数学建模B题论文(获2等奖).doc

2006高教社杯全国大学生数学建模竞赛承 诺 书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： B 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 参赛队员 (打印并签名) ：1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 日期：2006 年 9 月 18日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2006高教社杯全国大学生数学建模竞赛编 号 专 用 页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：艾滋病疗法评价及疗效预测模型摘要本文对艾滋病患者在治疗过程中的测试数据进行分析，建立了艾滋病疗法的评价及疗效的预测模型。针对问题一，首先根据数据求出各个患者体内同一时间的CD4和HIV浓度平均值，利用曲线拟合软件CurveExpert 1.3 ，采用曲线拟合最小二乘法，分别做出时间与CD4浓度和HIV浓度的曲线拟合图，并求得其二阶曲线方程，因而得到两者浓度随时间T变化的比值N，根据HIV具有高突变率和快速复制的特性，可以推断出比值N存在一个最大值，使疗法达到一个最佳效果，从而确定出最佳终止治疗时间。继续治疗的效果预测则可从曲线拟合图或曲线方程获得。经过计算，得到此种疗法的最佳终止治疗时间T在27.9周左右。在问题二的求解中，以治疗效果为导向选择疗法。根据患者年龄划分了3个年龄段，根据不同年龄段和不同疗法，对原始数据进行筛选整理，利用曲线拟合软件，做出不同年龄段的患者在不同疗法下体内CD4浓度随时间T的变化曲线，并求得相应的曲线方程。在仅以CD4浓度为评价标准下，在CD4浓度增长率为0时，即为最佳终止治疗时间。将同一年龄段4种疗法的拟合曲线放在同一坐标下，根据各自疗法下CD4浓度随时间变化的稳定性，确定哪些疗法可用，并评价各自可用疗法的优劣。问题三的求解中，考虑到患者对治疗费用的承受能力不同，以治疗费用和疗效为导向选择疗法。先根据药价，求出4种疗法费用随时间变化的拟合线性方程，并联立不同年龄段的患者在不同疗法下体内CD4浓度随时间变化的曲线方程，得到采用不同疗法的患者体内CD4浓度值随治疗费用变化的关系方程。针对同一年龄段，做出患者在各种可用疗法下体内CD4浓度值随治疗费用变化的曲线图，根据图中的交点前后的CD4浓度高低，来确定患者在所能承受的最大治疗费用条件下的不同治疗方法。问题二、三经分析计算，其结果如下：4种疗法分别对不同年龄段患者的治疗效果年龄分段疗法1疗法2疗法3疗法430岁以下不适合较好未知最好3050岁不适合不适合较好最好50岁以上最差未知较好最好患者承受的最大治疗费用与疗法的选择疗法1疗法2疗法3疗法430岁以下不适合小于11.1美元未知大于11.1美元30岁-50岁不适合不适合小于179.20美元大于179.20美元50岁以上不适合未知小于266.96美元大于266.96美元 此题的求解方法主要优点是利用曲线拟合软件画各条曲线，并合并各曲线到一个图上，增加了各个疗法间的对比。本文结尾基于模型，为了减少误差，改进了问题一中对数据的筛选方法，并做了模型优劣评价。关键词：曲线拟合 HIV高突变率 CD4浓度稳定性 导向选择疗法 最大承受治疗费用一、问题的提出艾滋病的医学全名为“获得性免疫缺损综合症”，英文简称AIDS；它是由艾滋病毒（HIV）引起的。这种病毒破坏人的免疫系统，使人体丧失抵抗各种疾病的能力，从而严重危害人的生命。人类免疫系统的CD4细胞在抵御HIV的入侵中起着重要作用，当CD4被HIV感染而裂解时，其数量会急剧减少，HIV将迅速增加，导致AIDS发作。在治疗艾滋病的过程中，CD4和HIV的各自个数发生着不断地变化，针对各自不同的变化，就可以去判断不同的治疗效果。针对CD4和HIV的变化，提出了以下三个问题：问题一：根据服用zidovudine（齐多夫定），lamivudine（拉美夫定）和indinavir（茚地那韦）3种药物的300多名病人每隔几周测试的CD4和HIV的浓度数据，去预测继续用这种疗法的效果，确定此种疗法的最佳终止时间。