江苏省高三历次模拟数学试题分类汇编：第章圆锥曲线.doc

1 目录 基础复习部分 第九章圆锥曲线 2 第 51 课椭圆 2 第 52 课双曲线 7 第 53 课抛物线 8 第 54 课直线与圆锥曲线 位置关系 弦长 9 第 55 课直线与圆锥曲线 定值 存在性问题 16 第 56 课综合应用 最值 范围 27 2 第九章第九章圆锥曲线圆锥曲线 第第 5151 课课椭圆椭圆 苏北四市期末 已知椭圆 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 点A 1 B 2 B F依次为其左顶点 下顶点 上 顶点和右焦点 若直线 2 AB 与直线 1 B F 的交点恰在椭圆的右准线上 则椭圆的离心率为 1 2 扬州期末 如图 A B C 是椭圆 M 上的三点 其中点 A 是椭圆的右顶点 22 22 1 0 xy ab ab BC 过椭圆 M 的中心 且满足 AC BC BC 2AC 1 求椭圆的离心率 2 若 y 轴被 ABC 的外接圆所截得弦长为 9 求椭圆方程 1 因为过椭圆的中心 所以 BCM22BCOCOB 又 所以是以角为直角的等腰直角三角形 3 分ACBC 2BCAC OAC C 则 0 A a 22 aa C 2 2 a a B 10 2 ABa 所以 则 所以 7 分 22 22 22 1 aa ab 22 3ab 22 2cb 6 3 e 2 的外接圆圆心为中点 半径为 ABC AB 4 4 a a P 10 4 a 则的外接圆为 10 分ABC 222 5 448 aa xya 令 或 所以 得 0 x ya 2 a y 9 2 a a 6a 所以所求的椭圆方程为 15 分 22 1 3612 xy 南京盐城模拟一 在平面直角坐标系中 椭圆xOy 的右准线方程为 右顶点为 22 22 1 0 xy Cab ab 4x A x y O l A B F P 第 17 题图 A x y C O B 3 上顶点为 右焦点为 斜率为 2 的直线 经过点 且点到直线 的距离为 BFlAFl 2 5 5 1 求椭圆的标准方程 C 2 将直线 绕点旋转 它与椭圆相交于另一点 lACP 当 三点共线时 试确定直线 的斜率 BFPl 解 1 直线 的方程为 即 l2 yxa 220 xya 右焦点到直线 的距离为 Fl 222 5 55 ca 1ac 又椭圆右准线为 即 所以 C4x 2 4 a c 2 4 a c 将此代入上式解得 椭圆的方程为 6 分2a 1c 2 3b C 22 1 43 xy 2 由 1 知 直线的方程为 8 分 0 3 B 1 0 F BF3 1 yx 联立方程组解得或 舍 即 12 分 22 3 1 1 43 yx xy 8 5 3 3 5 x y 0 3 x y 83 3 55 P 直线 的斜率 14 分 l 3 3 0 3 3 5 8 2 2 5 k 方法二 由 1 知 直线的方程为 由题 显然直线 0 3 B 1 0 F BF3 1 yx 2 0 A 的斜率存在 设直线 的方程为 联立方程组解得代入椭ll 2 yk x 3 1 2 yx yk x 23 3 3 3 k x k k y k 圆方程解得或 又由题意知 得或 所以 3 3 2 k 3 2 k 3 0 3 k y k 0k 3k 3 3 2 k 方法三 由题 显然直线 的斜率存在 设直线 的方程为 联立方程组 2 0 All 2 yk x 得 22 2 1 43 yk x xy 2222 431616120kxk xk 2 2 16 43 AP k xx k 所以 当 三点共线时 有 22 22 1686 2 4343 P kk x kk 2 12 43 P k y k BFP BPBF kk 4 即 解得或 又由题意知 得或 2 2 2 12 3 3 43 861 43 k k k k 3 3 2 k 3 2 k 3 0 3 k y k 0k 所以 3k 3 3 2 k 苏锡常镇一 在平面直角坐标系 xOy 中 已知椭圆 C 的离心率为 且过点 22 22 1 xy ab 0 ab 2 2 过椭圆的左顶点 A 作直线轴 点 M 为直线 上的动点 点 B 为椭圆右顶点 直线 BM 6 1 2 lx l 交椭圆 C 于 P 1 求椭圆 C 的方程 2 求证 APOM 3 试问是否为定值 若是定值 OP OM 请求出该定值 若不是定值 请说明理由 解 1 椭圆 C 的离心率为 22 22 1 xy ab 0 ab 2 2 则 又椭圆 C 过点 2 分 22 2ac 22 2ab 6 1 2 22 13 1 2ab 2 4a 2 2b 则椭圆 C 的方程 4 分 22 1 42 xy 2 设直线 BM 的斜率为 k 则直线 BM 的方程为 设 2 yk x 11 P x y 将代入椭圆 C 的方程中并化简得 2 yk x 22 1 42 xy 6 分 2222 21 4840kxk xk 解之得 2 1 2 42 21 k x k 2 2x 从而 分 11 2 4 2 21 k yk x k 2 22 424 21 21 kk P kk 令 得 9 分2x 4yk 2 4 Mk 2 4 OMk 又 11 分 2 22 424 2 2121 kk AP kk 2 22 84 21 21 kk kk 22 22 1616 0 2121 kk AP OM kk 13 分APOM 3 2 22 