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2闭区间上连续函数的性质 实数完备性理论的一个重要作用就是证 一 最大 最小值定理 经在第四章给出过 明闭区间上连续函数的性质 这些性质曾 三 一致连续性定理 二 介值性定理 返回 首先来看一个常用的定理 有界性定理若f x 在闭区间 a b 上连续 则f x 证用两种方法给出证明 第一种方法使用有限覆盖定理 因为f x 在 a b 一 最大 最小值定理 局部有界的性质化为整体有界性质 上每一点连续 从而局部有界 我们的任务就是将 H覆盖了闭区间 a b 由有限覆盖定理 在H中存 显然 在有限个开区间 第二种证法采用致密性定理 因为 xn 有界 从而存在一个收敛的子列 为了书 写方便 不妨假设 xn 自身收敛 令 设f x 在 a b 上无界 不妨设f x 无上界 则存在 故由归结原理可得 矛盾 最大 最小值定理 定理4 6 若函数f x 在 a b 证f x 在 a b 上连续 因而有界 由确界定理 f x 在 a b 上的值域有上确界 设 上连续 则f x 在 a b 上取最大 最小值 在 a b 上连续 从而有界 故存在G 0 使 这样就有 这与M是f x 在 a b 上的上确界矛盾 这就证明了上确界M与下确界m都是可取到的 最小值 这也就是说 M与m是f x 在 a b 上的最大 定理4 7 设函数f x 在闭区间 a b 上连续 且 证在第四章中 我们已经用确界定理证明此定理 现在用区间套定理来证明 二 介值性定理 f a f b 将 a b 等分成两个区间 a c c b 若F c 0 下去 得到一列闭子区间 个区间的端点上的值异号 将这个过程无限进行 F c1 0 已证 不然同样可知函数F x 在其中一 将 a1 b1 等分成两个区间 a1 c1 c1 b1 若 间端点上的值异号 将这个区间记为 a1 b1 再 已证 不然 函数F x 在这两个区间中有一个区 由区间套定理 存在惟一的 an bn 满足 定理4 9 若函数f x 在 a b 上连续 则f x 在 证 证法一 首先用致密性定理来证明该定理 在 设f x 在 a b 上不一致连续 即存在 三 一致连续性定理 a b 上一致连续 究 下述证明过程中 选子列的方法值得大家仔细探 现分别取 因为 x n 有界 从而由致密性定理 存在 x n 的 连续 所以由归结原理得到 矛盾 证法二 再用有限覆盖定理来证明 以及f 考虑开区间集 那么H是 a b
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