6 约束最优化设计2

1 进行迭代计算 迭代点既不超出可行域 又使目标函数的值有所下降 在不断调整可行方向的过程中 使迭代点逐步逼近约束最优点 1 可行方向法的搜索策略 第一步迭代都是从可行的初始点出发 沿点的负梯度方向 将初始点移动到某一个约束面 只有一个起作用的约束时 上 或约束面的交集 有几个起作用的约束时 上 可行方向法 可行方向是求解大型约束优化问题的主要方法之一 这种方法的基本原理是在可行域内选择一个初始点 当确定了一个可行方向d和适当的步长后 按式 2 然后根据约束函数和目标函数的不同形状 分别采用以下几种策略继续搜索 1新点在可行域内的情况 3 2新点在可行域外的情况 4 3沿线性约束面的搜索 5 4沿非线性约束面的搜索 6 可行方向是指沿该方向作微小移动后 所得到的新点是可行点 且目标函数值有所下降 可行方向应满足两个条件 1 可行 2 下降 1 可行条件 方向的可行条件是指沿该方向作微小移动后 所得到的新点为可行点 2 产生可行方向的条件 7 方向的下降条件是指沿该方向作微小移动后 所得新点的目标函数值是下降的 2 下降条件 8 位于约束曲面在点xk的切线和目标函数等值线在点xk的切线所围成的扇形区内 该扇形区称为可行下降方向区 满足可行和下降条件 即式 同时成立的方向称可行方向 9 满足可行 下降条件的方向位于可行下降扇形区内 在扇形区内寻找一个最有利的方向作为本次迭代的搜索方向 1 优选方向法 由条件 求一个以搜索方向d为设计变量的约束优化问题 s t 各函数均为设计变量d的线性函数 因此该式为一个 线性 规划问题 3 可行方向的产生方法 10 P 投影算子 为n n阶矩阵 G 起作用约束函数的梯度矩阵 n J阶矩阵 2 梯度投影法当xk点目标函数的负梯度方向不满足可行条件时 可将方向投影到约束面 或约束面的交集 上 得到投影向量dk 11 确定的步长应使新的迭代点为可行点 且目标函数具有最大的下降量 约束一维搜索 1 取最优步长从xk点出发 沿dk方向进行一维最优化搜索 取得最优步长 计算新点x的值 4 步长的确定 12 改变步长 使新点x返回到约束面上来 使新点x恰好位于约束面上的步长称为最大步长 取到约束边界的最大步长从xk点出发 沿dk方向进行一维最优化搜索 得到的新点x为不可行点 13 约束一维搜索 与以前所讲过的一维搜索相比 约束一维搜索的特点在于 确定初始区间时 对产生的每一个探测点都进行可行性判断 如违反了某个或某些约束条件 就必须减少步长因子 以使新的探测点落在最近的一个约束曲面上或约束曲面的一个容许的区间内 14 如得到的相邻三个探测点都是可行点 而且函数值呈 大 小 大 变化 则与前面一维搜索相同 两端点所决定的区间就是初始区间 接着缩小区间的到一维最小点 如最后得到的探测点落在约束曲面的一个容限之内 而且函数值比前一点的小 则该点就是一维极小点 15 收敛条件 2 设计点xk满足库恩 塔克条件 1 设计点xk及约束允差满足 16 解 1 取初始点 则取作用约束集 Jk 1 例题用可行方向法求约束优化问题 17 用图解法 最优方向 2 寻找最优方向 即解一个以可行方向为设计变量的规划问题 18 x1在约束边界g3 x 0上 g3 x1 0 4 第二次迭代 用梯度投影法确定可行方向 迭代点x的目标函数负梯度 不满足方向的可行条件 将投影到约束边界g3 x 0上 投影算子 由上式可求得 3 沿d0方向进行一维搜索 19 本次迭代方向 D为沿约束边界g3 x 0的方向 求最佳步长 求得 20 21 由于 Jk 3 5 代入K T条件 4 收敛判断 22 23 将有不等式约束的优化问题转化为无约束优化问题来求解 前提 一是不能破坏约束问题的约束条件 二是使它归结到原约束问题的同一最优解上去 构成一个新的目标函数 称为惩罚函数 求解该新目标函数的无约束极小值 以期得到原问题的约束最优解 按一定的法则改变权因子r1和r2的值 求得一序列的无约束最优解 不断地逼近原约束优化问题的最优解 惩罚函数法 24 惩罚项必须具有以下极限性质 根据惩罚项得不同构成形式 惩罚函数法又可分为外点惩罚函数法 内点惩罚函数法和混合惩罚函数法 从而有 25 对于只具有不等式约束的优化问题 转化后的惩罚函数形式为 或 1 内点法 1 这种方法将新目标函数定义于可行域内 序列迭代点在可行域内逐步逼近约束边界上的最优点 内点法只能用来求解具有不等式约束的优化问题 26 rk是惩罚因子 它是一个由大到小且趋近于0的正数列 即 由于内点法的迭代过程在可行域内进行 障碍项 的作用是阻止迭代点越出可行域 由 障碍项 的函数形式可知 当迭代点靠近某一约束边界时 其值趋近于0 而 障碍项 的值陡然增加 并趋近于无穷大 好像在可行域的边界上筑起了一道 高墙 使迭代点始终不能越出可行域 显然 只有当惩罚因子时 才能求得在约束边界上的最优解 27 例用内点法求 的约束最优解 解 用内点法求解该问题时 首先构造内点惩罚函数 用解析法求函数的极小值 运用极值条件 联立求解得 28 时不满足约束条件 应舍去 无约束极值点为 当 29 使用内点法时 初始点应选择一个离约束边界较远的可行点 如太靠近某一约束边界 构造的惩罚函数可能由于障碍项的值很大而变得畸形 使求解无约束优化问题发生困难 2 惩罚因子初值r0的选取 惩罚因子的初值应适当 否则会影响迭代计算的正常进行 一般而言 太大 将增加迭代次数 太小 会使惩罚函数的性态变坏 甚至难以收敛到极值点 无一般性的有效方法 对于不同的问题 都要经过多次试算 才能决定一个适当r0 3 惩罚因子的缩减系数c的选取 在构造序列惩罚函数时 惩罚因子r是一个逐次递减到0的数列 相邻两次迭代的惩罚因子的关系为 1 初始点x0的选取 30 式中的c称为惩罚因子的缩减系数 c为小于1的正数 一般的看法是 c值的大小在迭代过程中不起决定性作用 通常的取值范围在0 1 0 7之间 4 收敛条件 31 外点惩罚函数的形式为 r是惩罚因子 外点法的迭代过程在可行域之外进行 惩罚项的作用是迫使迭代点逼近约束边界或等式约束曲面 由惩罚项的形式可知 当迭代点x不可行时 惩罚项的值大于0 2 外点法 外