数学史教学的四个事例

数学史教学的四个事例 湖北省潜江市江汉油田高级中学 舒云水 433123 新课标加强了数学史的教学 除了有专门的数学史教材 数学 史选讲 外 人教版教材在 阅读与思考 等栏目中安排一些数A 学史内容 这是我们开展数学史教学的主要渠道 除此外 我们教 师应该多读一些数学史 多掌握一些数学史事例 根据教学内容选 择相关事例传授给学生 可提高学习数学的兴趣 加深对数学的理 解 笔者一直爱读数学史 常常根据教学内容讲一些相关的数学史 产生了比较好的教学效果 下面给出四个数学史事例 供同行教学 参考 1 费马素数与正多边形的尺规作图 费马素数与正多边形的尺规作图 人教版教材选修 2 2 的第 77 页 选修 2 1 的第 29 页 讲了费费A 马数马数及费马素数猜想 费马素数猜想是一个非常经典的错及费马素数猜想 费马素数猜想是一个非常经典的错 2 21 n n F 误猜想误猜想 讲完课本内容后 紧接着我就给学生补充讲费马素数与正费马素数与正 多边形的尺规作图多边形的尺规作图的知识 我们把费马数中的素数叫费马素数费马数中的素数叫费马素数 到目前为此 我们知道的到目前为此 我们知道的 费马素数只有费马素数只有 5 个 个 0 3F 1 5F 2 17F 3 257F 4 65537F 到 1988 年时 数学家已经知道 都是合数 迄今没 6 F 7 F 21 F 有新的费马素数被发现 数学家倾向于相信不再有其它的费马素数费马素数 故事到此并没有结束 费马素素数又出现在用直尺和圆规作正多边 形的这样一个完全不同的问题中 古希腊人早就发现了如何用直尺和圆规作 3 4 5 6 8 10 15 边 的正多边形 利用不断平分中心角的办法 他们还能够作出有 n 2 条边的正多边形 古 4 n n 23 2 n5 2 2 n n 2 215 n n 希腊人以及后来许多数学爱好者都寻找过 7 9 11 13 边的正多边 形的尺规作法 但都没有成功 直到年轻的德国数学家高斯 1801 年 发表了数论的划时代著作 算术研究 这个问题才有新的进展 高 斯超过前人的不仅仅是他给出了正十七边形的尺规作法 更重要的 是 对所有他解决了哪些正 边形可以用尺规作出来 而哪些 3 nn 不能 下面我们来叙述高斯的结果 上面已经指出 从一个正 边形出发 通过等分它的每个中心n 角 就能得到正边形 另一方面 从一个正边形出发 只要取n2n2 个不相邻的顶点就能得到正 边形 这表明 为了判定哪些正 边nnn 形可作 只要讨论奇数情形就够了 高斯证明了如下定理 定理 对奇数 当且仅当 是费马素数 或是若干个不同的费nn 马素数的乘积时 正 边形才能用直尺和圆规作出来 n 让我们考察几个最小的值 正 3 边形和正 5 边形可以作出 但n 不能作出正 7 边形 因为 7 不是费马素数 也不能作出正 9 边形 因为 9 3 3 是两个相等的费马素数的乘积 也不能作出和 11 n 的正 边形 但是能够作出及的正 边形 13 nn5315 n17 nn 同数学一样 高斯在语言方面有极高的天赋与兴趣 在发现正十 七边形的尺规作法时 只有 19 岁 在这之前高斯一直犹豫是以数学 还是以语言为毕生的事业 正是正十七边形的尺规作图的成功 他 明确地决定从事数学 学习语言仍然是他终身保持的一项爱好 高 斯对自己证明了能够用尺规作出正 17 边形并完成了作图 感到很骄 傲 立下遗嘱 在他的墓碑上画一个内接于圆的正 17 边形 2 一个与形数有关的著名定理 人教 A 版必修 5 的第 32 页介绍了古希腊人发明的三角形数和 正方形数 选修教材 数学史选讲 又在第 15 页专门讲了多边形数 讲完课本内容后 我给学生补充讲了形数的一些有趣性质 例如 任何一个正方形数都是某两个相邻的三角形数之和 第 个五边形n 