二轴对称提高练习及解析.docx

轴对称拓展提高题一解答题（共40小题）1（长春模拟）如图，ADBC，BE平分ABC交AD于点E，若AB=4，求AE长【解答】解：ADBC， AEB=EBC，BE平分ABC，ABE=CBE，ABE=AEB，AB=AE，AB=4， AE=42（饶平模拟）已知：在AOB和COD中，OA=OB，OC=OD（1）如图，若AOB=COD=60，求证：AC=BD APB=60（2）如图，若AOB=COD=，则AC与BD间的等量关系式为 ，APB的大小为（直接写出结果，不证明）【解答】解：（1）证明：AOB=COD=60，AOB+BOC=COD+BOC，AOC=BOD在AOC和BOD中，AOCBOD（SAS）， AC=BD；证明：AOCBOD，OAC=OBD，OAC+AOB=OBD+APB，OAC+60=OBD+APB，APB=60；（2）AC=BD，APB=3（房山一模）已知：等边三角形ABC（1）如图1，P为等边ABC外一点，且BPC=120试猜想线段BP、PC、AP之间的数量关系，并证明你的猜想；（2）如图2，P为等边ABC内一点，且APD=120求证：PA+PD+PCBD 【解答】（1）猜想：AP=BP+PC证明：延长BP至E，使PE=PC，连接CE，BPC=120，CPE=60，又PE=PC，CPE为等边三角形，CP=PE=CE，PCE=60，ABC为等边三角形，AC=BC，BCA=60，ACB=PCE， ACB+BCP=PCE+BCP，即：ACP=BCE， ACPBCE（SAS），AP=BE，BE=BP+PE， AP=BP+PC（2）证明：在AD外侧作等边ABD，则点P在三角形ADB外，连接PB，BC，APD=120由（1）得PB=AP+PD，在PBC中，有PB+PCCB，PA+PD+PCCB，ABD、ABC是等边三角形，AC=AB，AB=AD，BAC=DAB=60，BAC+CAD=DAB+CAD，即：BAD=CAB，ABCADB，CB=BD， PA+PD+PCBD4（安徽模拟）在等边三角形ABC中，D、E分别在边BC、AC上，DC=AE，AD、BE交于点F，（1）请你量一量BFD的度数，并证明你的结论；（2）若D、E分别在边BC、CA的延长线上，其它条件不变，（1）中的结论是否成立，请画图证明你的结论【解答】解：（1）BFD=60在等边三角形ABC与三角形CDA中，AB=AC，BAE=C=60，AE=CD，AEBCDAAEB=CDA，又DAC+ADC=180C=120，AEB+DAC=120，AFE=BFD=60（2）BAC=ACB=60，EAB=ACD=120，在ABE和ACD中， ABEACD，E=D，EAF=CAD，CAD+D=60，EAF+E=60，BFD=605（黑龙江模拟）等边ABC，点D是直线BC上一点，以AD为边在AD的右侧作等边ADE，连接CE（1）如图1，若点D在线段BC上，求证：CE+CD=AB；（2）如图2，若点D在CB的延长线上，线段CE，CD，AB的数量有怎样的数量关系？请加以证明【解答】证明：（1）如图1，ADE与ABC都是等边三角形，AC=AB，AE=AD，DAE=BAC=60DAECAD=BACCAD即CAE=BAD在CAE和BAD中，CAEBAD（SAS）EC=DB（全等三角形的对应边相等）；CE+CD=DB+CD=BC=AB，即CE+CD=AB；（2）CE+CD=AB；理由如下：如图2，ADE与ABC都是等边三角形，AC=AB，AE=AD，DAE=BAC=60DAEBAE=BACBAE即CAE=BAD在CAE和BAD中，CAEBAD（SAS）EC=DB（全等三角形的对应边相等）；CE+AB=DB+BC=CD，即CE+AB=CD6（安徽模拟）如图，D是等边ABC的边AB上一点，E是BC延长线上一点，CE=DA，连接DE交AC于F，过D点作DGAC于G点证明下列结论：（1）AG=AD； （2）DF=EF； （3）SDGF=SADG+SECF【解答】证明：（1）ABC是等边三角形，A=60，DGAC，AGD=90，ADG=30，AG=AD；（2）过点D作DHBC交AC于点H，ADH=B，AHD=ACB，FDH=E，ABC是等边三角形，B=ACB=A=60，A=ADH=AHD=60，ADH是等边三角形，DH=AD，AD=CE，DH=CE，在DHF和ECF中，DHFECF（AAS），DF=EF；（3）ABC是等边三角形，DGAC，AG=GH，SADG=SHDG，DHFECF，SDHF=SECF，SDGF=SDGH+SDHF=SADG+SECF7（丹东）如图，已知等边三角形ABC中，点D，E，F分别为边AB，AC，BC的中点，M为直线BC上一动点，DMN为等边三角形（点M的位置改变时，DMN也随之整体移动）（1）如图1，当点M在点B左侧时，请你判断EN与MF有怎样的数量关系？