424 2 4 21 21 kk OP OMk kk 222 22 841684 4 2121 kkk kk 5 为定值 4 16 分OP OM 已知椭圆的上顶点为 直线交椭圆于 两点 设直线 22 1 42 xy C A l ykxm PQAP 的斜率分别为 AQ 1 k 2 k 1 若时 求的值 0m 12 kk 2 若 证明直线过定点 12 1kk l ykxm x y P Q l A O 6 南通调研二 如图 在平面直角坐标系中 椭圆的左顶点为 右焦xOy 2 2 22 1 0 y x ab ab A 点为 为椭圆上一点 且 0 F c 00 P xy PAPF 1 若 求的值 3a 5b 0 x 2 若 求椭圆的离心率 0 0 x 3 求证 以为圆心 为半径的圆与椭圆的FFP 右准线相切 2 a x c 解 1 因为 所以 即 3a 5b 222 4cab 2c 由得 即 3 分PAPF 00 00 1 32 yy xx 22 000 6yxx 又 22 00 1 95 xy 所以 解得或 舍去 5 分 2 00 4990 xx 0 3 4 x 0 3x 2 当时 0 0 x 22 0 yb 由得 即 故 8 分PAPF 00 1 yy ac 2 bac 22 acac 所以 解得 负值已舍 10 分 2 10ee 51 2 e x y O P A F 第 18 题 7 3 依题意 椭圆右焦点到直线的距离为 且 2 a x c 2 a c c 22 00 22 1 xy ab 由得 即 PAPF 00 00 1 yy xa xc 22 000 yxca xca 由 得 2 00 2 0 a bac xax c 解得或 舍去 13 分 22 0 2 a aacc x c 0 xa 所以 2 2 00 PFxcy 2 2 000 xcxca xca 0 c ax a 22 2 a aacc c a a c 2 a c c 所以以为圆心 为半径的圆与右准线相切 16 分FFP 2 a x c 注 第 2 小问中 得到椭圆右焦点到直线的距离为 得 1 分 直接使用焦半 2 a x c 2 a c c 径公式扣 1 分 第第 5252 课课双曲线双曲线 已知双曲线的离心率为 则实数 a 的值为 8 22 41axy 3 已知双曲线 1 a 0 b 0 的渐近线方程为 y x 则该双曲线的离心率为 2 x2 a2 y2 b23 双曲线的右焦点到渐近线的距离是其到左顶点距离的一半 则双曲线的离心率 22 22 1 0 0 xy ab ab e 答案 5 3 提示提示 双曲线唯一唯一的重要性质 焦点到渐近线的距离等于 则有 b 222 22 acac bac 22 5 3250 35 0 3 c cacaca cae a 平时强调的重点内容啊 双曲线的离心率为 2 2 1 2 y x 3 已知焦点在轴上的双曲线的渐近线方程为 则该双曲线的离心率为 x 1 3 yx 10 3 南京盐城模拟一 若双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合 则 222 0 xyaa 2 4yx a 答案 2 2 8 苏北三市调研三 已知双曲线的离心率为 2 它的一个焦点是抛物线的焦点 则双曲线的C 2 8xy C 标准方程为 2 2 1 3 x y 扬州期末 已知双曲线 的一条渐近线与直线 l 0 垂直 且C 22 22 1 0 xy a ab 0 b 3xy 的一个焦点到 l 的距离为 2 则的标准方程为 CC 22 1 412 xy 淮安宿迁摸底 在平面直角坐标系中 若双曲线的渐近线方程是 且经过点 则xOy2yx 2 2 该双曲线的方程是 2 2 1 4 y x 泰州二模 已知双曲线的渐近线方程为 则 22 1 4 xy m 2 2 yx m 2 南京三模 在平面直角坐标系 xOy 中 过双曲线 C x2 1 的右焦点 F 作 x 轴的垂线 l 则 l 与双 y2 3 曲线 C 的两条渐近线所围成的三角形的面积是 4 3 苏锡常镇二模 已知双曲线的离心率等于 2 它的焦点到渐近线的距离等于 1 22 22 1 0 xy a b ab 则该双曲线的方程为 3x2 y2 1 金海南三校联考 在平面直角坐标系 xOy 中 若双曲线 C 的离心率为 22 22 1 0 0 xy ab ab 10 则双曲线 C 的渐近线方程为 y 3x 镇江期末 若双曲线 的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的 则该 22 22 1 0 xy a ab 0 b 4 1 双曲线的渐近线方程是 3 3 yx 第第 5353 课课抛物线抛物线 南通调研一 在平面直角坐标系中 以直线为渐近线 且经过抛物线焦点的双xOy2yx 2 4yx 曲线的方程是 x2 1 y2 4 苏州期末 以抛物线的焦点为顶点 顶点为中心 离心率为 2 的双曲线标准方程为 2 4yx 2 2 1 3 y x 南京盐城二模 在平面直角坐标系 xoy 中 已知抛物线 C 的焦点为 F 定点 若 2 4xy 0 22 A 射线 FA 与抛物线 C 相交于点 M 与抛物线 C 的准线相交于点 N 则 FM MN 1 3 南通调研三 南通调研三 在平面直角坐标系 xOy 中 点 F 为抛物线 x2 8y 的焦点 则 F 到双曲线的渐 2 2 1 9 y x 9 近线的距离为 答案答案 