1 解法一 因为 x1 y1 0 所以 y1 3 5 4 5 所以 sin cos 2 分 4 5 3 5 句容市实验高级中学 实战演练 2015 高考模拟试卷汇编 20 套 数学 答案 11 上传者 湛治超 第 6 页 共 14 页 所以 x2 cos cos cos sin sin 6 分 4 4 4 解法二 因为 x1 y1 0 所以 y1 A 则 2 分 3 5 4 5 3 5 4 5 OA 3 5 4 5 x2 y2 因为 cos AOB 所以 x2 y2 4 分 OB OA OB OA OB 3 5 4 5 又 x22 y22 1 联立消去 y2得 50 x22 30 x2 7 0 2 解得 x2 或 又 x2 0 所以 x2 6 分 解法三 因为 x1 y1 0 所以 y1 因此 A 所以 tan 2 分 3 5 4 5 3 5 4 5 4 3 所以 tan 7 所以直线 OB 的方程为 y 7x 4 分 4 1 tan 1 tan 由得 x 又 x2 0 所以 x2 6 分 y 7x x2 y2 1 2 S1 sin cos sin2 8 分 1 2 1 4 因为 所以 4 2 4 2 3 4 所以 S2 sin cos sin 2 cos2 10 分 1 2 4 4 1 4 2 1 4 因为 S1 S2 所以 sin2 cos2 即 tan2 12 分 4 3 4 3 4 3 所以 解得 tan 2 或 tan 因为 所以 tan 2 14 分 2tan 1 tan2 4 3 1 2 4 2 17 解法一 设 AMN 在 AMN 中 MN sin60 AM sin 120 因为 MN 2 所以 AM sin 120 2 分 4 3 3 在 APM 中 cos AMP cos 60 6 分 AP2 AM2 MP2 2 AM MP cos AMP sin2 120 4 2 2 sin 120 cos 60 8 分 16 3 4 3 3 sin2 60 sin 60 cos 60 4 16 3 16 3 3 1 cos 2 120 sin 2 120 4 8 3 8 3 3 sin 2 120 cos 2 120 8 33 20 3 sin 2 150 0 120 12 20 3 16 3 分 当且仅当 2 150 270 即 60 时 AP2取得最大值 12 即 AP 取得最大值 2 3 A P M N B C 第 17 题图 D 句容市实验高级中学 实战演练 2015 高考模拟试卷汇编 20 套 数学 答案 11 上传者 湛治超 第 7 页 共 14 页 答 设计 AMN 为 60 时 工厂产生的噪声对居民的影响最小 14 分 解法二 构造直角三角形 设 PMD 在 PMD 中 PM 2 PD 2sin MD 2cos 2 分 在 AMN 中 ANM PMD MN sin60 AM sin AM sin AD sin 2cos 时 结论也正确 6 分 4 3 3 4 3 3 2 AP2 AD2 PD2 sin 2cos 2 2sin 2 4 3 3 sin2 sin cos 4cos2 4sin2 8 分 16 3 8 3 3 sin2 4 sin2 cos2 16 3 1 cos2 2 4 3 3 4 3 3 8 3 20 3 sin 2 0 12 分 20 3 16 3 6 2 3 当且仅当 2 即 时 AP2取得最大值 12 即 AP 取得最大值 2 6 2 3 3 此时 AM AN 2 PAB 30 14 分 解法三 设 AM x AN y AMN 在 AMN 中 因为 MN 2 MAN 60 所以 MN2 AM2 AN2 2 AM AN cos MAN 即 x2 y2 2xycos60 x2 y2 xy 4 2 分 因为 即 MN sin60 AN sin 2 sin60 y sin 所以 sin y cos 3 4 x2 4 y2 2 2 x x2 x2 xy 4x 2x y 4 6 分 cos AMP cos 60 cos sin y 8 分 1 2 3 2 1 2 2x y 4 3 2 3 4 x 2y 4 在 AMP 中 AP2 AM2 PM2 2 AM PM cos AMP 即 AP2 x2 4 2 2 x x2 4 x x 2y 4 2xy 12 x 2y 4 分 因为 x2 y2 xy 4 4 xy x2 y2 2xy 即 xy 4 所以 AP2 12 即 AP 2 3 当且仅当 x y 2 时 AP 取得最大值 2 3 句容市实验高级中学 实战演练 2015 高考模拟试卷汇编 20 套 数学 答案 11 上传者 湛治超 第 8 页 共 14 页 答 设计 AM AN 2 km 时 工厂产生的噪声对居民的影响最小 14 分 解法四 坐标法 以 AB 所在的直线为 x 轴 A 为坐标原点 建立直角坐标系 设 M x1 0 N x2 x2 P x0 y0 MN 2 3 x1 x2 2 3x 4 2 分 2 2 MN 的中点 K x2 x1 x2 2 3 2 MNP 为正三角形 且 MN 2 PK PK MN 3 PK2 x0 2 y0 x2 2 3 x1 x2 