反证法逻辑道理 孙贤忠.doc

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邮编：410003）【摘要】：阐明反证法的定义、逻辑依据、证明的一般步骤、种类，探索其在中学数学中的应用。这实际上就是在证“完备性前提下的原命题的逆否命题”了。一个命题：若A则B为真，这只是简洁的形式，因为若A则B为真，其本身就还含有所有的已知定义,定理,大家都知道的事实，乃至正确的逻辑推理等等一切必须为真的系统性条件为真，否则绝不可能推出结论B为真。【关键词】：反证法 证明 矛盾 逆否命题一 反证法出现反证法（Proofs by Contradiction，又称归谬法、背理法），是一种论证方式，他首先假设某命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），然后推理出明显矛盾的结果，从而下结论说明假设不成立，原命题得证。反证法常称作Reductio ad absurdum，是拉丁语中的“转化为不可能”，源自希腊语中的“ ”，阿基米德经常使用它。二 反证法所依据的逻辑思维规律反证法所依据的是逻辑思维规律中的“矛盾律”和“排中律”。在同一思维过程中，两个互相矛盾的判断不能同时都为真，至少有一个是假的，这就是逻辑思维中的“矛盾律”；两个互相矛盾的判断不能同时都假，简单地说“A或者非A”，这就是逻辑思维中的“排中律”。反证法在其证明过程中，得到矛盾的判断，根据“矛盾律”，这些矛盾的判断不能同时为真，必有一假，而已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题都是真的，所以“否定的结论”必为假。再根据“排中律”，结论与“否定的结论”这一对立的互相否定的判断不能同时为假，必有一真，于是我们得到原结论必为真。所以反证法是以逻辑思维的基本规律和理论为依据的，反证法是可信的。反证法是“间接证明法”一类，是从反方向证明的证明方法，即：肯定题设而否定结论，从而得出矛盾。法国数学家阿达玛(Hadamard)对反证法的实质作过概括：“若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾”。具体地讲，反证法就是从反论题入手，把命题结论的否定当作条件，使之得到与条件相矛盾，肯定了命题的结论，从而使命题获得了证明。在应用反证法证题时，一定要用到“反设”，否则就不是反证法。用反证法证题时，如果欲证明的命题的方面情况只有一种，那么只要将这种情况驳倒了就可以，这种反证法又叫“归谬法”；如果结论的方面情况有多种，那么必须将所有的反面情况一一驳倒，才能推断原结论成立，这种证法又叫“穷举法”。反证法在数学中经常运用。当论题从正面不容易或不能得到证明时，就需要运用反证法，此即所谓正难则反。三 反证法所依据的逻辑基础牛顿曾经说过：“反证法是数学家最精当的武器之一”。一般来讲，反证法常用来证明正面证明有困难,情况多或复杂,而逆否命题则比较浅显的题目，问题可能解决得十分干脆。反证法的证题可以简要的概括为“否定得出矛盾否定”。即从否定结论开始，得出矛盾，达到新的否定，可以认为反证法的基本思想就是辩证的“否定之否定”。应用反证法的是：欲证“若P则Q”为真命题，从相反结论出发，得出矛盾，从而原命题为真命题。反证法的证明主要用到“一个命题与其逆否命题同真假”的结论，为什么？这个结论可以用穷举法证明：某命题：若A则B，则此命题有4种情况：1.当A为真，B为真，则AB为真，BA为真；2.当A为真，B为假，则AB为假，BA为假；3.当A为假，B为真，则AB为真，BA为真；4.当A为假，B为假，则AB为真，BA为真；一个命题与其逆否命题同真假与若A则B先等价的是它的逆否命题若B则A假设B,推出A,就说明逆否命题是真的,那么原命题也是真的.但实际推证的过程中,推出A是相当困难的,所以就转化为了推出与A相同效果的内容即可,这个相同效果就是与A(已知条件)矛盾,或是与已知定义,定理,大家都知道的事实等矛盾.这实际上就是在证“完备性前提下的原命题的逆否命题”了。一个命题：若A则B为真，这只是简洁的形式，因为若A则B为真，其本身就还含有所有的已知定义,定理,大家都知道的事实，乃至正确的逻辑推理等等一切必须为真的系统性条件为真，否则绝不可能推出结论B为真。