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2 1数列的极限 二 数列的极限 一 数列 一 数列 定义2 1 数列 一个定义在正整数集合上的函数yn f n 称为整标函数 当自变量n按正整数1 2 3 依次增大的顺序取值时 函数值按相应的顺序排列成一串数 f 1 f 2 f 3 f n 称为一个无穷数列 简称数列 数列中的每一个数称为数列的项 f n 称为数列的一般项 数列举例 一 数列 定义2 1 数列 一个定义在正整数集合上的函数yn f n 称为整标函数 当自变量n按正整数1 2 3 依次增大的顺序取值时 函数值按相应的顺序排列成一串数 f 1 f 2 f 3 f n 称为一个无穷数列 简称数列 数列中的每一个数称为数列的项 f n 称为数列的一般项 数列举例 例3 yn 2n 2 4 6 8 2 二 数列的极限 我们知道 半径为r的圆内接正多边形的面积sn f n n为正多边形的边数 当n越来越大时 sn就越来越接近于圆的面积 当n无限增大时 sn就无限地接近圆的面积 这时 我们说sn以圆面积为极限 问题 如何用数学语言描述 无限逼近 二 数列的极限 分析下列数列当n无限增大时数列的一般项的变化趋势 这三个数列 当n无限增大时 yn都无限地接近于1 即 当n无限增大时 yn与1的差无限地接近于0 或者说 随着n越来越大 绝对值 yn 1 越来越小 当n无限增大时 yn 1 无限接近于0 所谓无限接近于0 即在n无限增大的过程中 yn 1 可以任意小 以数列为例 如果对于任意给定的正数 总存在一个正整数N 当n N时 yn A 恒成立 则称当n趋于无穷大时 数列yn以常数A为极限 记作 定义2 2 数列的极限 说明 1 定义中的 刻划yn与A的接近程度 N刻划总有那么一个时刻 即刻划n充分大的程度 是任意给定的 N是随 而确定的 2 如果一个数列有极限 我们就称这个数列是收敛的 否则就称它是发散的 yn以A为极限 亦称yn收敛于A 证 分析 对于任意给定的 0 要使 例6 证 例7 证 例7 对任意给定的小正数 在yn A 与yn A 之间形成一个带形区域 不论 多么小 即不论带形区域多么狭窄 总可以找到N 从第N 1项起 以后的一切项yN 1 yN 2 的数值均在 A A 内 即当n N时 其对应点 n
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