数等于第个三角形数的三倍加上 等 重点给学生讲了一个与形1 nn 数有关的著名定理 数学家费马对形数很感兴趣 对形数进行了深 入研究 提出一个关于形数的著名猜想 每一个正整数都是 3 个 三角形数 4 个 正方形数 5 个 五边形数 6 个 六边形 数 等的和 需要说明一点 上面猜想所述的 三角形数 正方 形数 等形数都把零算在内 这个猜想引起许多数学爱好者的兴趣 他们认真研究尝试对这个猜想进行证明 大数学家欧拉 拉格朗日 等都进行了深入研究 这个猜想的证明难度很大 他们都没有成功 后来 数学王子高斯第一个证明了 三角形数 这种情形是成立 的 但未能给 正方形数 等其他情形作出证明 直到费马去世 150 年后的 1815 年 当时只有 26 岁的年轻数学家柯西证明上述猜 想是成立的 在当时引起了轰动 正是一代代数学爱好者 数学家 前赴后继 共同努力解决了一个个数学难题 这些难题的成功解决 无一不闪烁着人类智慧的灿烂光芒 3 质数的判定 人教 A 版必修 3 的第 3 页的例 1 及例 1 后面的探究问题是 质数的判定 问题 它有丰富的数学背景 讲完课本内容后 我 给学生补充讲了下面有关质数判定的数学史 质数有无穷多个 大约在 2300 年前欧几里得就证明了存在着 无穷多个质数 尽管如此 迄今为止还没有发现质数的模型或产生 质数的有效公式 因而寻找大的质数必须借助计算机一个一个地找 寻找大质数是数论研究的重要课题之一 大家可能会产生一个疑 问 找大质数有什么用 告诉你 现在最好的密码是用质数制造的 极难破译 人们一直在寻找检验一个数是否为质数的方法 最近一些年有 了巨大进步 你或许会说 检验质数有什么难 确实 看一个数是 不是质数 有一种非常自然而直接的方法 这就是我们常用的试除 法 即课本例 1 所用的算法 这一方法对检验不太大的数是挺实用 的 但若数字太大 它就变得十分笨拙 假设你在一个快速计算机 上使用高效的程序进行试除 对于一个 10 位数字的数 运行程序几 乎瞬间就能完成 对于一个 20 位的数就麻烦一点了 需要两个小时 对于一个 50 位的数 则需要 100 亿年 这已经大得不可想象 前 面讲过最好的密码是用质数制造的 它是用介于 60 位到 100 位之间 的两个质数制造的 这种计算正是制造这种密码的需要 当今庞大 的国际数据通讯网络能安全运行 就得益于这种密码 如何确定一个 100 位的数是否为质数呢 数学家做了许多努力 在 1980 年左右找到了目前可用的最好方法 数学家阿德勒曼 鲁梅 利 科恩和伦斯特拉研究出一种非常复杂的方法 现在以他们的名 字的第一个字母命名为 ARCL 检验法 在上面提到的那类计算机上 进行 ARCL 检验 对 20 位的数只需 10 秒钟 对 50 位的数用 15 秒 100 位的数用 40 秒 如果要检查 1000 位的数 一个星期也就够了 可以相信 随着人们对质数判定的算法的研究不断深入以及计 算机技术的迅猛发展 我们会找到更好更快地检验一个大数是否为 质数的方法 发现更多更大的质数 讲了上面有关质数的知识后 感到意犹未尽 后来找了一个时 间给学生讲了一些关于梅森素数的梅森素数的数学史 4 梅森素数 梅森素数 梅森 1588 1648 是法国数学家 自然哲学家和宗教家 他 在 1644 年提出了梅森素数 梅森的提出是探索表素数公式的开始 在数论史上具有开拓性的意义 将形如的数叫 1 12M nNn n n 做梅森数 其中是素数的梅森数叫做梅森素数 梅森提出的问题具 有启发性 但他当时的判断有误 他说 对 p 2 3 5 7 13 17 31 67 127 257 是素数 而 p 257 的其它素数对应 P M 的都是合数 梅森是如何得到这一结论的呢 无人知晓 到了 P M 1947 年有了台式计算机后 人们才能检查他的结论 发现他犯了五 