问题二：将1300多名病人随机地分为4组，每组按下述4种疗法中的一种服药，大约每隔8周测试的CD4浓度（这组数据缺HIV浓度，它的测试成本很高）。4种疗法的日用药分别为：600mg zidovudine或400mg didanosine（去羟基苷），这两种药按月轮换使用；600 mg zidovudine加2.25 mg zalcitabine（扎西他滨）；600 mg zidovudine加400 mg didanosine；600 mg zidovudine加400 mg didanosine，再加400 mg nevirapine（奈韦拉平）。利用提供的测试数据，评价4种疗法的优劣（仅以CD4为标准），并对较优的疗法预测继续治疗的效果，或者确定最佳治疗终止时间。问题三：艾滋病药品的主要供给商对不发达国家提供的药品价格如下：600mg zidovudine 1.60美元，400mg didanosine 0.85美元，2.25 mg zalcitabine 1.85美元，400 mg nevirapine 1.20美元。如果病人需要考虑4种疗法的费用，对问题2中的评价和预测（或者提前终止）有什么改变。二、基本假设1、假设病人的治疗效果与生活环境无关，只与药物有关2、假设AIDS病人的病情只与人体内CD4细胞和HIV病毒的指标有关3、假设所给数据具有代表性，能反映药物和病情的规律4、假设病人只服用所规定的药物，不再服用其他对最终测试结果有影响的药物5、假设所得的测试数据为真实数据；6、假设1个月只有4个星期三、符号说明问题一符号说明：T 表示服药的时刻 表示随时刻T变化的CD4浓度值 表示随时刻T变化的HIV浓度值N 表示随时刻T变化的CD4浓度值和HIV浓度值之比 表示对N求导、 分别表示随时刻T变化的CD4浓度值的二阶曲线方程系数、 分别表示随时刻T变化的HIV浓度值的二阶曲线方程系数问题二符号说明：i=1,2,3 表示将患者根据年龄分为30岁以下、3050岁、50岁以上3个年龄段j=1,2,3,4 表示将患者根据4种不同的疗法分为4个组 表示第i个年龄段且采用第j种疗法的患者服药时刻 表示第i个年龄段且采用第j种疗法的患者体内的CD4浓度值随时刻的变化的值、 表示随时刻变化的CD4浓度值的二阶曲线方程系数问题三符号说明：P 表示患者能承受的最大治疗费用 （j=1,2,3,4） 表示到时刻时所用的总治疗费用d、e 表示总治疗费用和时刻的线性关系系数四、问题分析艾滋病的医学全名为“获得性免疫缺损综合症”，英文简称AIDS，它是由艾滋病毒（医学全名为“人体免疫缺损病毒”, 英文简称HIV）引起的。这种病毒破坏人的免疫系统，使人体丧失抵抗各种疾病的能力，从而严重危害人的生命。人类免疫系统的CD4细胞在抵御HIV的入侵中起着重要作用，当CD4被HIV感染而裂解时，其数量会急剧减少，HIV将迅速增加，导致AIDS发作。 艾滋病治疗的目的，是尽量减少人体内HIV的数量，同时产生更多的CD4，至少要有效地降低CD4减少的速度，以提高人体免疫能力。但是HIV拥有高突变率和快速复制的特性，在服药期间，每天所发生的HIV复制周期提供了产生大量变异毒株的机会，包括那些抗药性毒株，这样就使HIV从原发感染时的状态进化为一群遗传差异很大的病毒，每一个成员都保存了生存所必需的基因，但是在不妨碍复制的基因位点上有细小的差异，结果导致出现高度分化的群体，病毒产生进化，因此，持续服用一种药物不久，就会对HIV的浓度控制失效，新的HIV大量出现。为了有效的控制HIV的进化，就要确定一个最佳治疗终止时间，停止服用这种药物，而是转向服用另外有效的药物，对HIV的数量起到有效的控制。五、模型的建立与解析问题一模型分析和求解问题一具体分析：题目的附件1已经给出了300多名病人每隔几周测试的CD4和HIV的浓度数据，为了预测继续治疗的效果，我们利用曲线拟合软件，采用最小二乘曲线拟合方法和所测数据，做出CD4和HIV的浓度大致变化曲线，得到相应的曲线方程，因此得到CD4和HIV之间的比例关系N。由于HIV拥有高突变率和快速复制的特性，在不停地发生突变，对治疗的药物渐渐地产生抗体，到一定时间，CD4浓度从增加转为趋于下降，HIV浓度从下降转为趋于增加，两者浓度之比N由增加转为趋于下降，当这个比值N达到最大时，即为最佳治疗终止时间。