10 5 盐城三模 若抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合 则的值为 2 8yx F 22 1 3 xy n n 1 南师附中四校联考 以双曲线的中心为顶点 右准线为准线的抛物线方程为 1 124 22 yx xy4 2 第第 5454 课课直线与圆锥曲线 直线与圆锥曲线 位置关系 弦长 位置关系 弦长 给定椭圆 C 1 a b 0 称圆 C1 x2 y2 a2 b2为椭圆 C 的 伴随圆 已知椭圆 C 的 x2 a2 y2 b2 离心率为 且经过点 0 1 1 求实数 a b 的值 2 若过点 P 0 m m 0 的直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点 且 l 被椭圆 C 的伴随圆 C1所截 得的弦长为 2 求实数 m 的值 2 解 解 1 记椭圆 C 的半焦距为 c 由题意 得 b 1 c2 a2 b2 c a 解得 a 2 b 1 4 分 2 由 1 知 椭圆 C 的方程为 y2 1 圆 C1的方程为 x2 y2 5 x2 4 显然直线 l 的斜率存在 设直线 l 的方程为 y kx m 即 kx y m 0 6 分 因为直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点 故方程组 有且只有一组解 由 得 1 4k2 x2 8kmx 4m2 4 0 从而 8km 2 4 1 4k2 4m2 4 0 化简 得 m2 1 4k2 10 分 因为直线 l 被圆 x2 y2 5 所截得的弦长为 2 2 所以圆心到直线 l 的距离 d 5 23 即 14 分 3 由 解得 k2 2 m2 9 10 因为 m 0 所以 m 3 16 分 南通调研一 如图 在平面直角坐标系中 分别是椭圆的左 右xOy 1 F 2 F 22 22 1 0 xy ab ab 焦点 顶点的坐标为 且是边长为 2 的B 0 b 12 BF F 等边三角 形 1 求椭圆的方程 2 过右焦点的直线 与椭圆相交于 两点 记 2 FlAC 2 ABF 的面积分别为 若 求直线 的 2 BCF 1 S 2 S 12 2SS l 斜率 Ox y B A C F1F2 11 南师附中四校联考 在平面直角坐标系 xoy中 椭圆 C 的离心率为 右 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 2 1 焦点 F 1 0 点 P 在椭圆 C 上 且在第一象限内 直线 PQ 与圆 O 相切于点 M 222 byx 1 求椭圆 C 的方程 2 求 PM PF 的取值范围 3 若 OP OQ 求点 Q 的纵坐标 t 的值 1 2 分 1 2 1 c a c c 1 a 2 椭圆方程为 4 分3 b1 34 22 yx 2 设 则 00 yxP 20 1 34 0 2 0 2 0 x yx O P M Q F x y 12 PM 6 分 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 1 3 4 3 33xxxyx PF 8 分 0 2 1 2x PM PF 1 2 4 1 4 4 1 2 000 xxx PM PF 的取值范围是 0 1 10 分20 0 x 3 法一 当 PM x 轴时 P Q或 2 3 3 3 t 3 t 由解得 12 分0 OQOP32 t 当 PM 不垂直于 x 轴时 设 PQ 方程为 即 00 yxP 00 xxkyy 0 00 ykxykx PQ 与圆 O 相切 3 1 2 00 k ykx 33 22 00 kykx 13 分 00 2ykx33 2 2 0 2 0 2 kyxk 又 所以由得 14 分 00 t k kxyt Q 0 OQOP 00 000 kyx kxyx t 2 00 2 00 2 02 kyx kxyx t 00 2 0 2 2 0 2 00 2 0 2 ykxykx ykxx 33 33 2 2 0 2 0 2 2 0 2 2 0 2 2 0 kyxkykx kx 12 16 分 33 4 3 3 1 1 33 2 2 0 2 2 0 2 2 2 0 kxkxk kx 32 t 法二 设 则直线 OQ 00 yxPx y x y 0 0 0 0 tt x y Q OP OQ OP OQ OM PQ 12 分 2 0 2 0 0 0 22 2 0 2 0 2 0 2 0 3tyt x y xtt x y yx 33 2 2 0 2 0 2 0 2 02 2 0 2 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 2 0 2 0 tx x yx tyt x y xyx x t yx 14 分 3 2 2 0 2 2 0 2 0 txtyx 3 3 2 0 2 0 2 02 yx x t 13 16 分1 34 2 0 2 0 yx 4 3 3 2 0 2 0 x y 12 4 1 3 2 0 2 02 x x t 32 t 前黄姜堰四校联考 已知曲线 曲线 曲线的左顶 1 C 22 1 44 xy 2 C 22 2 1 01 44 xy 2 C 点恰为曲线的左焦点 1 C 1 求的值 2 若曲线上一点的坐标为 过点作直线交曲线于两点 直线交曲线 