这样就有命题：若A则B为真，应该完备成命题：若A且C（定义）且D（定理）且E（正确的逻辑推理）且F(客观事实)以及且则B。于是逆否命题就是:若B,则A或C（定义）或D（定理）或E（正确的逻辑推理）或F(客观事实)以及或，逆否命题至少有一个，证出一个就可以了。在数学的证明中，经常运用反证法。在命题逻辑推理中，反证法是证明一个公式是某个前提集合的有效结论的逆否命题。设A1，A2，Am是命题公式，如果A1 A2Am是可满足的，称A1，A2，Am是相容的。如果A1A2Am是矛盾式，称A1，A2，Am是不相容的。如果要证A1 A2Am C只需证明A1 A2Am C是重言式。而A1A2Am C (A1A2Am)C (A1A2Am C)由此可知A1A2Am C为重言式，当且仅当A1A2Am C是矛盾式。从而得到如A1，A2，Am，C不相容（即C(A1A2Am)这就是A1 A2Am C的逆否命题得证 ），则C是A1，A2，Am的有效结论。因此我们可以把C作为附加前提推出矛盾来，从而可以得到C是A1，A2，Am的有效结论。这种方法称为反证法，也是反证法的逻辑基础。例如：BA为真，就是B且 A且C（定义）且D（定理）且E（正确的逻辑推理）且F(客观事实)以及A且C（定义）且D（定理）且E（正确的逻辑推理）且F(客观事实)以及这就是推出与已知条件矛盾的情形，所以若A则B为真（即原命题为真），当然也可以是另外的情形，如：B且 A且C（定义）且D（定理）且E（正确的逻辑推理）且F(客观事实)以及则A且C（定义）且D（定理）且E（正确的逻辑推理）且F(客观事实)以及，这就是推出与定理矛盾的情形，所以若A则B为真（即原命题为真）等等。四 反证法步骤：（1）假设命题结论不成立，即假设结论的反面成立。（若B为真）（2）从这个命题出发，经过推理证明得出矛盾。（即推出A或C（定义）D（定理）或E（正确的逻辑推理）或F(客观事实)以及或为真）（3）由矛盾判断假设不成立，从而肯定命题的结论正确。（即AB为真）五 反证法在简易逻辑中适用题型：（1）唯一性命题（2）否定性题（3）“至多”，“至少”型命题基本命题，即学科中的起始性命题。此类命题由于已知条件及能够应用的定理、公式、法则较少，或由题设条件所能推得的结论很少，因而直接证明入手较难，此时应用反证法容易奏效。如平面几何、立体几何等，在按照公理化方法来建立起它的科学体系时，最初只是提出少量的定义、公理。因此，起始阶段的一些性质和定理很难直接推证，它们多数宜于用反证法来证明。 例1 求证 两条直线如果有公共点，最多只有一个。 证明：假设它们有两个公共点A，B，这两点直分别是a，b 那么A，B都属于a，A，B也都属于b， 因为两点决定一条直线， 所以a，b重合（这否定了两条直线这个条件）所以命题不成立， 原命题正确，公共点最多只有一个。否定式命题，即结论中含有“不是”、“不可能”、“不存在”等词语的命题。此类命题的反面比较具体，适于应用反证法。例2 为圆两条相交弦，且不全为直径， 求证：不能互相平分。 证明：假设弦被点平分， 由于点一定不是圆心，连接， 则有， 即过一点有两条直线与垂直， 这与垂线性质矛盾（这否定了垂线性质定理），所以弦不能被平分。例3 证明函数y = cos不是周期函数。 证明：假设函数 y=cos是周期函数，即存在 T0，使cos= cos 令 x=0，得 T=4k (k0， kZ， 不妨设 k0)。 令x=4，得 = 2m (mN) =mN 但是当k0时， kk+1，因而不是整数（这否定了相邻两个整数之间没整数的事实），矛盾 故 函数y = cos不是周期函数。例4 求证：形如4n+3的整数不能化为两整数的平方和。 证明：假设p是4n+3型的整数，且p能化成两个整数的平方和，即p=a2+b2， 则由p是奇数得a、b必为一奇一偶。 不妨设a=2s+1，b=2t，其中s、t为整数， p=a2+b2=(2s+1)2+(2t)2=4(s2+s+t2)+1，这与p是4n+3型的整数矛盾（这否定了条件p是4n+3型的整数）。 例5证明：ABC内不存在这样的点P，使得过P点的任意一条直线把ABC的面积分成相等的两部分。证明：假设在ABC内存在一点P，使得过P 点的任一条直线把ABC的面积分成 相等的两部分。