牡丹江师范学院教案教研室应用数学教研室教师姓名赵宝江授课

牡丹江师范学院教案教研室：应用数学教研室 教师姓名：赵宝江 授课时间:课程名称数学模型授课专业和班级授课内容第六章 图论实验6.1 图论的基本概念6.2 最短路算法授课学时2学时教学目的了解图论的基本概念，掌握Dijkstra算法教学重点关联矩阵、联接矩阵、Dijkstra算法教学难点Dijkstra算法教具和媒体使用PPT 黑板教学方法讲授法 练习法教学过程包括复习旧课、引入新课、重点难点讲授、作业和习题布置、问题讨论、归纳总结及课后辅导等内容时间分配(90分钟)一：简介图论二：新课1图的概念，引入简单介绍图、关联函数、顶点、边集、顶点集等概念，为以后的理解进行铺垫。 2图的矩阵表示，介绍关联矩阵和邻接矩阵作为处理图问题的基本工具 3 重点讲授Dijkstra算法，让学生理解并掌握基本思想，并会用其解决问题，辅以例题进行说明。三：小结107010板书设计一、 图的概念1图的定义 2顶点的次数二、图的矩阵表示1关联矩阵 2邻接矩阵三、Dijkstra算法1 基本概念 2 固定起点的最短路Dijkstra算法 3例题讲授新拓展内容课后总结教研室主任签字 年 月 日讲 授 内 容备注一、 图 的 概 念1、图的定义有序三元组G=(V，E，)称为一个图.1 V=是有穷非空集，称为顶点集， 其中的元素叫图G的顶点. 2 E称为边集，其中的元素叫图G的边.3 是从边集E到顶点集V中的有序或无序的元素 偶对的集合的映射，称为关联函数.例1 设G=(V,E,)，其中 V=v1 ,v2 , v3 , v4， E=e1, e2 , e3, e4, e5,.G的图解如图.二、 图 的 矩 阵 表 示1、 关联矩阵对无向图，其关联矩阵，其中： M=对有向图，其关联矩阵，其中：2、 邻接矩阵对无向图，其邻接矩阵，其中：注：假设图为简单图 A=对有向图（，），其邻接矩阵，其中：对有向赋权图，其邻接矩阵，其中：无向赋权图的邻接矩阵可类似定义 A=三、Dijkstra算法 1 基 本 概 念定义 在无向图G=(V,E,)中：（） 顶点与边相互交错且 (i=1,2,k)的有限非空序列称为一条从到的通路，记为（） 边不重复但顶点可重复的通路称为道路，记为（） 边与顶点均不重复的通路称为路径，记为 通路道路路径定义（1）设P(u,v)是赋权图G中从u到v的路径， 则称为路径P的权（2）在赋权图G中，从顶点u到顶点v的具有最小权的路 ，称为u到v的最短路2 固 定 起 点 的 最 短 路最短路是一条路径，且最短路的任一段也是最短路假设在u0-v0的最短路中只取一条，则从u0到其余顶点的最短路将构成一棵以u0为根的树因此, 可采用树生长的过程来求指定顶点到其余顶点的最短路Dijkstra算法：求G中从顶点u0到其余顶点的最短路设G为赋权有向图或无向图，G边上的权均非负对每个顶点，定义两个标记（，），其中: ：表从顶点u0到v的一条路的权 ：v的父亲点，用以确定最短路的路线算法的过程就是在每一步改进这两个标记，使最终为从顶点u0到v的最短路的权S：具有永久标号的顶点集输入: G的带权邻接矩阵算法步骤：（）赋初值：令 S, =0 ,令=,= （2）更新、： ,若 则令=,= （3）设是使取最小值的中的顶点，则令S=S， （4） 若，转2，否则，停止.用上述算法求出的就是到的最短路的权，从的父亲标记追溯到, 就得到到的最短路的路线.例 求下图从顶点u1到其余顶点的最短路先写出带权邻接矩阵： 因G是无向图，故W是对称阵参考文献：1 萧树铁. 数学实验. 高等教育出版社2赵静等. 数学建模与数学实验（第2版）.高等教育出版社. 3 朱道元等. 数学建模案例精选. 科学出版社.4刘来福等. 数学模型与实验. 北京师范大学出版社5 姜启源, 何青等. 数学实验. 高等教育出版社牡丹江师范学院教案教研室：应用数学教研室 教师姓名：赵宝江 授课时间: 课程名称数学模型授课专业和班级授课内容6.2 最短路算法实验 选址问题（中心问题）授课学时2学时教学目的掌握用Floyd算法求每对顶点之间的最短路算法及其应用教学重点Floyd算法及其应用教学难点Floyd算法的应用教具和媒体使用黑板和PPT教学方法启发式 讲授法 练习法 讨论法教学过程包括复习旧课、引入新课、重点难点讲授、作业和习题布置、问题讨论、归纳总结及课后辅导等内容时间分配(90分钟)一 复习二 新课1、练习Floyd算法（以分组讨论的形式进行）2、Floyd算法的matlab实现 主要让学生领会循环的思想，处理的手段和怎样联系到实例 