2 CP 2 1 2 P 1 C A COP 1 C 于两点 若为中点 B DPAC 求直线的方程 AC 求四边形的面积 ABCD 解 1 由 可得 3 分444 1 2 2 方法一 由 1 可得曲线 22 1 1 42 xy C 由条件可知的斜率必存在 可设直线方程为 ACAC 2 1 2 yk x 1122 A x yC xy 联立方程 22 2 1 2 1 42 yk x xy 可得 6 分 222 21 2 24 22 230kxk kxkk 12 2 42 2 21 kk xx k 是的中点 2 1 2 PAC 12 2xx 解得 2 42 2 2 21 kk k 2 2 k D x y B O C P A 第 17 题 14 直线方程为 8 分 AC220 xy 方法二 设 由的中点为 可得 1122 A x yC xyAC 2 1 2 P 1212 2 2xxyy 由 两式相减可得 6 分 22 11 22 22 1 42 1 42 xy xy 1212 1212 1 2 yyyy xxxx 21 22 AC k A 2 2 AC k 直线方程为 8 分 AC220 xy 的斜率为 直线的方程为 OP 2 2 OB 2 2 yx 联立方程 可得或 22 2 2 1 42 yx xy 2 1 x y 2 1 x y 11 分 2 1 2 1 BD 分别到直线的距离为BD AC 12 2 222 22 33 dd 由 可得 或 2 20 xx 0 x 2x 13 分 2 0 02 AC 6AC 四边形的面积 15 分 ABCD 12 114 2 6 4 223 SACdd A 金海南三校联考 金海南三校联考 在平面直角坐标系 xOy 中 设椭圆 C 的左焦点为 F 左准 22 22 1 0 xy ab ab 线为 l P 为椭圆上任意一点 直线 OQ FP 垂足为 Q 直线 OQ 与 l 交于点 A 1 若 b 1 且 b c 直线 l 的方程为 x 求椭 5 2 圆 C 的方程 是否存在点 P 使得 若 1 10 FP FQ 存在 求出点 P 的坐标 若不存在 说明理由 2 设直线 FP 圆 O x2 y2 a2交于 M N 两点 求证 直线 AM AN 均与圆 O 相切 x OF P A N Ml y 15 解 解 1 i 由题意 b 1 又 a2 b2 c2 a2 c 5 2 所以 2c2 5c 2 0 解得 c 2 或 c 舍去 1 2 故 a2 5 所求椭圆的方程为 y2 1 3 分 x2 5 ii 设 P m n 则 n2 1 即 n2 1 m2 5 m2 5 当 m 2 或 n 0 时 均不符合题意 当 m 2 n 0 时 直线 FP 的斜率为 n m 2 直线 FP 的方程为 y x 2 n m 2 故直线 AO 的方程为 y x m 2 n Q 点的纵坐标 yQ 5 分 2n m 2 m 2 2 n2 所以 FP FQ n yP m 2 2 n2 2 m 2 4m2 20m 25 10 m 2 令 得 4m2 21m 27 0 或 4m2 19m 23 0 7 分 FP FQ 1 10 由 4m2 21m 27 0 解得 m 3 m 又 m 所以方程 无解 9 455 由于 192 4 4 23 0 所以方程 无解 故不存在点 P 使 10 分 FP FQ 1 10 3 设 M x0 y0 A t 则 x0 c y0 t a2 c FM OA a2 c 因为 OA FM 所以 0 即 x0 c ty0 0 FM OA a2 c 由题意 y0 0 所以 t x0 c y0 a2 c 所以 A 12 分 a2 c x0 c y0 a2 c x y O F l P Q M N 16 因为 x0 y0 x0 y0 AM a2 c x0 c y0 a2 c OM 所以 x0 x0 y0 y0 AM OM a2 c x0 c y0 a2 c x02 y02 x0 y0 a2 c x0 c y0 a2 c x02 y02 x0 x0 a2 a2 c a2 c x02 y02 a2 因为 M x0 y0 在圆 O 上 所以 0 15 分 AM OM 即 AM OM 所以直线 AM 与圆 O 相切 同理可证直线 AN 与圆 O 相切 16 分 第第 5555 课课直线与圆锥曲线 直线与圆锥曲线 定值 存在性问题 定值 存在性问题 前黄姜堰四校联考 已知椭圆 点为其长轴的等分点 分别过这 2 2 1 2 x Cy 125 M MM AB6 五点作斜率为的一组平行线 交椭圆于 则 10 条直线的斜率k 0 k C 1210 P PP 1210 AP APAP 乘积为 1 32 如图 在平面直角坐标系中 离心率为的椭圆的左顶点为 过原xOy 2 2 C 22 22 1 0 xy ab ab A 点的直线 与坐标轴不重合 与椭圆交于 两点 直线 分别与轴交于 两OCPQPAQAyMN 点 若直线斜率为时 PQ 2 2 2 3PQ 1 求椭圆的标准方程 C 2 试问以为直径的圆是否经过定点 与直线的斜率无关 请证明你的结论 MNPQ N M Q A O P x y 17 18 解 1 设 直线斜率为时 00 2 2 P xxPQ 2 2 2 3PQ 3 分 22 00 2 3 2 xx 2 0 2x 22 21 1 ab 22 2 2 cab e aa 2 4a 2 2b 椭圆的标准方程为 6 分C 22 1 42 xy 