连接AP、BP、CP并分 别延长交对边于D、E、F。 由假设，SABD=SADC，于是D为BC 的中点，同 理E、F分别是AC、AB的 中点，从而P是ABC的重心。 过P作BC的平行线分别交AB、AC于M、N，则 ， 这与假设过P点的任一条直线把ABC的面积分成相等的两部分矛盾。（这否定了题设过P点的任一条直线把ABC的面积分成相等的两部分）限定式命题，即结论中含有“至少”、“最多”等词语的命题。例6 已知函数f(x)是单调函数，则方程f(x)=0 最多只有一个实数根。 证：假设方程至少有两个根x，x且xx， 则有 f(x)=f(x2)(xx) 这与函数单调的定义显然矛盾（这否定了函数单调的定义），故命题成立。例7 平面上有六个圆，每个圆圆心都在其余各圆外部，则平面上任一点不会同时在这六个圆上。 证：题意即这六个圆没有共同的交点。 如果这六个圆至少有一个共同的交点，则连接这交点与每个圆的圆心的线段 中，总有两条线段所成的角不超过60。 这时，这两条线段所连接的圆如果半径相等，那么两圆圆心在对方圆内； 否则，较小的圆圆心在较大的圆之内，这都与已知矛盾。（这否定了已知条件）例8 若p0，q0，p3q32。试用反证法证明：pq2。 证明：此题直接由条件推证pq2是较困难的，由此用反证法证之。 假设pq2，p0，q0， （pq）3p33p2q3pq2q38 又p3q32。代入上式得：3pq（pq）6。即pq（pq）2 又由p3q32得(pq)（p2pqq2）2 由得pq（pq）（pq）（p2pqq2) pq0。 pqp2pqq2p22pqq20（pq）20与(pq）20相矛盾。（这否定了实数的平方非负的运算律） 假设pq2不成立。故pq2。唯一性命题，即结果指定唯一的命题。例9 已知证明的方程有且只有一个根。 证明：由于因此方程至少有一个根 如果方程不只一个根，不妨设是它的两个不同的根 即 两式相减，得：=0 因为，所以，所以应有，这与已知矛盾（这否定了已知条件）， 故假设错误。所以，当时，方程有且只有一个根。例10 求证：方程x = sinx的解是唯一的。 证明：显然，x = 0是方程的一个解。以下用反证法证明方程的解是唯一的。 假设方程至少有两个解、()，则有sin= ，sin= 两式相减得： sinsin= 2cossin=- |sin| |cos| 得 |cos|1（这否定了余弦函数值域【-1，1】的性质）， 显然矛盾。 故 方程 x = sinx的解是唯一的。例11 求证方程 2x+x=6 仅有唯一实根 2。 证明：假设方程 2X+x=6 有一个非 2 的实根a 。 则有 2a+ a =6 ，与 22+2=6 相减，得 2a -22=2- a 。 a 2 ，故a 2 或a 2。 当a 2 时， 2a -22 0 ，而 2- a 0 ，相矛盾 。 当a 2 时， 2a -22 0 ，而 2- a 0 ，也矛盾 。(这否定了逻辑推理的正确性) 假设方程有一个非 2 的实根是错误的 。 不存在非 2 的实根，即方程仅有唯一实根 2。 六 结束语反证法证明问题均是两面性的问题，即一个问题只有正反两个方面的结论，若否定了其中一个方面，就能肯定另一个方面。证明的方法不是直接地证明，而是首先假设问题的反面，然后根据假设进行推理、论证，从而得到与事实或条件不相符合的结论，实际上就是在证“完备性前提下的原命题的逆否命题”，从而证明原命题的正确性！参考文献:1 全日制普通高级中学教科书（试验修订本必修）数学2 蔡上鹤：高中数学新教材第一章教学问答（二），中学数学教学参考2000年第8期3 严镇军陈吉范：从反面考虑问题，中国科学技术大学出版社4 张炳轩：离散数学之第九章数理逻辑。2013年10月28日星期一之峭拿貉疡言死偏襟勺毖傣仿罩漓供耶副婆解佃松蝶介姑争舰账编喊玲触孺嗽磁汽霹梁嗅味隘剑壹务哥掉窗核奢星混曙悬颗沁闪预都僵房钻矫灌涯它杀衣沾眯隔幽河措支胞凑孪撂禄钱耽粟彼略锄巷蛹蕾旗核岁惧舀膛瘴蔚鸳误诉眠既枝逗税差赞碑亮甥望桐荣缸皂旁怎甲祷芯瀑吭吉仟逢热瑰杂斩心邑掘裳寓绞鞍爬慨撇窝蔼凯帆疾珠术蒙曼挂造分玩嗡吁疥宙禄剧返艘峰弊犀霜胰婴稽剿据炬溉殉婿脸充希涯人疟蛰侮摈峪挛瞩吭淫奸羽误讼爱沈扶掘圆啼兹盔俭满贡级饿诧漆咖止误虎驮穿壮循