点F是否在直线NE上？都请直接写出结论，不必证明或说明理由；（2）如图2，当点M在BC上时，其它条件不变，（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立？若成立，请利用图2证明；若不成立，请说明理由；（3）若点M在点C右侧时，请你在图3中画出相应的图形，并判断（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立？若成立，请直接写出结论，不必证明或说明理由【解答】解：（1）判断：EN与MF相等（或EN=MF），点F在直线NE上，（2）成立连接DF，NF，证明DBM和DFN全等（AAS），ABC是等边三角形，AB=AC=BC又D，E，F是三边的中点，EF=DF=BFBDM+MDF=60，FDN+MDF=60，BDM=FDN，在DBM和DFN中，DBMDFN，BM=FN，DFN=FDB=60，NFBD，E，F分别为边AC，BC的中点，EF是ABC的中位线，EFBD，F在直线NE上，BF=EF，MF=EN（3）如图，MF与EN相等的结论仍然成立（或MF=NE成立）连接DF、DE，由（2）知DE=DF，NDE=FDM，DN=DM，在DNE和DMF中，DNEDMF，MF=NE 8（无锡）（1）已知ABC中，A=90，B=67.5，请画一条直线，把这个三角形分割成两个等腰三角形（请你选用下面给出的备用图，把所有不同的分割方法都画出来只需画图，不必说明理由，但要在图中标出相等两角的度数）（2）已知ABC中，C是其最小的内角，过顶点B的一条直线把这个三角形分割成了两个等腰三角形，请探求ABC与C之间的关系【解答】解：（1）如图（共有2种不同的分割法）（2）设ABC=y，C=x，过点B的直线交边AC于D在DBC中，若C是顶角，如图1，则CBD=CDB=90x，A=180xy而ADB90，此时只能有A=ABD，即180xy=y（90x）即3x+4y=540，即ABC=135C；若C是底角，第一种情况：如图2，当DB=DC时，则DBC=x，ABD中，ADB=2x，ABD=yx由AB=AD，得2x=yx，此时有y=3x，即ABC=3C由AB=BD，得180xy=2x，此时3x+y=180，即ABC=1803C由AD=BD，得180xy=yx，此时y=90，即ABC=90，C为小于45的任意锐角第二种情况，如图3，当BD=BC时，BDC=x，ADB=180x90，此时只能有AD=BD，从而A=ABD=CC，这与题设C是最小角矛盾当C是底角时，BD=BC不成立综上，ABC与C之间的关系是：ABC=135C或ABC=1803C或ABC=3C或ABC=90，C是小于45的任意角. 9（太原）数学课上，同学们探究下面命题的正确性：顶角为36的等腰三角形具有一种特性，即经过它某一顶点的一条直线可把它分成两个小等腰三角形为此，请你解答问题（1）（1）已知：如图，在ABC中，AB=AC，A=36，直线BD平分ABC交AC于点D求证：ABD与DBC都是等腰三角形；（2）在证明了该命题后，小乔发现：下面两个等腰三角形如图、也具有这种特性请你在图、图中分别画出一条直线，把它们分成两个小等腰三角形，并在图中标出所有等腰三角形两个底角的度数；（3）接着，小乔又发现：其它一些非等腰三角形也具有这样的特性，即过它其中一个顶点画一条直线可以将原三角形分成两个小等腰三角形请你画出两个不同类型且具有这种特性的三角形的示意图，并在图中标出可能的各内角的度数（说明：要求画出的两个三角形不相似，且不是等腰三角形）（4）请你写出两个符合（3）中一般规律的非等腰三角形的特征【解答】（1）证明：在ABC中，AB=AC，ABC=C，A=36，ABC=C=（180A）=72，（1分）BD平分ABC，1=2=363=1+A=72，1=A，3=C，AD=BD，BD=BC，ABD与BDC都是等腰三角形（2）解：如下图所示：（3）解：如图所示：（4）解：特征一：直角三角形（直角边不等）；特征二：2倍内角关系，在ABC中，A=2B，0B45，其中，B30；10（郴州）如图，在ABC中，AB=AC，D是BC上任意一点，过D分别向AB，AC引垂线，垂足分别为E，F，CG是AB边上的高（1）DE，DF，CG的长之间存在着怎样的等量关系？