辽宁省丹东市四校协作体2011届高三数学第一次联合考试 理

科目：理科数学（试题卷）注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡和试题卷上规定的位置，核准条形码上的信息与本人相符并完全正确后将条形码粘贴在答题卡上相应位置。2考生在答题卡上要按要求答卷，考生必须在答题卡上各题目规定答题区域内答题，超出答题区域书写的答案无效。第I卷和第II卷均不能答在本试题卷上，在试题卷上答题无效。3答选考题时，考生须先用2B铅笔在答题卡上按照要求把所选题目对应的题号涂黑，再用黑色水签字笔按照题目要求作答。答题内容与所选题号不符，答题无效。作答的选考题号未涂，答题无效。选考题多答，按考生在答题卡上答题位置最前的题计分。4考试结束时，将本试题卷和答题卡一并交回。5本试题卷共8页，如缺页，考生须声明，否则后果自负。2011年辽宁省丹东市四校协作体第一次联合考试数 学 （供理科考生使用）本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，其中第II卷第（22）题第（24）题为选考题，其它题为必考题考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回参考公式：锥体体积公式其中为底面积，为高球的表面积公式、体积公式、其中为球的半径样本数据x1，x2， ，xn的标准差柱体体积公式 其中为底面积，为高第I卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑（1）已知是虚数单位，复数的共轭复数是，若，则（A）（B）（C）（D）（2）在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是（A）7（B）-28（C）-7（D）28（3）甲、已乙两名篮球运动员每场比赛的得分情况用茎叶图表示如下：则下列说法中正确的个数为甲得分的中位数为26，乙得分的中位数为36；甲、乙比较，甲的稳定性更好；乙有的叶集中在茎3上甲有的叶集中在茎1、2、3上。 （A）1 （B）2（C）3 （D）4（4）若将函数的图象向右平移个单位长度后，与函数的图象重合，则的最小值为（A） （B）（C） （D）（5）已知数列满足，且，则的值是 （A）5 （B） （C）-5 （D） （6）已知命题，；命题，则下列命题为真命题的是（A）（B）（C）（D）（7）已知平面向量的夹角为，又，则点P的集合所表示的图形面积为（A）8（B）4（C）2（D）1（8）有编号为1，2，1000的产品，现需从中抽取所有编号能被3整除的产品作为样品进行检验，下面是四位同学设计的输出样品编号的程序框图：其中正确程序框图的个数是（A）0（B）1（C）2（D）3（9）已知P为双曲线左支上一点，为双曲线的左右焦点，且则此双曲线离心率是 （A）（B）5 （C）2 （D）3（10）某五所大学进行自主招生，同时向一所重点中学的五位学习成绩优秀，并在某些方面有特长的学生发出提前录取通知单若这五名学生都乐意进这五所大学中的任意一所就读，则仅有两名学生录取到同一所大学(其余三人在其他学校各选一所不同大学)的概率是（A） （B） （C） （D）（11）已知，求时，同学甲利用两角差的正切公式求得：；同学乙利用二倍角公式及诱导公式得；根据上述信息可估算的范围是（A）（B）（C）（D）（12）在直角坐标系中横纵坐标为整数的点称为“格点”，如果函数的图像恰好通过个格点，则称函数为k阶格点函数，下列函数中“一阶格点”函数有 （A）（B）（C）（D）第II卷本卷包括必考题和选考题两部分，第(13)题第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答第(22)题第(24)题为选考题，考生根据要求做答二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分请把答案填在答题卡相应的位置（13）已知一个几何体是由上下两部分构成的组合体，其三视图如下，若图中圆的半径为，等腰三角形的腰长为，则该几何体的体积是 ；（14）已知函数的图象如图所示，把的图象所有点向右平移个单位后，再把所得函数图象上所有点得横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，则 ；o132xy（15）定义在R上的单调递减函数满足，且对于任意，不等式恒成立，则当时，的取值范围为 ；（16）某公司计划在北京、丹东、沈阳、大连四个候选城市投资3个不同的项目,且在同一个城市投资的项目不超过2个,则该公司不同的投资方案种数是 .（用数字作答）三、解答题：本大题共6小题，共70分请在答题卡指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（17）（本小题满分12分）已知函数的最大值为，是集合中的任意两个元素，且|的最小值为。（I）求，的值；（II）若，求的值（18）（本小题满分12分）已知在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，PAD是正三角形，平面PAD平面ABCD，E、F、G分别是PA、PB、BC的中点（I）求证：EF平面PAD；（II）求平面EFG与平面ABCD所成锐二面角的大小；（III）若M为线段AB上靠近A的一个动点，问当AM长度等于多少时，直线MF与平面EFG所成角的正弦值等于？（19）（本小题满分1 2分）某单位举办2010年上海世博会知识宣传活动，进行现场抽奖，盒中装有9张大小相同的精美卡片，卡片上分别印有“世博会会徽” 或“海宝”（世博会吉祥物）图案；抽奖规则是：参加者从盒中抽取卡片两张，若抽到两张都是“海宝”卡即可获奖，否则，均为不获奖.卡片用后放回盒子，下一位参加者继续重复进行. （I）活动开始后，一位参加者问：盒中有几张“海宝”卡？主持人答：我只知道，从盒中抽取两张都是“世博会会徽“卡的概率是，求抽奖者获奖的概率； （II）现有甲、乙、丙、丁四人依次抽奖，用表示获奖的人数，求的分布列及， 的值.