2 以为直径的圆过定点 MN 2 0 F 设 则 且 即 00 P xy 00 Qxy 22 00 1 42 xy 22 00 24xy 直线方程为 2 0 A PA 0 0 2 2 y yx x 0 0 2 0 2 y M x 直线方程为 9 分QA 0 0 2 2 y yx x 0 0 2 0 2 y N x 以为直径的圆为 MN 00 00 22 0 0 0 22 yy xxyy xx 即 12 分 2 22 000 22 00 44 0 44 x yy xyy xx 22 00 42xy 22 0 0 2 20 x xyy y 令 解得 0y 22 20 xy 2x 以为直径的圆过定点 16 分MN 2 0 F 苏州期末 如图 已知椭圆 点 B 是其下顶点 过点 B 的直线交椭圆 C 于另一点 22 1 124 xy C A A 点在轴下方 且线段 AB 的中点 E 在直线上 xyx 1 求直线 AB 的方程 2 若点 P 为椭圆 C 上异于 A B 的动点 且直线 AP BP 分别交直线于点 M N 证明 yx OM ON 为定值 A 解 1 设点 E m m 由 B 0 2 得 A 2m 2m 2 P N M B O A x y E 18 代入椭圆方程得 22 4 22 1 124 mm 即 2 2 1 1 3 m m 解得 3 2 m 或 0m 舍 3 分 所以 A 3 1 故直线 AB 的方程为 360 xy 6 分 2 设 00 P xy 则 22 00 1 124 xy 即 2 20 0 4 3 x y 设 MM M xy 由 A P M 三点共线 即 APAM uu u ruuur P 00 3 1 1 3 MM xyyx 又点 M 在直线上 解得 M 点的横坐标 00 00 3 2 M yx x xy 9 分 yx 设 NN N xy 由 B P N 三点共线 即 BPBN uuruuu r P 00 2 2 NN xyyx 点 N 在直线上 解得 N 点的横坐标 0 00 2 2 N x x xy 12 分 yx 所以 OM ON 2 0 2 0 MN xx 2 MN xx 2 00 00 3 2 yx xy 0 00 2 2 x xy 16 分 222 000000000 222 20000 00000 26263 2 2 2 6 4 2 33 xx yxx yxx y xxxy xx yx y 淮安宿迁摸底 如图 在平面直角坐标系中 已知椭圆 设是椭圆上的xOyC 22 1 2412 xy 00 R xyC 任一点 从原点向圆 作两条切线 分别交椭圆于点 OR 22 00 8xxyy PQ 1 若直线 互相垂直 求圆的方程 OPOQR 2 若直线 的斜率存在 并记为 求证 OPOQ 1 k 2 k 12 210k k 3 试问是否为定值 若是 求出该值 若不是 说明理由 22 OPOQ x O y P Q A R 19 1 由圆的方程知 圆的半径的半径 RR2 2r 因为直线 互相垂直 且和圆相切 OPOQR 所以 即 1 分24ORr 22 00 16xy 又点在椭圆上 所以 2 分RC 22 00 1 2412 xy 联立 解得 3 分 0 0 2 2 2 2 x y 所以所求圆的方程为 4 分R 22 2 22 28xy 2 因为直线 与圆相切 OP 1 yk x OQ 2 yk x R 所以 化简得 6 分 100 2 1 2 2 1 k xy k 222 0100 10 8 280 xkx y ky 同理 7 分 222 020020 8 280 xkx y ky 所以是方程的两个不相等的实数根 12 k k 222 0000 8 280 xkx y ky 8 分 222 0 12 2 0 844 228 ybbacbbacc kk aaax 因为点在椭圆 C 上 所以 即 00 R xy 22 00 1 2412 xy 22 00 1 12 2 yx 所以 即 10 分 2 0 12 2 0 1 4 1 2 82 x k k x 12 210k k 3 是定值 定值为 36 11 分 22 OPOQ 理由如下 法一 是定值 定值为 36 11 分当直线 22 OPOQ 不落在坐标轴上时 设 OP OQ 1122 P x yQ xy 联立解得 12 分 1 22 1 2412 yk x xy 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 24 12 24 12 x k k y k 第 19 题 20 所以 2 22 1 11 2 1 24 1 12 k xy k 同理 得 由 2 22 2 22 2 2 24 1 12 k xy k 12 1 2 k k 所以 13 分 222222 1122 OPOQxyxy 22 12 22 12 24 1 24 1 1212 kk kk 2 2 11 2 2 1 1 1 24 1 24 1 2 1 12 12 2 kk k k 2 1 2 1 3672 12 k k 15 分36 ii 当直线落在坐标轴上时 显然有 OP OQ 22 36OPOQ 综上 16 分 22 36OPOQ 法二 i 当直线不落在坐标轴上时 设 OP OQ 1122 P x yQ xy 因为 所以 即 12 210k k 12 12 2 10 y y x x 2222 1212 1 4 y yx x 因为在椭圆 