结晶学与矿物学课件-03-晶体宏观对称 (3)

1,第四章 晶体的宏观对称 (macroscopic symmetry of crystal),4-1. 对称的概念4-2. 晶体的对称操作与对称要素4-3. 对称要素的组合规律4-4. 晶体的对称分类,结晶学与矿物学,2,4-1.对称的概念 (symmetry),第四章 晶体的宏观对称,3,4-1.对称的概念 (symmetry),第四章 晶体的宏观对称,4,4-1.对称的概念 (symmetry),对称是自然界和日常生活习见的现象对称性是晶体的基本性质之一一切晶体都是对称的晶体的对称性首先最直观地表现在它们的几何多面体外形上对称性也表现在其他方面的宏观性质上不同晶体的对称性往往又是互有差异的, 可以根据晶体对称特点上差异来对晶体进行科学的分类在本章中我们将只限于讨论晶体在宏观范畴内所表现的对称性，即晶体的宏观对称。,第四章 晶体的宏观对称,5,对称 (symmetry)：物体(或图形)中相同部分之间有规律重复。对称变换 (symmetry conversion): 亦称对称操作(symmetry operation)，指：能够使对称物体(或图形)中的各个相同部分，作有规律重复的变换动作。对称要素 (symmetry element)：在进行对称变换时所凭借的几何要素点、线、面等。,第四章 晶体的宏观对称,4-1.对称的概念 (symmetry),6,4-1.对称的概念 (symmetry),第四章 晶体的宏观对称,7,4-1.对称的概念 (symmetry),第四章 晶体的宏观对称,8,4-2. 晶体的对称要素 (Symmetry element),对称要素的种类及其相应的对称变换对称面 (symmetry plane) P对称轴 (symmetry axis) Ln对称中心 (center of symmetry) C倒转轴 (rota-inversion axis) Lin映转轴 (rota-reflection axis) Lsn,第四章 晶体的宏观对称,9,将物体（图形）平分为互为镜象的两个相同部分的假想平面,(1) 对称面 (symmetry plane) P,第四章 晶体的宏观对称,4-2. 晶体的对称要素 (symmetry element),10,对称操作：通过此平面的反映,标志：两部分上对应点的连线是否与 对称面垂直平分,垂直并平分晶面 垂直晶棱并通过它的中心 包含晶棱,可能出现的位置：,数目：0 P 9,第四章 晶体的宏观对称,(1) 对称面 (symmetry plane) P,11,定义：通过晶体几何中心的一根假想直线,对称操作：是围绕此直线的旋转,特征：当图形围绕此直线旋转一定角度后，可使相同部分重复,第四章 晶体的宏观对称,4-2. 晶体的对称要素 (symmetry element),2）对称轴 (symmetry axis),12,13,对称轴轴次(n)的确定: n = 360/a其中a叫做基转角, 是物体(图形)旋转一周能够复原的最小角度; 轴次n必为正整数; 晶体对称定律 (law of crystal symmetry) 在晶体中，只可能出现轴次为一次、二次、三次、四次和六次的对称轴，而不可能存在五次及高于六次的对称轴。,第四章 晶体的宏观对称,4-2. 晶体的对称要素 (symmetry element),2）对称轴 (symmetry axis) （Ln，L1、L2、L3、L4、L6）,14,由于晶体是具有格子构造的固体物质，这种质点格子状的分布特点决定了晶体的对称轴只有n = 1, 2, 3, 4, 6这五种，不可能出现n= 5，n6的情况。,1、直观形象的理解： 垂直五次及高于六次的对称轴的平面结构不能构成面网，且不能毫无间隙地铺满整个空间, 即不能成为晶体结构。,第四章 晶体的宏观对称,2）对称轴 (symmetry axis),15,16,2、数学的证明方法为：t = mtt= 2tsin(-90)+ t = -2tcos + t所以，mt = -2tcos + t 2cos = 1- m cos = (1 - m) / 2 -2 1 - m 2 m = -1, 0, 1, 2, 3相应的 0 或 2 ， /3, /2， 2 /3, ,t,t,t,t,第四章 晶体的宏观对称,2）对称轴 (symmetry axis),L1、 L6、L4、 L3、 L2,对称轴轴次：,17,A. 过一对平行晶面的中心 B. 过一对晶棱的中心 C. 相对两角顶的连线 D. 角顶、晶面中心和棱中点任意两个的连线,数目,0 L2 6,0 L3 4,0 L4 3,0 L6 1,对称轴可能出现的位置为,第四章 晶体的宏观对称,2）对称轴 (symmetry axis),18,3）对称中心 Symmetry center (C),4-2. 晶体的对称要素 (symmetry element),第四章 晶体的宏观对称,定 义：位于晶体几何中心的一个假想的点,特 点：晶体任一点过中心，反向等距离延伸可重复。晶体若有对称中心，则必然有一对晶面反向平行，同形等大。,对称操作：是对此点的反伸,19,第四章 晶体的宏观对称,4-2. 晶体的对称要素 (symmetry element),20,A,A,B,B,C,C,O,D,D,对称中心：晶面成对反向平行,第四章 晶体的宏观对称,4-2. 晶体的对称要素 (symmetry element),21,4）旋转反伸轴 Rotainversion axis (Lin),第四章 晶体的宏观对称,4-2. 