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1 7 2定积分在物理中的应用 定积分可以是面积 体积 路程 还可以是功 压力 定积分还可以有很多的实际意义 设物体运动的速度v v t v t 0 则此物体在时间区间 a b 内运动的路程s为 一 变速直线运动的路程 解 由速度 时间曲线可知 例题 练习 A B两站相距7 2km 一辆电车从A站开往B站 电车开出ts后到达途中C点 这一段的速度为1 2t m s 到C点的速度为24m s 从C点到B点前的D点以等速行驶 从D点开始刹车 经ts后 速度为 24 1 2t m s 在B点恰好停车 试求 1 A C间的距离 2 B D间的距离 3 电车从A站到B站所需的时间 略解 1 设A到C的时间为t1则1 2t 24 t1 20 s 则AC 2 设D到B的时间为t2则24 1 2t2 0 t2 20 s 则DB 二 变力沿直线所作的功 1 恒力作功 2 变力所做的功 问题 物体在变力F x 的作用下做直线运动 并且物体沿着与F x 相同的方向从x a点移动到x b点 则变力F x 所做的功为 例2 如图 在弹性限度内 将一弹簧从平衡位置拉到离水平位置l米处 求克服弹力所作的功 解 在弹性限度内 拉伸 或压缩 弹簧所需的力 x 与弹簧拉伸 或压缩 的长度x成正比 即 F x kx k为弹簧劲度系数 所以据变力作功公式有 例题 变式 如果1N能拉长弹簧1cm 为了将弹簧拉长6cm 需做功 A 0 18JB 0 26JC 0 12JD 0 28J 所以做功就是求定积分 则由题可得 略解 设 A 解 所求功为 变速直线运动的路程或位移 有一动点P沿着X轴运动 在时间t的速度为v t 8t 2 速度的正方向与X轴正方向一致 1 P从原点出发 当t 3时 求离开原点的路程 18 2 当t 5时 P点的位置 在X轴正方向 3 从t 0到t 5时 点P经过的路程 26 4 P从原点出发 经过时间t后又返回原点时的t值 t 0或t 6 分析 首先确定要求的是路程还是位移 然后用相应的方法求解 路程是位移的绝对值之和 因此在求路程时 要先判断速度在区间内是否恒正 若符号不定 应求出使速度恒正或恒负的区间 然后分别计算 即从图形看 位移可直接用定积分表示 路程是函数的图象及两条直线x a x b 及x轴之间的各部分面积的和 设物体运动的速度v v t v t 0 则此物体在时间区间 a b 内运动的路程s为 1 变速直线运动的路程 2 变力沿直线所作的功 物体在变力F x
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