2 3 2 kMN kPK 1 即 1 6 分 3x2 x2 x1 y0 x2 x0 y0 x2 2 x0 2 3 2 x1 x2 3x2 x1 x2 2 3 2 x1 x2 2 1 x0 2 3 即 x0 2 3 x0 2 x x1 x2 2 x1 x2 2 x1 x2 2 9 4 2 2 x0 0 x0 x2 x1 x2 2 x1 x2 2 3 2 x0 x1 2x2 y0 x1 8 分 1 2 3 2 AP2 x y 2x2 x1 2 x x 4x 2x1x2 2 0 2 0 1 2 3 4 2 1 2 1 2 2 4 4x1x2 4 4 2 12 12 分 即 AP 2 3 答 设计 AM AN 2 km 时 工厂产生的噪声对居民的影响最小 14 分 解法五 变换法 以 AB 所在的直线为 x 轴 A 为坐标原点 建立直角坐标系 设 M x1 0 N x2 x2 P x0 y0 3 MN 2 x1 x2 2 3x 4 即 x 4x 4 2x1x2 2 2 2 1 2 2 4 2x1x2 4x1x2 即 x1x2 2 4 分 MNP 为正三角形 且 MN 2 PK PK MN 3 顺时针方向旋转 60 后得到 MN MP x0 x1 y0 x2 x1 x2 MP MN 3 即 x0 x1 y0 x0 x1 x2 x1 x2 y0 x2 x1 x2 1 2 3 2 3 2 3 2 A P M N B C x y 句容市实验高级中学 实战演练 2015 高考模拟试卷汇编 20 套 数学 答案 11 上传者 湛治超 第 9 页 共 14 页 x0 2x2 x1 y0 x1 8 分 1 2 3 2 AP2 x y 2x2 x1 2 x x 4x 2x1x2 2 0 2 0 1 2 3 4 2 1 2 1 2 2 4 4x1x2 4 4 2 12 12 分 即 AP 2 3 答 设计 AM AN 2 km 时 工厂产生的噪声对居民的影响最小 14 分 解法六 几何法 由运动的相对性 可使 PMN 不动 点 A 在运动 由于 MAN 60 点 A 在以 MN 为弦的一段圆弧 优弧 上 4 分 设圆弧所在的圆的圆心为 F 半径为 R 由图形的几何性质知 AP 的最大值为 PF R 8 分 在 AMN 中 由正弦定理知 2R MN sin60 R 10 分 2 3 FM FN R 又 PM PN PF 是线段 MN 的垂直平分线 2 3 设 PF 与 MN 交于 E 则 FE2 FM2 ME2 R2 12 1 3 即 FE 又 PE 12 3 3 3 PF AP 的最大值为 PF R 2 4 3 3 答 设计 AM AN 2 km 时 工厂产生的噪声对居民的影响最小 14 分 18 1 解 由题意得 解得 c 1 a2 2 所以 b2 a2 c2 1 所以椭圆的方程为 y2 1 2 分 x2 2 2 因为 P 0 1 F1 1 0 所以 PF1的方程为 x y 1 0 由 解得或 所以点 Q 的坐标为 4 分 x 0 y 1 4 3 1 3 解法一 因为 kPF kPF 1 所以 PQF2为直角三角形 6 分 1 2 因为 QF2的中点为 QF2 1 6 1 6 所以圆的方程为 x 2 y 2 8 分 1 6 1 6 25 18 解法二 设过 P Q F2三点的圆为 x2 y2 Dx Ey F 0 则 解得 所以圆的方程为 x2 y2 x y 0 8 1 3 1 3 4 3 A P M N B C F E 句容市实验高级中学 实战演练 2015 高考模拟试卷汇编 20 套 数学 答案 11 上传者 湛治超 第 10 页 共 14 页 分 3 解法一 设 P x1 y1 Q x2 y2 则 x1 1 y1 1 x2 y2 F1P QF1 因为 所以即 F1P QF1 x1 1 1 x2 y1 y2 x1 1 x2 y1 y2 所以 解得 x2 12 分 1 3 2 所以 x1x2 y1y2 x2 1 x2 y x22 1 x2 OP OQ 2 2 2 2 1 14 分 2 1 3 2 1 3 2 7 4 5 8 1 因为 2 所以 2 2 当且仅当 即 1 时 取等号 1 2 1 1 所以 即 最大值为 16 分 OP OQ 1 2 OP OQ 1 2 解法二 当 PQ 斜率不存在时 在 y2 1 中 令 x 1 得 y x2 2 所以 221 1 1 222 OP OQ 此时 1 1 2 2 2 当 PQ 斜率存在时 设为 k 则 PQ 的方程是 y k x 1 由得 1 2k2 x2 4k2x 2k2 2 0 韦达定理 22 1212 22 422 1212 kk xxx x kk 4 设 P x1 y1 Q x2 y2 则 2 12121212 1 1 OP OQx xy yx xkxx 222 1212 22 222 22 2 2 2 1 224 1 1212 2 6 12 151 22 12 2 kx xkxxk kk kkk kk k k k 分 OP OQ 的最大值为 此时 1 1 2 2 8 1 2 19 解 1 当 a 2 b 1 时 f x 2 ex 定义域为 0 0 1 x 