个错误 不是素数 而是素数 25767 MM 1078961 M MM 1867 年以来 人们已经知道是合数 但对它的因数一无所 67 M 知 1903 年 10 月在美国数学会举行的一次会上 数学家科尔提交 一篇论文 大数的因子分解 轮到科尔报告时 他走到黑板前 一言未发便作起 2 的方幂的演算 直到 2 的 67 次幂 从所得结果减 去 1 然后默默无言地在黑板的空白处写下两个数相乘 193707721 761838257287 两个计算结果完全一样 之后 他只字未吐又回到自己的座位上 会场爆发了热烈的掌声 这短短几分钟的报告却花了科尔 3 年的全 部星期天 在手工计算的时代 人们历尽艰辛 仅找到 12 个梅森素数 它 们是 其中 P M p 2 3 5 7 13 17 19 31 61 89 107 127 计算机发明出来后 人们借助电子计算机去寻找梅森素数 从 1952 年后到 1996 年 5 月为止 陆续发现了 22 个梅森素数 其中 p 521 1952 607 1952 1279 1952 2203 1952 2281 1952 3217 1957 4253 1961 4423 1961 9689 1963 9941 1963 11213 1963 19937 1971 21701 1978 23209 1979 44497 1979 86243 1983 110503 1988 132049 1983 216091 1985 756839 1992 859433 1994 1257787 1996 括号里的数字为发现的年份 上面最后一个梅森素数是 1996 年 5 月美国威斯康星州克 1257787 M 雷研究所发现的 是迄今为止最后一个由超级计算机发现的 1257787 M 梅森素数 该所的计算机专家史洛温斯基一共发现了 7 个梅森素数 他因此被人们称为 素数大王 使用超级计算机寻找梅森素数的游戏实在太昂贵了 1996 年初 美国数学家及程序设计师乔治 沃特曼编制了一个梅森素数寻找程序 并把它放在网页下供数学家和数学爱好者免费使用 这就是著名的 因特网梅森素数大搜索 GIMPS 项目 GIMPS 项目实施以来 利用该项目已经发现了 13 个梅森素数 到目前为止现在一共发现了 47 个梅森素数 1996 年 11 月以后发现的梅森素数都是利用该项目 发现的 世界上已有 170 个国家和地区近 18 万人参加了这一项目 并动用了 37 万多台计算机联网来进行网络分布式计算 下面按发现 时间顺序给出这 13 个梅森素数 括号里的数字是发现时间 P 1398269 1996 11 13 2976221 1997 08 24 3021377 1998 01 27 6972593 1999 06 01 13466917 2001 11 14 20996011 2003 11 17 24036583 2004 05 15 25964951 2005 02 18 30402457 2005 12 15 32582657 2006 09 04 43112609 2008 08 23 37156667 2008 09 06 42643801 2009 04 12 其中最大的梅森素数是第 45 个 它是 2008 年 8 月 23 43112609 M 日由美国加州大学洛杉矶分校的计算机管理员埃德森 史密斯发现 的 它有 12978189 位数 是到目前为止人们所知的最大的素数 如 果用普通字号将这个巨数连续写下来 它的长度可超过 50 公里 这 一成就被美国的 时代 杂志评为 2008 年度 50 项最佳发明 之 一 排名第 29 位 梅森素数在当代具有十分丰富的理论意义和实用价值 它是发 现已知最大素数的最有效途径 它的探究推动了数学皇后 数论 的研究 促进了