并加以证明；（2）若D在底边的延长线上，（1）中的结论还成立吗？若不成立，又存在怎样的关系？请说明理由 【解答】解：（1）DE+DF=CG证明：连接AD，则SABC=SABD+SACD，即ABCG=ABDE+ACDF，AB=AC，CG=DE+DF（2）当点D在BC延长线上时，（1）中的结论不成立，但有DEDF=CG理由：连接AD，则SABD=SABC+SACD，即ABDE=ABCG+ACDFAB=AC，DE=CG+DF，即DEDF=CG同理当D点在CB的延长线上时，则有DFDE=CG，说明方法同上11（西岗区）如图，以ABC的边AB、AC为直角边向外作等腰直角ABE和ACD，M是BC的中点，请你探究线段DE与AM之间的关系说明：（1）如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路写出来（要求至少写3步）；（2）在你经历说明（1）的过程之后，可以从下列、中选取一个补充或更换已知条件，完成你的证明画出将ACM绕某一点顺时针旋转180后的图形；BAC=90（如图）附加题：如图，若以ABC的边AB、AC为直角边，向内作等腰直角ABE和ACD，其它条件不变，试探究线段DE与AM之间的关系【解答】解：（1）分三种情况；当BAC=90，M是BC的中点AM=BM=MC= EAD=BAC=90，AE=AB，AC=AD ABCAEDED=BCED=2AM当BAC90，易得ED=2AM当BAC90，易得ED=2AM（2）已知（1）的结论，若BAC=90，可得ED=2AM附加：结合上题可得：2AM=DE延长CA到F使AF=AC，连接BF易证ABFADEBF=DE 2AM=BF 2AM=DE12（大连）如图1，RtABC中AB=AC，点D、E是线段AC上两动点，且AD=EC，AM垂直BD，垂足为M，AM的延长线交BC于点N，直线BD与直线NE相交于点F试判断DEF的形状，并加以证明说明：（1）如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路写出来（要求至少写3步）；（2）在你经历说明（1）的过程之后，可以从下列、中选取一个补充或者更换已知条件，完成你的证明画出将BAD沿BA方向平移BA长，然后顺时针旋转90后图形；点K在线段BD上，且四边形AKNC为等腰梯形（ACKN，如图2）附加题：如图3，若点D、E是直线AC上两动点，其他条件不变，试判断DEF的形状，并说明理由【解答】解：DEF是等腰三角形证明：如图，过点C作CPAC，交AN延长线于点PRtABC中AB=AC BAC=90，ACB=45 PCN=ACB，BAD=ACPAMBD ABD+BAM=BAM+CAP=90 ABD=CAPBADACP AD=CP，ADB=PAD=CE CE=CP CN=CN CPNCEN P=CENCEN=ADB FDE=FED DEF是等腰三角形附加题：DEF为等腰三角形证明：过点C作CPAC，交AM的延长线于点PRtABC中AB=AC BAC=90，ACB=45 PCN=ACB=ECNAMBD ABD+BAM=BAM+CAP=90 ABD=CAPBADACP AD=CP，D=PAD=EC，CE=CP 又CN=CN CPNCEN P=E