拉普拉斯变换及其应用

复习 提问 1 系统的三大性能是什么 2 系统动态性能的三大指标是什么 3 对一个系统的基本要求可归纳为三个字 稳 快 准 谈谈你对这三个字的理解 4 系统分析的一般步骤分三步走 哪三步 5 对于单输入单输出系统 经典的分析方法有三种 哪三种 曹冲称象 利用拉氏变换求解微分方程的思路是 第二章拉普拉斯变换及其应用 拉普拉斯 1749 1827 法国著名数学家和天文学家 他是天体力学的主要奠基人 是天体演化学的创立者之一 是分析概率论的创始人 是应用数学的先躯 拉氏变换的定义公式为 第一节拉氏变换的概念 例2 1 求单位阶跃函数1 t 的拉氏变换式 解 例2 2 求单位脉冲函数 t 的拉氏变换式 解 例2 3 求 t 与1 t 间的关系 结论 单位阶跃函数对时间的导数即为单位脉冲函数 单位脉冲函数对时间的积分即为单位阶跃函数 解 例2 4 求正弦函数f t sin t的拉氏变换式 解法一 利用手算 解法二 利用MATLAB软件 实例求下面这个函数f t 的拉氏变换式 解法一 利用手算 解法二 利用MATLAB软件 教材表2 1是常用函数的拉氏变换表 要求会查表 有九个定理 或者说九个性质 教材介绍了5个 要熟悉这5个定理的结论与用途 1 线性定理 包括叠加定理 比例定理 2 位移定理 也叫延迟定理 3 相似定理4 微分定理5 积分定理6 周期函数的拉氏变换7 初值定理8 终值定理9 卷积定理 第二节拉氏变换的运算定理 两个函数代数和的拉氏变换等于两个函数拉氏变换的代数和 即 1 叠加定理 K倍原函数的拉氏变换等于原函数拉氏变换的K倍 即 2 比例定理 思考 1 阶跃函数K 1 t 的拉氏变换式为多少 2 脉冲函数K t 的拉氏变换式为多少 在零初始条件下 即 3 微分定理 则 上式表明 在初始条件为零的前提下 原函数的n阶导数的拉氏式等于其象函数乘以sn 在零初始条件下 即 4 积分定理 则 上式表明 在初始条件为零的前提下 原函数的n重积分的拉氏式等于其象函数除以sn 当原函数f t 延迟时间 成为f t 时 它的拉氏式为 5 延迟定理 也叫位移定理 上式表明 当原函数f t 延迟 即成为f t 时 相应的象函数F s 应乘以因子e s 6 终值定理 上式表明原函数在t 时的数值 稳态值 可以通过将象函数F s 乘以s后 再求s 0的极限值来求得 条件是当t 和s 0时 等式两边各有极限存在 终值定理在分析研究系统的稳态性能时 例如分析系统的稳态误差 求取系统输出量的稳态值等 有着很多的应用 因此终值定理也是一个经常用到的运算定理 实例1 记 设求下面这个函数的拉氏变换 函数式中m B K都是常数 实例2 记 设 求下面这个函数的拉氏变换 函数式中an an 1 a1 a0都是常数 拉氏反变换的定义公式为 第三节拉氏反变换 公式右端的积分是一个复变函数的积分 计算很麻烦 求拉氏反变换的方法主要有部分分式法 查表法 留数法等 实例求下面这个函数F s 的拉氏反变换式 解法一 利用手算 解法二 利用MATLAB软件 应用拉氏变换求解微分方程的思路是 第四节应用拉氏变换求解微分方程 例2 5 已知某系统的微分方程为 方程式中 r t 是输入信号 c t 是输出信号 T是常数 方程的初始条件为零 若系统的输入量是单位阶跃函数 则系统输出量的变化曲线是怎样的 解法一 利用手算 解法二 利用MATLAB软件 图2 3典型一阶系统的单位阶跃响应曲线 本次课小结 了解并理解拉氏变换和拉氏反变换的定义 性质 会查拉氏变换表 能够利用MATLAB软件求解已知函数的拉氏