（20）（本小题满分12分）点M在椭圆上，以M为圆心的圆与x轴相切于椭圆的右焦点F（I）若圆M与y轴相交于A、B两点，且ABM是边长为2的正三角形，求椭圆的方程；（II）已知点F（1，0），设过点F的直线l交椭圆于C、D两点，若直线l绕点F任意转动时，恒有成立，求实数的取值范围（21）（本小题满分12分）已知函数的极小值大于零，其中，（I）求的取值范围；（II）若在的取值范围内的任意，函数在区间内都是增函数，求实数的取值范围；（III）设，若，求证：请考生在(22)、(23)、(24)三题中任选一题作答，如果多答，则按答题位置最前的题计分作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右侧的方框涂黑（22）（本小题满分10分）选修41：几何证明选讲如图：是内接于O，AB=AC，直线MN切O于点C，弦BD/MN，AC与BD相交于点E。CMNABED（I）求证：；（II）若AB=6，BC=4，求AE。（23）（本小题满分10分）选修44：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，已知曲线，将上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的、2倍后得到曲线. 以平面直角坐标系xOy的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线.（I）试写出直线的直角坐标方程和曲线的参数方程；（II）在曲线上求一点P，使点P到直线的距离最大，并求出此最大值.（24）（本小题满分10分）选修45：不等式选讲（I）已知都是正实数，求证：；（II）已知都是正实数，求证：.2011年辽宁省丹东市四校协作体第一次联合考试高三理科数学参考答案与评分标准说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则。二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答末改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分。一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分 （1）B （2）A （3）A （4）D （5）C （6）D （7）B （8）C （9）A （10）D （11）C （12）B 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分（13） （14） （15） （16）60三、解答题：本大题共6小题，共70分 （17）（本小题满分12分）解：（I）由题意知：。 （2分）由最大值为2，故，又， （4分） （6分）（II）由。 （12分）（18）（本小题满分12分）解：方法1：（I）证明：平面PAD平面ABCD，平面PAD， （2分）E、F为PA、PB的中点，EF/AB，EF平面PAD； （4分）（II）解：过P作AD的垂线，垂足为O，则PO平面ABCD 连OG，以OG，OD，OP为x、y、z轴建立空间坐标系， （6分）PA=PD，得，故，设平面EFG的一个法向量为则， （7分）平面ABCD的一个法向量为平面EFG与平面ABCD所成锐二面角的余弦值是：，锐二面角的大小是； （8分）（III）解：设，M（x，0），则，设MF与平面EFG所成角为，则，或，M靠近A， （10分）当时， MF与平面EFG所成角正弦值等于 （12分）方法2：（I）证明：过P作P OAD于O， 则PO平面ABCD，连OG，以OG，OD，OP为x、y、z轴建立空间坐标系， （2分）PA=PD，得，故，EF平面PAD； （4分）（II）解：，设平面EFG的一个法向量为 则， ， （7分）平面ABCD的一个法向量为【以下同方法1】方法3：（I）证明：平面PAD平面ABCD，平面PAD， （2分）E、F为PA、PB的中点，EF/AB，EF平面PAD； （4分）（II）解： EF/HG，AB/HG，HG是所二面角的棱， （6分）HG / EF，平面PAD， DHHG， EHHG ，EHA是锐二面角的平面角，等于； （8分）（III）解：过M作MK平面EFG于K，连结KF，则KFM即为MF与平面EFG所成角， （10分）因为AB/EF，故AB/平面EFG，故AB/的点M到平面EFG的距离等于A到平面EFG的距离，平面PAD，平面EFGH平面PBD于EH， A到平面EFG的距离即三角形EHA的高,等于，即MK，在直角梯形中，或M靠近A， （11分）当时， MF与平面EFG所成角正弦值等于 （12分）（19）（本小题满分12分）解：（I）设“世博会会徽”卡有张，由 （2分）故“海宝”卡有4张，抽奖者获奖的概率为 （4分） （II）；01234P （8分）， （10分） （12分）（20）（本小题满分12分）解：（I）ABM是边长为2的正三角形，圆的半径r=2，M到y轴的距离 （2分）又圆M与x轴相切，当 （4分） 解得a=3或a=1（舍去），则 故所求椭圆方程为 （6分）（II）（方法1）当直线l垂直于x轴时，把x=1代入，得解得（舍去），即 （8分）当l不垂直x轴时，设，直线AB的方程为得则 得恒成立 （10分），由题意得，恒成立 当不是恒成立的当，恒成立当恒成立,，解得综上，a的取值范围是 （12分）（方法2）设当直线CD与x轴重合时，有恒有 （8分）当直线C不与x轴重合时，设直线CD的方程为整理得恒为钝角，则恒成立 （10分）又恒成立，即恒成立当时，解得综上，a的取值范围是 （12分）（21）（本小题满分12分）解：（I）令得函数存在极值， （1分）由及（I），只需考虑的情况当变化时，的符号及的变化情况如下表：000极大值极小值因此，函数在处取得极小值且 （3分）要使必有可得所以的取值范围是 （5分）（II）由（I）知，函数在区间与内都是增函数由题设，函数在内是增函数，则须满足不等式组，或， 要使不等式关于参数恒成立，必有解得或，所以的取值范围是 （8分）（III）用反证法证明：假设，则，或，或当时，函数在区间内是增函数，即矛盾；当时，函数在区间内是增函数，即也矛盾；故假设不成立，即成立 （12分）（22）（本小题满分10分）解：（I）在和中， AB=AC ABE=ACD （2分）又BAE=EDCBD/MNEDC=DCN直线是圆的切线DCN=CADBAE=CAD（SAS） （5分）（II）EBC=BCM BCM=BDCEBC=BDC=BAC BC=CD=4又BEC=BAC+ABE=EBC+ABE=ABC=ACBBC=BE=4 （7分）设AE=。易证又AEEC=BEED EC=64 =