C 上 所以 即 1122 P x yQ xy 22 11 22 22 1 2412 1 2412 xy xy 22 11 22 22 1 12 2 1 12 2 yx yx 所以 2222 1212 111 12 12 224 xxx x 整理得 所以 22 12 24xx 2222 1212 11 121212 22 yyxx 所以 14 分 22 36OPOQ ii 当直线落在坐标轴上时 显然有 OP OQ 22 36OPOQ 综上 16 分 22 36OPOQ 南京盐城二模 如图 在平面直角坐标系 xOy 中 椭圆 E 1 a b 0 的离心率为 x2 a2 y2 b2 直线 l y x 与椭圆 E 相交于 A B 两点 AB 2 C D 是椭圆 E 上异于 A B 的任意两点 且直线 1 25 AC BD 相交于点 M 直线 AD BC 相交于点 N x y A O B C D M N 第 18 题图 21 1 求 a b 的值 2 求证 直线 MN 的斜率为定值 解解 1 因为 e 所以 c2 a2 即 a2 b2 a2 所以 a2 2b2 2 分 c a 2 2 1 2 1 2 故椭圆方程为 1 x2 2b2 y2 b2 由题意 不妨设点 A 在第一象限 点 B 在第三象限 由解得 A b b y 1 2 x x2 2b2 y2 b2 1 2 3 3 3 3 又 AB 2 所以 OA 即 b2 b2 5 解得 b2 3 55 4 3 1 3 故 a b 5 分 6 3 2 方法一方法一 由 1 知 椭圆 E 的方程为 1 从而 A 2 1 B 2 1 x2 6 y2 3 当 CA CB DA DB 斜率都存在时 设直线 CA DA 的斜率分别为 k1 k2 C x0 y0 显然 k1 k2 从而 k1 kCB y0 1 x0 2 y0 1 x0 2 y02 1 x02 4 3 1 s do1 f x02 6 1 x02 4 2 x02 2 x02 4 1 2 所以 kCB 8 分 1 2k1 同理 kDB 1 2k2 于是直线 AD 的方程为 y 1 k2 x 2 直线 BC 的方程为 y 1 x 2 1 2k1 由解得 y 1 1 2k1 x 2 y 1 k2 x 2 22 从而点 N 的坐标为 4k1k2 4k1 2 2k1k2 1 2k1k2 4k2 1 2k1k2 1 用 k2代 k1 k1代 k2得点 M 的坐标为 4k1k2 4k2 2 2k1k2 1 2k1k2 4k1 1 2k1k2 1 11 分 所以 kMN 1 4 k1 k2 4 k2 k1 即直线 MN 的斜率为定值 1 14 分 当 CA CB DA DB 中 有直线的斜率不存在时 根据题设要求 至多有一条直线斜率不存在 故不妨设直线 CA 的斜率不存在 从而 C 2 1 仍然设 DA 的斜率为 k2 由 知 kDB 1 2k2 此时 CA x 2 DB y 1 x 2 它们交点 M 2 1 1 2k2 2 k2 BC y 1 AD y 1 k2 x 2 它们交点 N 2 1 2 k2 从而 kMN 1 也成立 由 可知 直线 MN 的斜率为定值 1 16 分 方法二方法二 由 1 知 椭圆 E 的方程为 1 从而 A 2 1 B 2 1 x2 6 y2 3 当 CA CB DA DB 斜率都存在时 设直线 CA DA 的斜率分别为 k1 k2 显然 k1 k2 直线 AC 的方程 y 1 k1 x 2 即 y k1x 1 2k1 由得 1 2k12 x2 4k1 1 2k1 x 2 4k12 4k1 2 0 y k1x 1 2k1 x2 6 y2 3 1 设点 C 的坐标为 x1 y1 则 2 x1 从而 x1 2 4k12 4k1 2 1 2k12 4k12 4k1 2 2k12 1 所以 C 4k12 4k1 2 2k12 1 2k12 4k1 1 2k12 1 又 B 2 1 23 所以 kBC 8 分 2k12 4k1 1 2k12 1 1 4k12 4k1 2 2k12 1 2 1 2k1 所以直线 BC 的方程为 y 1 x 2 1 2k1 又直线 AD 的方程为 y 1 k2 x 2 由解得 y 1 1 2k1 x 2 y 1 k2 x 2 从而点 N 的坐标为 4k1k2 4k1 2 2k1k2 1 2k1k2 4k2 1 2k1k2 1 用 k2代 k1 k1代 k2得点 M 的坐标为 4k1k2 4k2 2 2k1k2 1 2k1k2 4k1 1 2k1k2 1 11 分 所以 kMN 1 4 k1 k2 4 k2 k1 即直线 MN 的斜率为定值 1 14 分 当 CA CB DA DB 中 有直线的斜率不存在时 根据题设要求 至多有一条直线斜率不存在 故不妨设直线 CA 的斜率不存在 从而 C 2 1 仍然设 DA 的斜率为 k2 则由 知 kDB 1 2k2 此时 CA x 2 DB y 1 x 2 它们交点 M 2 1 1 2k2 2 k2 BC y 1 AD y 1 k2 x 2 它们交点 N 2 1 2 k2 从而 kMN 1 也成立 由 可知 直线 MN 的斜率为定值 1 16 分 南京三模 在平面直角坐标系 xOy 中 设中心在坐标原点的椭圆 C 的左 右焦点分别为 F1 F2 右准线 l x m 1 与 x 轴的交点为 B BF2 m 1 已知点 1 在椭圆 C 上 求实数 m 的值 2 已知定点 