句容市实验高级中学 实战演练 2015 高考模拟试卷汇编 20 套 数学 答案 11 上传者 湛治超 第 11 页 共 14 页 所以 f x ex 2 x 1 2x 1 x2 分 令 f x 0 得 x1 1 x2 列表 1 2 x 1 1 1 0 0 1 2 1 2 1 2 f x 0 0 f x 极 大值 极小 值 由表知 f x 的极大值是 f 1 e 1 f x 的极小值是 f 4 4 1 2e 分 2 因为 g x ax a ex f x ax 2a ex b x 当 a 1 时 g x x 2 ex b x 因为 g x 1 在 x 0 上恒成立 所以 b x2 2x 在 x 0 上恒成立 8 分 x ex 记 h x x2 2x x 0 则 h x x ex x 1 2ex 1 ex 当 0 x 1 时 h x 0 h x 在 0 1 上是减函数 当 x 1 时 h x 0 h x 在 1 上是增函数 所以 h x min h 1 1 e 1 所以 b 的最大值为 1 e 1 10 分 解法二 因为 g x ax a ex f x ax 2a ex b x 当 a 1 时 g x x 2 ex b x 因为 g x 1 在 x 0 上恒成立 所以 g 2 e2 0 因此 b 0 6 分 b 2 g x 1 ex x 2 ex b x2 b x x 1 x2 b ex x2 因为 b 0 所以 当 0 x 1 时 g x 0 g x 在 0 1 上是减函数 当 x 1 时 g x 0 g x 在 1 上是增函数 句容市实验高级中学 实战演练 2015 高考模拟试卷汇编 20 套 数学 答案 11 上传者 湛治超 第 12 页 共 14 页 所以 g x min g 1 1 b e 1 8 分 因为 g x 1 在 x 0 上恒成立 所以 1 b e 1 1 解得 b 1 e 1 因此 b 的最大值为 1 e 1 10 分 解法一 因为 g x ax 2a ex 所以 g x ax a ex b x b x2 b x 由 g x g x 0 得 ax 2a ex ax a ex 0 b x b x2 b x 整理得 2ax3 3ax2 2bx b 0 存在 x 1 使 g x g x 0 成立 等价于存在 x 1 2ax3 3ax2 2bx b 0 成立 12 分 因为 a 0 所以 b a 2x3 3x2 2x 1 设 u x x 1 则 u x 2x3 3x2 2x 1 因为 x 1 u x 0 恒成立 所以 u x 在 1 是增函数 所以 u x u 1 1 所以 1 即 的取值范围为 1 16 b a b a 分 解法二 因为 g x ax 2a ex 所以 g x ax a ex b x b x2 b x 由 g x g x 0 得 ax 2a ex ax a ex 0 b x b x2 b x 整理得 2ax3 3ax2 2bx b 0 存在 x 1 使 g x g x 0 成立 等价于存在 x 1 2ax3 3ax2 2bx b 0 成立 12 分 设 u x 2ax3 3ax2 2bx b x 1 u x 6ax2 6ax 2b 6ax x 1 2b 2b 当 b 0 时 u x 0 此时 u x 在 1 上单调递增 因此 u x u 1 a b 因为存在 x 1 2ax3 3ax2 2bx b 0 成立 所以只要 a b 0 即可 此时 1 0 13 分 b a 当 b 0 时 令 x0 1 得 u x0 b 0 3 2 句容市实验高级中学 实战演练 2015 高考模拟试卷汇编 20 套 数学 答案 11 上传者 湛治超 第 13 页 共 14 页 又 u 1 a b 0 于是 u x 0 在 1 x0 上必有零点 即存在 x 1 2ax3 3ax2 2bx b 0 成立 此时 0 15 分 b a 综上有 的取值范围为 1 16 分 b a 20 解 1 解法一 因为 a3 a4 a5成等差数列 设公差为 d 则 a3 3 2d a4 3 d 因为 a2 a3 a4成等比数列 所以 a2 3 分 3 2d 2 3 d 因为 a2 1 所以 1 解得 d 2 或 d 因为 an 0 所以 d 3 2d 2 3 d 3 4 3 4 因为 a1 a2 a3成等差数列 所以 a1 2a2 a3 2 3 2d 5 分 1 2 解法二 因为 a1 a2 a3成等差数列 a2 a3 a4成等比数列 a3 a4 a5成等差数列 则 32 2 34 4 2 3 31 aa aa aa 3 分 则32 3 2 3 aa 解得 2 3 3 a或1 3 a 舍 所以 2 1 2 3 2 1 a 5 分 解法三 因为 a1 a2 a3成等差数列 则 13 2aa 因为 a2 a3 a4成等比数列 则 2 14 2 aa 3 分 因为 a3 a4 a5成等差数列 则 534 2aaa 则32 2 2 1 2 1 aa 解得 3 1 a或 2 1 1 a 当3 1 a时 1 3 a 与0 n a矛盾 故舍去 所以 2 1 1 a 5 分 注 没有舍去一解 扣 1 分 2 证法一 因为 a2n 1 a2