D=EDEF为等腰三角形13（贵港）如图所示，在一笔直的公路MN的同一旁有两个新开发区A，B，已知AB=10千米，直线AB与公路MN的夹角AON=30，新开发区B到公路MN的距离BC=3千米（1）新开发区A到公路MN的距离为8；（2）现要在MN上某点P处向新开发区A，B修两条公路PA，PB，使点P到新开发区A，B的距离之和最短此时PA+PB=14（千米）【解答】解：（1）BC=3，AOC=30，OB=6过点A作AEMN于点E，AO=AB+OB=16，AE=8即新开发区A到公路的距离为8千米；（2）过D作DFAE的延长线（点D是点B关于MN的对称点），垂足为F则EF=CD=BC=3，AF=AE+EF=AE+BC=11，过B作BGAE于G，BG=DF，BG=ABcos30=5，连接PB，则PB=PD，PA+PB=PA+PD=AD=14（千米）14（河北）已知：如图，等边三角形ABC的边长为6，点D，E分别在边AB，AC上，且AD=AE=2若点F从点B开始以每秒1个单位长的速度沿射线BC方向运动，设点F运动的时间为t秒当t0时，直线FD与过点A且平行于BC的直线相交于点G，GE的延长线与BC的延长线相交于点H，AB与GH相交于点O（1）设EGA的面积为S，写出S与t的函数关系式；（2）当t为何值时，ABGH；（3）请你证明GFH的面积为定值；（4）当t为何值时，点F和点C是线段BH的三等分点【解答】解：（1）如图，GABC 又AB=6，AD=2 DB=4 BF=t =，AG=t过点E作EKAG，垂足为KBCA=60CAK=60AEK=30AE=2AK=1EK=S=AGEK=t=t；（2）如图，连接DE，由AD=AE可知，ADE为等边三角形ABHGAO=OD，AEO=DEOGADEAGE=GEDAG=AE=2t=2t=4即当t=4时，ABHG；（3）GABCDEBCFH=BCABC与GFH的高相等SGFH=SABC=63=9不论t为何值，GFH的面积均为9；（4）BC=FHBF=CH当点F在线段BC上时，若点F和点C是线段BH的三等分点，则BF=FC=CHBF=CHBF=FCBC=6BF=FC=3当t=3时，点F和点C是线段BH的三等分点；如右图，当点F在BC的延长线上时，若点F和点C是线段BH的三等分点，则BC=CF=FHBC=FHBC=CFBC=6CF=6BF=12当t=12时，点F和点C是线段BH的三等分点15（内蒙古）如图，已知ABC为等边三角形，延长BC到D，延长BA到E，并且使AE=BD，连接CE，DE求证：EC=ED 【解答】证明：延长BD至F，使DF=BC，连接EF，AE=BD，ABC为等边三角形，BE=BF，B=60，BEF为等边三角形，F=60，在ECB和EDF中ECBEDF（SAS），EC=ED16（上海）已知：如图，在ABC中，AB=AC，A=120，AB的垂直平分线MN分别交BC，AB于点M，N，求证：CM=2BM【解答】证法1：如答图所示，连接AM，BAC=120，AB=AC，B=C=30，MN是AB的垂直平分线，BM=AM，BAM=B=30，MAC=90，CM=2AM，CM=2BM证法二：如答图所示，过A作ADMN交BC于点DMN是AB的垂直平分线，N是AB的中点ADMN，M是BD的中点，即BM=MDAC=AB，BAC=120，B=C=30，BAD=BNM=90，AD=BD=BM=MD，又CAD=BACBAD=12090=30，CAD=C，AD=DC，BM=MD=DC，CM=2BM17（上海）如图，已知在ABC中，AB=AC，D是AB上一点，DEBC，E是垂足，ED的延长线交CA的延长线于点F，求证：AD=AF【解答】证明：AB=AC，B=C，DEBC，C+F=90，B+BDE=90，ADF=BDE，F=ADF，AD=AF18（南京）已知：如图，边长为2的等边三角形ABC，延长BC到D，使CD=BC，延长CB到E，使BE=CB，求ADE的周长【解答】证明：ABC是等边三角形，边长为2，ABC=ACB=60，AB=CB=AC=2，E+EAB=ABC=60，BE=CB，AB=BE，EC=EB+BC=4，E=EAB=30，EAC=90，AE=2，同理可得：AD=2，DE=3BC=6，ADE的周长是6+2+2=6+419如图，在四边形ABCD中，B=C=90，AB=BC，点E在边BC上，ADE为等边三角形若CD=2求AD的长 【解答】解：过点D作DFAB于点F，设CE=x，EB=y，由题意可知：AB=BC=x+y，AF=x+y2在RtABE与RtCDE中，由勾股定理可知：DE2=x2+4，AE2=（x+y）2+y2又ADE是等边三角形，x2+4=（x+y）2+y2，化简可得：xy+y2=2在RtADF中，AD2=（x+y2）2+（x+y）2，AD=AE，（x+y2）2+（x+y）2=（x+y）2+y2化简可得：x+y2=yx=2，y+y2=2，解得：y=1或y=2（舍去）AB=3，EB=1，AE=AD=20如图，已知D是等边三角形ABC的AB边延长线上一点，BD的垂直平分线HE交AC延长线于点E，那么CE与AD相等吗？