模型建立： 对同一时刻（周）的CD4和HIV的值分别求其平均值得到如下数据：周数TCD4Cate平均Vload平均086.095238105.026946108161.285714295.092307692288.800123744.4800001233137.77358493.0788461544133.55844163.2442982465129.75409843.0783333336123.81818182.8009214457147.93442623.1105459998152.33492822.9627450989174.28571433.07191011221150.40012363.52031686722168.31250013.06250486624179.72463772.82962963125173.45614042.76341463440182.79681272.87357513048158.31578953.583938053 说明：表格没有把全部时刻的CD4和HIV的平均值表现出来，而是隐藏在相邻时刻的平均值里面，因为隐藏的这些时刻的CD4和HIV测试数据过少，如果求其CD4和HIV平均值，然后做一组数据和其他时刻的数据一起做曲线拟合，就会产生很大的误差，所以将测试数值少的时刻值归并到相邻时刻中，如：第10周测试的数据只有8个，数据太少，如果求其CD4和HIV平均值并加入做曲线拟合的数组中，对曲线拟合产生的误差会增大，所以我们将第10周测试的数据算为第9周测试的数据，得到的CD4和HIV的平均值算为第9周的值。对测试数据做最小二乘曲线拟合，可分别得到关于时刻T与CD4浓度和时刻T与HIV浓度的二阶曲线方程和二阶曲线图 分别设曲线方程为： 那么CD4和HIV浓度随周数T变化的比例关系N为：由于HIV拥有高突变率和快速复制的特性，在不停地发生突变，对治疗的药物渐渐地产生抗体，到一定时间，CD4浓度从增加转为趋于下降，HIV浓度从下降转为趋于增加，两者浓度之比N由增加转为趋于下降，当这个比值N达到最大时，即为最佳治疗终止时间。 即： 即： 因而可求得最佳治疗终止时间T，而继续治疗效果则可通过CD4和HIV浓度变化曲线图来获得。模型求解： 根据所测数据，利用曲线拟合软件，作出服用药物后CD4和HIV浓度随周数T的变化曲线，如下：CD4浓度随周数T变化最小二乘拟合曲线可算得：=96.611543 =5.7969785 =0.095242857HIV浓度随周数T变化最小二乘拟合曲线可算得：=4.145702 =0.11208048 =0.0021323258则CD4和HIV随周数T变化的比例关系N的导数为0，即：用matlab计算： diff(96.611543+5.7969785*X-0.095242857*X2)/(4.145702-0.11208048*X+0.0021323258*X2)求得 ans=(5.7969785-.190485714*X)/(4.145702-.11208048*X+.21323258e-2*X2)-(96.611543+5.7969785*X-.95242857e-1*X2)/(4.145702-.11208048*X+.21323258e-2*X2)2*(-.11208048+.42646516e-2*X)再解此方程solve(5.7969785-.190485714*X)/(4.145702-.11208048*X+.21323258e-2*X2)-(96.611543+5.7969785*X-.95242857e-1*X2)/(4.145702-.11208048*X+.21323258e-2*X2)2*(-.11208048+.42646516e-2*X)求得 ans = -740.59797692587590382413466949702 舍去 27.915835282308815574577374412991 所以此种疗法的最佳终止治疗时间T在27.9周左右。从曲线走势可以看出，随着持续服用药物，HIV突变对该药物产生抗体，使药物对HIV失效，从而使患者体内CD4浓度减少而HIV浓度逐渐升高，所以要终止此种药物的继续治疗，但是要转向其他药物来控制HIV浓度的升高，继续进行治疗。