12.3角平分线的性质1

12 3角平分线的性质 知识回顾 三角形全等的判定条件 SSS SAS ASA AAS 2 HL 直角三角形全等用 书写全等式时要求 字母位置对应 复习提问 1 角平分线的概念 一条射线 把一个角 分成两个相等的角 这条射线叫做这个角的平分线 2 点到直线距离 从直线外一点 到这条直线的垂线段 的长度 叫做点到直线的距离 不利用工具 请你将一张用纸片做的角分成两个相等的角 你有什么办法 再打开纸片 看看折痕与这个角有何关系 对折 如果把纸片换成木板 钢板等没法折的角 又该怎么办呢 如图 是一个平分角的仪器 其中AB AD CB CD 将点A放在角的顶点 AB和AD沿着角的两边放下 沿AC画一条射线AE AE就是角的平分线 你能说明它的道理吗 A B C D E 1 2 探究 证明 在 ACD和 ACB中AD ABDC BCCA CA ACD ACB SSS CAD CAB AC平分 DAB 经过上面的探索 你能得到作已知角的平分线的方法吗 小组内互相交流一下吧 尺规作角的平分线 观察领悟作法 探索思考证明方法 A 画法 以 为圆心 适当长为半径作弧 交 于 交 于 分别以 为圆心 大于1 2 的长为半径作弧 两弧在 的内部交于 作射线 射线 即为所求 探究与发现 作已知角的平分线 练习 平分平角 AOB归纳 过直线上一点作这条直线的垂线 的方法 课堂练习 探究角平分线的性质 1 实验 将 AOB对折 再折出一个直角三角形 使第一条折痕为斜边 然后展开 观察两次折叠形成的三条折痕 你能得出什么结论 2 结论 角的平分线上的点到角的两边的距离相等 P 已知 OC是 AOB的平分线 点P在OC上 PD OA PE OB 垂足分别是D E 求证 PD PE 证明 PD OA PE OB PDO PEO 90 在 PDO和 PEO中 PD PE PDO PEO AOC BOCOP OP PDO PEO AAS 角平分线上的点到角的两边的距离相等 用符号语言表示为 1 2PD OA PE OB PD PE 角平分线的性质 推理的理由有三个 必须写完全 不能少了任何一个 角平分线的性质 角的平分线上的点到角的两边的距离相等 定理应用所具备的条件 定理的作用 证明线段相等 BM是 ABC的角平分线 点P在BM上 PD PE 同理 PE PF PD PE PF 即点P到三边AB BC CA的距离相等 证明 过点P作PD AB于D PE BC于E PF AC于F 如图 ABC的角平分线BM CN相交于点P求证 点P到三边AB BC CA的距离相等 P M N 想一想 点P在 A的平分线上吗 这说明三角形的三条角平分线有什么关系 结论 三角形的三条角平分线交于一点 并且这点到三边的距离相等 如图 AD平分 BAC 已知 角的平分线上的点到角的两边的距离相等 BDCD 判断 课堂练习 DC AC DB AB 已知 角的平分线上的点到角的两边的距离相等 BDCD 判断 课堂练习 AD平分 BAC DC AC DB AB 已知 角的平分线上的点到角的两边的距离相等 不必再证全等 判断 课堂练习 OC是 AOB的平分线 又 PD PE PD OA PE OB 角的平分线上的点到角的两边的距离相等 课堂练习 如图 DE A