晶体的对称要素 (symmetry element),定义：一根过晶体几何中心假想的直线和直线上的一点对称操作：围绕此直线的旋转和对此直线上的一个点反伸 的复合操作,假象直线，旋转反伸 复合动作旋转反伸轴包括：Li1、Li2、Li3、Li4、Li6,22,第四章 晶体的宏观对称,4）旋转反伸轴 Rotainversion axis (Lin),23,第四章 晶体的宏观对称,4-2. 晶体的对称要素 (symmetry element),24,注意：（1）除Li4，其余均可以用简单对称要素代替； Li1C ; Li2P; Li3L3+C; Li6L3+P（2）保留Li4（无法用简单要素替代） 和Li6（有分类意义）。（3）晶体上有Li4的方向, 也包含L2, 无对称中心。,第四章 晶体的宏观对称,4-2. 晶体的对称要素 (symmetry element),25,宏观晶体的对称要素,第四章 晶体的宏观对称,4-2. 晶体的对称要素 (symmetry element),26,4-3. 对称要素的组合规律 (symmetry element combination law ),第四章 晶体的宏观对称,1. 对称要素组合不是任意的，必须符合对称要素的组合定律；2. 当对称要素共存时，也可导出新的对称要素。,欧拉定律：任意两个对称要素组合，必然要产生第三个对称要素,27,定 理1：LnL2LnnL2 (L2与L2的夹角是Ln基转角的一半)逆定理： L2与L2相交，在其交点且垂直两L2会产生Ln，其基转角是两L2夹角的两倍。并导出其他n个在垂直Ln平面内的L2。 例如: L4L2L44L2 , L3L2L33L2,第四章 晶体的宏观对称,4-3. 对称要素的组合规律,28,定 理2：Ln P LnP C (n为偶数)逆定理： Ln C LnP C (n为偶数) P C LnP C (n为偶数)这一定理说明了L2、P、C三者中任两个可以产生第三者。偶次轴都包含L2 。,第四章 晶体的宏观对称,4-3. 对称要素的组合规律,29,定理3：Ln P/ LnnP/（P与P夹角为Ln基转角的一半）；逆定理：两个P 相交，其交线必为一Ln，其基转角为P夹角 的两倍，并导出其他n个包含Ln的P。,第四章 晶体的宏观对称,4-3. 对称要素的组合规律,定理4：Lin P/ =Lin L2 Linn/2 L2 n/2 P/ （n为偶数） Linn L2 nP/（n为奇数）,30,4-3. 对称要素的组合规律,定理 1 ：Ln P| Ln n P定理 2 ：Ln L2 Ln nL2定理 3：Ln P = Ln C Ln P C (n =偶数)定理 4：Lni P| = Lni L2 Ln i n/2L2 n/2P (n =偶数) Lni P| Linn L2 nP/（n为奇数）,第四章 晶体的宏观对称,31,4-4. 对称型(点群)及其推导,什么是点群 (point group)?在晶体形态中，全部对称要素相交于一点（晶体中心），在进行对称操作时有一点不动，所以称为点群。,对称型 (class of symmetry)? 对称型是宏观晶体中所有对称要素的集合。,第四章 晶体的宏观对称,32,4-4. 对称型(点群)及其推导,有多少种点群? 32种,如何得到的? 数学方法推导,如何用符号表达? 习惯符号 国际符号 圣佛利斯(Schoenflies)符号,参见教材: P36 表4-4 P38 表4-5,第四章 晶体的宏观对称,33,为推导方便，分A类（只一个高次轴）和 B类（多个高次轴） A类推导分七种情况： 第一种情况：对称轴单独存在； 第二种情况：对称轴与垂直二次轴的组合； 第三种情况：对称轴与垂直对称面的组合； 第四种情况：对称轴与平行对称面的组合； 第五种情况：对称轴与垂直二次轴及平行 对称面的组合； 第六种情况：旋转反伸轴单独存在； 第七种情况：对旋转反伸轴与垂直二次轴(平行 对称面)的组合； B类推导复杂，参见 P35,第四章 晶体的宏观对称,4-5. 晶体的对称分类 (classification of crystal symmetry),34,第四章 晶体的宏观对称 .,P33 表42,4-4. 对称型(点群)及其推导,c,35,4-5. 晶体的对称分类 (classification of crystal symmetry),晶族(crystal category)的划分根据高次轴的有无及多少而将晶体划分为三个晶族高级晶族 (higher category)中级晶族 (intermediate category)低级晶族 (lower category),问题:什么是高次轴?最多有多少高次轴?,第四章 晶体的宏观对称,36,晶系(crystal system)的划分根据对称轴或倒转轴轴次的高低以及它们数目的多少，总共划分为如下七个晶系, 分属于三个晶族等轴晶系 (isometric system), 又称立方晶系(cubic system)六方晶系 (hexagonal system)四方晶系 (tetragonal system)三方晶系 (trigonal system)正交晶系 (orthorhombic system), 亦称斜方晶系单斜晶系 (monclinic system)三斜晶系 (triclinic system),参见教材: P35 表3-4,第四章 晶体的宏观对称,4-5. 晶体的对称分类 (classification of crystal symmetry),37,P38 表4-5,第四章 晶体的宏观对称,4-5. 晶体的对称分类,38,第四章 晶体的宏观对称,4-5. 晶体