问题二模型分析和求解：问题二具体分析：美国艾滋病医疗试验机构ACTG为了研究不同疗法的功效，对感染HIV病毒的患者采用4种不同的治疗方法，在仅以CD4浓度为标准的前提下，去评价4种疗法的优劣，在题目的附件2中，已经给出了1300多名不同年龄的病人每隔8周测试的CD4和HIV的浓度数据，为了预测继续治疗的效果，我们根据不同年龄划分了3个年龄段，利用曲线拟合软件，对各自年龄段的数据和不同的疗法，采用最小二乘曲线拟合方法和所测数据，做出CD4浓度大致变化曲线，得到相应的曲线方程，在CD4浓度的增长率为负值之前，即为0时，终止治疗，根据最佳终止治疗时间，确定在不同时刻对不同年龄的患者采用何种疗法。模型建立：根据30岁以下、3050岁、50岁以上的划分原则将附件2的数据划分为三个年龄段（i1，2，3），再在不同的年龄段里，划分出4种疗法（j=1,2,3,4）的各自数据，由于经过不同年龄段和不同疗法的划分后，不同时刻的数据量太少了，若再根据不同时刻求出各个时刻CD4浓度的平均值来画各自的拟合曲线，就会出现很大的误差，所以在经过不同年龄段和不同疗法的划分后，除去所给数据中的无效数据，直接将各时刻的数据进行曲线拟合，做出不同的最小二乘曲线以及曲线方程（i1，2，3;j=1,2,3,4）根据曲线方程求导得到各自的最佳终止治疗时间（i1,2,3;j=1,2,3,4），再根据在各种疗法下CD4浓度的稳定性来判断不同阶段不同疗法的优劣。模型求解：设最小二乘曲线方程为（i=1,2,3;j=1,2,3,4）i=1,2,3 分别表示30岁以下、3050岁、50岁以下三个年龄段的患者j=1,2,3,4 分别表示采用疗法1、疗法2、疗法3、疗法4的患者针对30岁以下（i1）年龄段，分别做出4种疗法的拟合曲线分别如下： 30岁以下采用疗法1的患者体内CD4随周数T变化最小二乘拟合曲线30岁以下采用疗法2的患者体内CD4随周数T变化最小二乘拟合曲线30岁以下采用疗法3的患者体内CD4随周数T变化最小二乘拟合曲线30岁以下采用疗法4的患者体内CD4随周数T变化最小二乘拟合曲线可算得： 2.984885-0.0047575727-0.0001374772=-17.3=2.7223509=0.012116038=-0.00072610522=8.3431696=2.8642759=-0.0013892406=0.00010049031=6.912311224672=2.7111354=0.038687494=-0.00097465058=19.8468532178针对30岁50岁（i2）年龄段，分别做出4种疗法的拟合曲线分别如下：3050岁采用疗法1的患者体内CD4随周数T变化最小二乘拟合曲线30岁50岁采用疗法2的患者体内CD4随周数T变化最小二乘拟合曲线30岁50岁采用疗法3的患者体内CD4随周数T变化最小二乘拟合曲线30岁50岁采用疗法4的患者体内CD4随周数T变化最小二乘拟合曲线可算得： 3.0120695-0.011384086-0.000021634932=-263.095=3.0530664=-0.0022105116=-0.00016022022= -6.898=3.0649089=0.011485105=-0.00047242811=122.9720719=0.028764375=-0.00082293479=17.4767037130针对50岁以上（i3）年龄段，分别做出4种疗法的拟合曲线分别如下：50岁以上采用疗法1的患者体内CD4随周数T变化最小二乘拟合曲线50岁以上采用疗法2的患者体内CD4随周数T变化最小二乘拟合曲线50岁以上采用疗法3的患者体内CD4随周数T变化最小二乘拟合曲线50岁以上采用疗法4的患者体内CD4随周数T变化最小二乘拟合曲线可算得： =3.0534834=0.0072984933= -0.00065564573=5.56588182157=3.4061727=-0.016650619=0.000052374516=158.9572589=3.2628609=0.015243073=-0.00053345274=14.28718221599=3.0139336=0.045497293c=-0.0010848671=20.969062938677以上为针对3个不同年龄段和4种不同疗法做出了各自患者体内CD4随周数T变化的最小二乘拟合曲线方程解，为了更好的比较4种疗法的优劣，现将在同一年龄段的4种疗法的拟合曲线放在同一坐标下分别表示如下：30岁以下患者体内CD4随周数T变化最小二乘拟合曲线根据-17.3 