6.1 实二次型的基本概念及其标准形

线性代数 第六章实二次型 山西财经大学冯晨娇 第六章实二次型 在解析几何中 为了便于研究二次曲线 的几何性质 可以选择适当的坐标旋转变换 把方程化为标准形式 这类问题具有普遍性 在许多理论问题和实际问题中常会遇到 本章将把这类问题一般化 讨论 1 n个变量的二次齐次多项式的标准化问题 2 用矩阵讨论二次型的标准化 正定性 6 1实二次型的基本概念及其标准形 定义6 1 6 1 1实二次型的概念 称n个变量 的二次齐次 多项式 为n元二次型 简称为二次型 当aij为实数时 称为实二次型 当aij为复数时 称为复二次型 本章中只讨论实二次型 1 实二次型定义 只含有平方项的二次型 称为二次型的标准形 例如 是二元二次型 是三元二次型 不是二次型 是四元二次型的标准形 为了能够用矩阵来讨论二次型 在定义中 令 则 2 实二次型的矩阵表示 提x1 提x2 提xn 设 则 称 为二次型的矩阵形式 称实对称矩阵A为二次型XTAX的矩阵 实对称矩阵A的秩称为二次型的秩 称二次型XTAX为实对称矩阵A的二次型 1 二次型XTAX与实对称矩阵A之间的关系 一一对应关系 2 二次型的矩阵A主对角线上的元素为二次型平方项的系数 非主对角元为相应交叉项系数的一半 性质1二次型 为标准形的充分必要条件是A为对角矩阵 证明 显然 性质2若二次型 其中A B均为对称矩阵 则 若矩阵A B不是对称矩阵 则不一定有A B 例1二次型 的矩阵是 2 3 0 例2实对称矩阵 的二次型是 例3二次型 的秩为2 求k 解 二次型的矩阵是 因为 1 所以 k 3 也可以由A的行列式为零来计算 例4 是否为二次型 若是 二次型的矩阵A 解 因为 所以 是二次型 其矩阵是 一般 对n阶方阵B 为二次型 二次型的矩阵为 且该 证明 为对称矩阵 且 因为 为数学式子 所以 又因为 解 二次型的矩阵为 初等变换有 所以 A的秩为3 即该二次型的秩为3 3 线性替换 定义2设x1 x2 xn y1 y2 yn是两组变量 称为由变量 到 的线性 代换或线性替换 记 关系式 称n阶矩阵C为线性变换矩阵 则线性变换的等价矩阵形式为 1 当C可逆时 称该线性变换为可逆线性变换 或非退化的 或满秩的 线性替换 2 当C为正交矩阵时 称该线性变换为正交线 性替换 定理6 1二次型f XTAX经可逆的线性代换 X CY代换后 仍为二次型 证明 定理6 1二次型f XTAX经可逆的线性代换 X CY代换后 仍为二次型 证明 由矩阵A为对称矩阵知 所以 YTBY为二次型 在可逆的线性代换下 矩阵B与A的关系 称为合同关系 定义6 1 设 B为 阶方阵 若存在可逆矩 则称矩阵 合同于 则A与B是合同的 即 矩阵合同关系的基本性质 6 1 2矩阵的合同关系 阵C 使得 记为 或A与B合同 易见 二次型 A B 矩阵合同关系的基本性质 1 反身性 对任意方阵A 2 对称性 若A B 则B A 3 传递性 若A B B C 则A C A A 1 二次型的概念 2 二次型的矩阵 3 线性代换及合同矩阵 小结 作业