A 2 0 24 若椭圆 C 上存在点 T 使得 求椭圆 C 的离心率的取值范围 TA TF12 当 m 1 时 记 M 为椭圆 C 上的动点 直线 AM BM 分别与椭圆 C 交于另一点 P Q 若 求证 为定值 AM AP BM BQ 解 解 1 设椭圆 C 的方程为 1 a b 0 x2 a2 y2 b2 由题意 得 解得 a2 m 1 b2 m c 1 所以椭圆方程为 1 x2 m 1 y2 m 因为椭圆 C 过点 1 所以 1 3 2 m 1 1 m 解得 m 2 或 m 舍去 1 2 所以 m 2 4 分 2 设点 T x y 由 得 x 2 2 y2 2 x 1 2 y2 即 x2 y2 2 6 分 TA TF12 由 得 y2 m2 m 因此 0 m2 m m 解得 1 m 2 所以椭圆 C 的离心率 e 10 分 方法一 方法一 设 M x0 y0 P x1 y1 Q x2 y2 则 x0 2 y0 x1 2 y1 AM AP 由 得 AM AP x0 2 x1 2 y0 y 1 从而 12 分 x0 x 1 2 1 y0 y 1 因为 y02 1 所以 y1 2 1 x02 2 x 1 2 1 2 2 即 2 y12 2 1 x1 2 1 2 1 0 x12 2 因为 y12 1 代入得 2 1 x1 3 2 4 1 0 x12 2 x y A O B M P Q 第 18 题图 F2F1 l 25 由题意知 1 故 x1 所以 x0 3 1 2 3 2 同理可得 x0 14 分 3 2 因此 3 2 3 2 所以 6 16 分 方法二 方法二 设 M x0 y0 P x1 y1 Q x2 y2 直线 AM 的方程为 y x 2 y0 x0 2 将 y x 2 代入 y2 1 得 x0 2 2 y x2 4y x 4y x0 2 2 0 y0 x0 2 x2 2 1 2 2 0 2 0 2 0 因为 y02 1 所以 可化为 2x0 3 x2 4y x 3x 4x0 0 x02 2 2 0 2 0 因为 x0 x1 所以 x1 3x0 4 2x0 3 同理 x2 14 分 3x0 4 2x0 3 因为 AM AP BM BQ 所以 x0 2 x1 2 x0 2 x1 2 6 x0 2 2x0 3 x0 2 x0 2 2x0 3 x0 2 即 为定值 6 16 分 盐城三模 盐城三模 如图 在平面直角坐标系中 椭圆的离心率为 直xoy 22 22 1 0 xy Cab ab 6 3 线 与轴交于点 与椭圆交于 两点 当直线 垂直于轴且点为椭圆的右焦点时 lxECABlxEC 弦的长为 AB 2 6 3 1 求椭圆的方程 C 2 若点的坐标为 点在第一象限且横坐标为 连结点与原点的直线交椭圆E 3 0 2 A3AO 于另一点 求的面积 CPPAB 3 是否存在点 使得为定值 若存在 请指出点的坐标 并求出该定值 若不E 22 11 EAEB E 存在 请说明理由 y x B P A OEF1F2 第 18 题 26 解 1 由 设 则 6 3 c a 3 0 ak k 6ck 22 3bk 所以椭圆的方程为 因直线 垂直于轴且点为椭圆的右焦点 即C 22 22 1 93 xy kk lxEC 代入椭圆方程 解得 于是 即 6 AB xxk yk 2 6 2 3 k 6 3 k 所以椭圆的方程为 5 分C 22 1 62 xy 2 将代入 解得 因点在第一象限 从而 3x 22 1 62 xy 1y A 3 1 A 由点的坐标为 所以 直线的方程为 E 3 0 2 2 3 AB k PA 23 23 yx 联立直线与椭圆的方程 解得 PAC 37 55 B 又过原点 于是 所以直线的方程为 PAO 3 1 P 4PA PA30 xy 所以点到直线的距离 10BPA 37 3 55 3 3 25 h 13 36 3 4 255 PAB S 分 3 假设存在点 使得为定值 设 E 22 11 EAEB 0 0 E x 当直线与轴重合时 有 ABx 2 0 2222 22 0 00 1221111 6 6 6 x EAEBxxx 当直线与轴垂直时 ABx 2222 00 1126 6 2 1 6 xEAEBx 由 解得 2 0 222 00 1226 6 6 x xx 0 3x 2 0 6 2 6x 27 所以若存在点 此时 为定值 2 12E 3 0 E 22 11 EAEB 分 根据对称性 只需考虑直线过点 设 AB 3 0 E 11 A x y 22 B xy 又设直线的方程为 与椭圆联立方程组 AB3xmy C 化简得 所以 22 3 2 330mymy 12 2 2 3 3 m yy m 12 2 3 3 y y m 又 222222 22 111 11 1111 1 3 EAm yymyxy 所以 2 1212 222222222 1212 21111 1 1 1 yyy y EAEBmymymy y 将上述关系代入 化简可得 22 11 2 EAEB 综上所述 存在点 使得为定值 2 16 分 3 0 E 22 11 EAEB 第第 5656 课课综合应用 最值 范围 综合应用 最值 范围 1 已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点相同 则 22 1 5 xy m 2 12yx 此双曲线的渐近线方程为 苏锡常镇二模 已知为椭圆上的动点 