8.34 6.91 19.85 及曲线走势可以推断：在只针对30岁以下的这些患者同时进行治疗时，疗法1没有起到增加或保持CD4浓度的效果，故不适合30岁以下的患者；用疗法3对患者的治疗时，在6.91周左右时患者体内CD4浓度由减少转为不断增加，根据HIV拥有高突变率和快速复制的特性，药效不符合逻辑，可能由于数据过少，造成无法判断疗效；在8.34周左右时用疗法2的患者治疗效果达到最好；在19.85周左右时用疗法4的患者治疗效果达到最好；从图中疗法2和4的曲线进行比较，疗法4比疗法2能使患者体内CD4浓度更长久的保持，稳定性强于疗法2。综合考虑，此年龄段患者用疗法4最好，疗法2次之。但是无论采用哪种疗法方式，随着时间的推移，超过各种疗法的最佳终止时间，HIV浓度都会渐渐完成完全突变，产生抗体而使药物失效。30岁50岁患者体内CD4随周数T变化最小二乘拟合曲线根据=-263.095 = -6.898 =12.16 =17.48及曲线走势可以推断：在只针对30岁50岁的这些患者同时进行治疗时，疗法1和疗法2没有起到增加或保持CD4浓度的效果，不适合30岁50岁年龄阶段的患者；在12.2周左右时用疗法3的患者治疗效果达到最好；在17.48周左右时用疗法4的患者治疗效果达到最好；从图中曲线走势来看，疗法4可使患者体内的CD4浓度保持在一个更高的浓度，综合考虑，对此年龄段患者用疗法4最好，疗法3次之。但是无论采用哪种疗法方式，随着时间的推移，超过各种疗法的最佳终止时间，HIV浓度都会渐渐完成完全突变，产生抗体而使药物失效。50岁以上患者体内CD4随周数T变化最小二乘拟合曲线根据=5.57 =158.96 =14.29 =20.97及曲线走势可以推断：在只针对50岁以上的这些患者同时进行治疗时，在5.57周左右时用疗法1的患者治疗效果达到最好；在14.29周左右时用疗法3的患者治疗效果达到最好；在20.97周左右时用疗法4的患者治疗效果达到最好；在158.96周左右时采用疗法2的患者体内的CD4浓度由减少转为不断增加，根据HIV拥有高突变率和快速复制的特性，药效不符合逻辑，可能由于数据过少，造成无法判断疗效；综合考虑疗法1、3、4的曲线走势图，疗法4最好，疗法3次之，疗法1最差。但是无论采用哪种疗法方式，随着时间的推移，超过各种疗法的最佳终止时间，HIV浓度都会渐渐完成完全突变，产生抗体而使药物失效。综上所述：4种疗法分别对不同年龄段患者的治疗效果年龄分段疗法1疗法2疗法3疗法430岁以下不适合较好未知最好3050岁不适合不适合较好最好50岁以上最差未知较好最好问题三模型分析和求解：问题三具体分析：问题二中，在不考虑治疗费用是否患者能承受的情况下，去比较4种疗法的效果，而现在将不同的艾滋病药品供给给不发达国家的艾滋病患者，考虑到他们的实际情况，需要针对他们对治疗费用的承受能力（他们能承受的治疗价格）来选择用何种治疗方法。模型建立：现已整理出各种疗法在不同周数时的费用如下：周数第一种疗法费用（美元）第二种疗法费用（美元）第三种疗法费用（美元）第四种疗法费用（美元）111.224.1517.1525.55222.448.334.351.1333.672.4551.4576.65444.896.668.6102.2550.75120.7585.75127.75656.7144.9102.9153.3762.65169.05120.05178.85868.6193.2137.2204.4979.8217.35154.35229.951091241.5171.5255.511102.2265.65188.65281.0512113.4289.8205.8306.613119.35313.95222.95332.1514125.3338.1240.1357.715131.25362.25257.25383.2516