试说明理由【解答】解：CE与AD相等理由：在等边三角形ABC中，A=60，在直角三角形AHE中，AEH=30，AH=AE，即2AH=AE，2AHAB=AEAB，而AB=AC，2（AB+BH）AB=CE，即AB+2BH=CE，又HE垂直平分BD，2BH=BD，AB+BD=CE，即AD=CE21（丛台区）如图，已知BD平分ABC，AB=AD，DEAB，垂足为E（1）求证：ADBC；（2）若DE=6cm，求点D到BC的距离；当ABD=35，DAC=2ABD时，求BAC的度数【解答】（1）证明：BD平分ABC，ABD=DBC 又AB=ADD=ABDD=DBC，ADBC；（2）解：作DFBC于FBD平分ABC，DEAB，DFBC，DF=DE=6，BD平分ABC，ABC=2ABD=70，ADBC，ACB=DAC=70，BAC=180ABCACB=1807070=4022（藁城区）如图，在四边形ABCD中，B=90，DEAB交BC于E、交AC于F，CDE=ACB=30，BC=DE求证：FCD是等腰三角形【解答】证明：B=90，ACB=30，BAC=60ABDE，EFC=BAC=60，CDE=30，FCD=EFCCDE=6030=30，FCD=FDC，FD=FC，即FCD为等腰三角形23（崇仁县）如图，在ABC中，BP平分ABC，CP平分ACB，且PDAB，PEAC，BC=5，求PDE的周长【解答】解：BP平分ABC，CP平分ACB，ABP=PBD，ACP=PCE，又PDAB，PEAC，ABP=BPD，ACP=CPE，PBD=BPD，PCE=CPEBD=PD，CE=PE，PDE的周长=PD+DE+PE=BD+DE+EC=BC=524（宁夏）在等边ABC中，点D，E分别在边BC、AC上，若CD=2，过点D作DEAB，过点E作EFDE，交BC的延长线于点F，求EF的长【解答】解：ABC是等边三角形，B=ACB=60，DEAB，EDC=B=60，EDC是等边三角形，DE=DC=2，在RTDEF中，DEF=90，DE=2，DF=2DE=4，EF=225（黄冈模拟）如图，在ABC中，AB=AC，AD是ABC点的中线，E是AC的中点，连接AC，DFAB于F求证：BDF=ADE【解答】证明：AB=AC，AD是ABC点的中线，BAD=CAD，ADB=ADC=90，E是AC的中点，DE=AE=EC，CAD=ADE在RtABD中，ADB=90，B+BAD=90DFAB，B+BDF=90，BAD=BDF，BDF=CAD，BDF=ADE26（天河区一模）在ABC 中，AB=AC，AD是BC边上的中线，BEAC于点E求证：CBE=CAD【解答】证明：AB=AC，AD是BC边上的中线，ADBC，又BEAC，ADC=BEC=90，CBE+C=CAD+C=90CBE=CAD27（门头沟区一模）如图，ABC是等边三角形，BD平分ABC，延长BC到E，使得CE=CD求证：BD=DE【解答】证明：ABC是等边三角形，BD是中线，ABC=ACB=60DBC=30（等腰三角形三线合一）又CE=CD，CDE=CED又BCD=CDE+CED，CDE=CED=BCD=30DBC=DECDB=DE（等角对等边）28（吉林校级二模）如图，等边三角形ABC的边长是2，D、E分别为AB、AC的中点，点F在BC延长线上，且CF=，求四边形DEFB的面积【解答】解：点D、E分别是AB、AC的中点，DE=BC，DEBF，CF=，DE=CF，DECF，四边形DEFC是平行四边形，SECF=SDEC=SADE，ABC是等边三角形，D是AB的中点，CDAB，AD=BD=1，BC=2，DC=S四边形DEFB=SABC=2=29（丰台区二模）如图，ABC是等边三角形，BDAC于点D，E为BC的中点，连接DE求证：DE=DC【解答】解：ABC是等边三角形，AC=BC，BDAC于点D，CD=AC，BDC=90，E为BC的中点，DE=BC，DE=DC30（门头沟区二模）如图，在ABC中，BAC=90，C=30，AE为BC边上的中线求证：ABE是等边三角形【解答】证明：BAC=90，C=30，AB=BC，AE为BC边上的中线，AE=BE=CE，AB=AE=BE，ABE是等边三角形31（农安县）如图，在ABC中，D