为圆的一条直径 则A 22 1 95 xy MN 22 1 1xy 的最大值为 15AM AN 在平面直角坐标系中 已知椭圆 的离心率 直线xOyC 22 22 1 0 xy ab ab 1 2 e 过椭圆的右焦点 且交椭圆于 两点 10 l xmym RCFCAB 1 求椭圆的标准方程 C 2 已知点 连结 过点作垂直于轴的直线 设直线与直线交于点 试探索 5 0 2 DBDAy 1 l 1 lBDP 当变化时 是否存在一条定直线 使得点恒在直线上 若存在 请求出直线的方程 若m 2 lP 2 l 2 l 不存在 请说明理由 18 解 1 由题设 得解得从而 1 1 2 c c a 1 2 c a 222 3bac 5 2 yx 28 所以椭圆的标准方程为 4 分C 22 1 43 xy 2 令 则 或者 0m 3 1 2 A 3 1 2 B 3 1 2 A 3 1 2 B 当 时 当 时 3 1 2 A 3 1 2 B 3 4 2 P 3 1 2 A 3 1 2 B 3 4 2 P 所以 满足题意的定直线只能是 6 分 2 l4x 下面证明点恒在直线上 P4x 设 由于垂直于轴 所以点的纵坐标为 从而只要证明在 11 A xy 22 B xy PAyP 1 y 1 4 Py 直线上 8 分BD 由得 22 10 1 43 xmy yx 22 43 690mymy 2 144 1 0mD 10 分 12 2 6 43 m yy m 12 2 9 43 y y m 13 分 212 2121 222 33 00 22 555333 41 222222 DBDP yy my yyyy kk xmymy 1212 2 2 3 3 2 yymy y my 式代入上式 得 所以 15 分0 DBDP kk DBDP kk 点恒在直线上 从而直线 直线与直线三线恒过同一点 1 4 Py BD 1 lBD 2 4lx P 所以存在一条定直线 使得点恒在直线上 16 分 2 l4x P 2 l 镇江期末 镇江期末 已知椭圆的右焦点 离心率为 过作两条互相垂直 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 0 1 F 2 2 F 的弦 设 的中点分别为 ABCDABCDMN 1 求椭圆的方程 2 证明 直线必过定点 并求出此定点坐标 MN 3 若弦 的斜率均存在 求面积的最大值 ABCDFMN 解 1 由题意 则 3 分分1c 2 2 c a 2a 1b 椭圆的方程为 4 分分 2 2 1 2 x y 2 斜率均存在 设直线方程为 ABCDAB 1 yk x A y x B O D C M N F 29 11 A x y 22 B xy 1212 1 22 xxxx Mk 得 5 分分 22 1 220 yk x xy 2222 12 4220kxk xk 故 6 分分 2 12 2 2 12 2 4 12 22 12 k xx k k x x k 2 22 2 1212 kk M kk 将上式中的换成 则同理可得 8 分分k 1 k 22 2 22 k N kk 如 得 则直线斜率不存在 2 22 22 122 k kk 1k MN 此时直线过点 下证动直线过定点 9 分分MN 2 0 3 MN 2 0 3 P 法一 法一 若直线斜率存在 则 MN 2 22 242 22 33 3 122 222221 122 MN kk kkk kk k kkk kk 直线为 11 分分MN 222 32 2212 kk yx kkk 令 得 0y 22 222 2212312 232323 kk x kkk 又当 斜率有一个不存在时 也过点 ABCD 2 0 3 所以 直线过定点 12 分分MN 2 0 3 法二 法二 动直线最多过一个定点 由对称性可知 定点必在轴上 MNx 设与轴交点为 下证动直线过定点 2 3 x x 2 0 3 PMN 2 0 3 P 当1k 时 PM k 10 分分 2 22 2 3 12 2221 123 k k k kk k 同理将上式中的换成 可得 11 分分k 1 k 2 2 1 33 122 1 1 PN k k k k k 则 PMPN kk 直线过定点 MN 2 0 3 P 又当 斜率有一个不存在时 也过点 ABCD 2 0 3 所以 直线过定点 12 分分MN 2 0 3 3 由第 2 问可知直线过定点 MN 2 0 3 P 30 故 S FMN S FPM S FPN 22 1111 23 223 12 kk kk 13 分分 22 2242 1 33 1 1 6 2 12 2252 kkkk kkkk 2 2 1 1 2 2 25 k k k k 令 S FMN 14 分分 1 2 tk k 2 1 22 2 5 t f t t 2 1 221 t t 则在单调递减 15 分分 2 22 1 12 0 2 21 t ft t f t 2 t 当时取得最大值 此时 S FMN取得最大值 此时 16 分分2t f t 1 9 1k 说明说明 本题原创本题原创 考查椭圆的标准方程 椭圆的几何性质 考查函数最值 定点定值问题题型 考查考查椭圆的标准方程 椭圆的几何性质 考查函数最值 定点定值问题题型 考查 变量代换法 函数思想 分类讨论思想 一般与特殊思想 考查运算能力 演绎论证 分析法证明 能变量代换法 函数思想 分类讨论思想 一般与特殊思想