3、综合应用 应用所学的算法解决实际问题，分组讨论三 小结 10705板书设计一 练习二 Floyd算法的matlab实现三 综合应用讲授新拓展内容课后总结教研室主任签字 年 月 日讲 授 内 容备注一 练习：求任一两点间的距离与路径（写出矩阵形式） 二Floyd算法的matlab实现n=size(a,1);D=a;path=zeros(n,n);for i=1:n for j=1:n if D(i,j)=inf path(i,j)=j; %j是i的后续点 end endendfor k=1:n for i=1:n for j=1:n if D(i,j)D(i,k)+D(k,j) D(i,j)=D(i,k)+D(k,j); path(i,j)=path(i,k); end end endendp=sp;mp=sp;for k=1:n if mp=ep d=path(mp,ep); p=p,d; mp=d; endendd=D(sp,ep);path=p;三 综合应用（中心选址问题）1.某城市要建立一个消防站，为该市所属的七个区服务，如图所示问应设在那个区，才能使它至最远区的路径最短解：（1）用Floyd算法求出距离矩阵D=（2）计算在各点设立服务设施的最大服务距离 （3）求出顶点，使则就是要求的建立消防站的地点此点称为图的中心点S(v1)=10, S(v2)=7, S(v3)=6, S(v4)=8.5, S(v5)=7, S(v6)=7, S(v7)=8.5S(v3)=6,故应将消防站设在v3处。 算法：a=0 3 inf inf inf inf inf;3 0 2 inf 18 2.5 inf;inf 2 0 6 2 inf inf;inf inf 6 0 3 inf inf;inf 18 2 3 0 4 inf;inf 2.5 inf inf 4 0 1.5;inf inf inf inf inf 1.5 0;D,R=floyd(a)参考文献：1 萧树铁. 数学实验. 高等教育出版社2赵静等. 数学建模与数学实验（第2版）.高等教育出版社. 3 朱道元等. 数学建模案例精选. 科学出版社.4刘来福等. 数学模型与实验. 北京师范大学出版社5 姜启源, 何青等. 数学实验. 高等教育出版社牡丹江师范学院教案教研室：应用数学教研室 教师姓名：赵宝江 授课时间: 课程名称数学模型授课专业和班级授课内容6.2 最短路算法实验 设备更新问题授课学时2学时教学目的掌握Dijkstra和floyd算法的的matlab实现过程教学重点算法的基本思想和主题的实现过程教学难点算法的基本思想教具和媒体使用PPT和黑板教学方法讲练结合教学过程包括复习旧课、引入新课、重点难点讲授、作业和习题布置、问题讨论、归纳总结及课后辅导等内容时间分配(90分钟)一：复习 两种算法基本原理二：新课1、基于matlab Dijkstra算法（强调程序的主题实现过程）2、基于matlab的floyd算法（强调程序的主题实现过程）3、练习三：小结与答疑和作业107010板书设计讲授新拓展内容课后总结教研室主任签字 年 月 日92讲 授 内 容备注1、基于matlab Dijkstra算法的实现一般模式：function l,z=Dijkstra(W)w=n = size (W,1);for i = 1 :n l(i)=W(1,i); z(i)=1;end i=1;while il(j)+W(j,i) l(i)=l(j)+W(j,i); z(i)=j;if jD(i,k)+D(k,j) D(i,j)=D(i,k)+D(k,j); path(i,j)=path(i,k); end end endendp=sp;mp=sp;for k=1:n if mp=ep d=path(mp,ep); p=p,d; mp=d; endendd=D(sp,ep);path=p;实验：如图，有一批货物要从v1运到v9，弧旁数字表示该段路长，求最短运输路线。v1v9v5v4v8v7v6v3v23333342.55222140答案：v1v9v8v7v6v5v4v3v23333342.552221403467568.594、作业（任选其一）1. 下表为某工程的全部工序以及工序时间与 紧前工序，工 序ABCDEFGHIJK工序时间（天）247310243232紧前工序/AAABC,D,KE,FDHG,IB请完成以下问题：1）. 给出工程网络图；2）. 计算完成整个工程至少需要多少天（总工期）。（给出计算方法或简洁的计算过程）3）. 请问不误总工期的前提下，工程H可否延