137.2386.4274.4408.817148.4410.55291.55434.3518159.6434.7308.7459.919170.8458.85325.85485.452018248334351121187.95507.15360.15536.5522193.9531.3377.3562.123199.85555.45394.45587.6524205.8579.6411.6613.225217603.75428.75638.7526228.2627.9445.9664.327239.4652.05463.05689.8528250.6676.2480.2715.429256.55700.35497.35740.9530262.5724.5514.5766.531268.45748.65531.65792.0532274.4772.8548.8817.633285.6796.95565.95843.1534296.8821.1583.1868.735308845.25600.25894.2536319.2869.4617.4919.837325.15893.55634.55945.3538331.1917.7651.7970.939337.05941.85668.85996.4540343966686102241354.2990.15703.151047.5542365.41014.3720.31073.143376.61038.45737.451098.6544387.81062.6754.61124.245393.751086.75771.751149.7546399.71110.9788.91175.347405.651135.05806.051200.8548411.61159.2823.21226.449422.81183.35840.351251.95504341207.5857.51277.5根据各种药品的价格和各种疗法的药品搭配，可以做出4种疗法的费用随时刻T的变化图：由此分别可得4种疗法费用（j=1,2,3,4）与时刻（周）的线性关系： （i=1,2,3 j=1,2,3,4）具体关系如下： （线性拟合）由可得：将上面这个公式代入随时刻变化的不同年龄段且采用不同疗法的患者体内CD4浓度值的曲线方程（i1，2，3;j=1,2,3,4）中，这样得到一个关于采用不同疗法的患者体内CD4浓度值随着治疗费用而变化的关系式，具体如下：现在就可以针对不同的年龄段，根据他们能承受的最大治疗费用和各种能采用的疗法，在同一图中做出各种可用疗法的患者体内CD4浓度值随着治疗费用而变化曲线图，从图中，可以得到曲线间的交点，因而就可以确定不同承受能力选择不同的治疗方法。模型求解：由问题二的结论中可知，30岁以下的患者可采用疗法2或疗法4进行治疗，3050岁的患者可采用疗法3或者疗法4进行治疗，50岁以上的患者可采用疗法1、疗法3或疗法4。现在分别来计算各年龄段的患者根据自己实际治疗费用承受能力来选择何种疗法。针对30岁以下这年龄段的患者，作出采用疗法2和疗法4的患者体内CD4浓度随费用变化的曲线图，如下：将上图红色方框处放大，得下图：用matlab联立两个曲线方程求解可得临界费用P在11.11美元左右结论：针对30岁以下年龄段患者：当患者能承受的最大治疗费用小于11.1美元时，用疗法2最佳；当患者能承受的最大治疗费用大于11.1美元时，用疗法4最佳。针对30岁50岁这年龄段的患者，作出采用疗法3和疗法4的患者体内CD4浓度随费用变化的曲线图，如下：用matlab联立两个曲线方程求解可得临界费用P在179.20美元左右结论：针对3050岁年龄段患者：当患者能承受的最大治疗费用小于179.20美元时，用疗法3最佳；当患者能承受的最大治疗费用大于179.20美元时，用疗法4最佳。针对50岁以上这年龄段的患者，作出采用疗法1、疗法3和疗法4的患者体内CD4浓度随费用变化的曲线图，如下：用matlab联立三个曲线方程求解可得到有效的临界费用P在266.96美元左右结论：针对50岁以上这年龄段患者：当患者能承受的最大治疗费用小于266.96美元时，用疗法3最佳；当患者能承受的最大治疗费用大于266.96美元时，用疗法4最佳。综上所述：患者拥有金额