抛物线集合性质

抛物线的简单几何性质 一 M是抛物线y2 2px p 0 上一点 若点M的横坐标为x0 则点M到焦点的距离是 焦半径及焦半径公式 抛物线上一点到焦点的距离 P x0 y0 在y2 2px上 P x0 y0 在y2 2px上 P x0 y0 在x2 2py上 P x0 y0 在x2 2py上 1 抛物线的范围 y2 2px y取全体实数 X 0 抛物线的几何性质 2 抛物线的对称性y2 2px 关于x轴对称 没有对称中心 因此 抛物线又叫做无心圆锥曲线 而椭圆和双曲线又叫做有心圆锥曲线 定义 抛物线与对称轴的交点 叫做抛物线的顶点只有一个顶点 3 抛物线的顶点y2 2px 所有的抛物线的离心率都是1 4 抛物线的离心率y2 2px 基本点 顶点 焦点 基本线 准线 对称轴 基本量 焦准距p 决定抛物线开口大小 5 抛物线的基本元素y2 2px 例1 已知抛物线y2 2x 1 设点A的坐标为 0 求曲线上与点A距离最近的点P的坐标及相应的 PA 的值 2 若上题中A 2 0 则结果如何 例2 斜率为1的直线经过抛物线y2 4x的焦点 与抛物线相交于两点A B 求线段AB的长 6 焦点弦和通径 通径是焦点弦中最短的弦 通径 AB 2p 设AB是抛物线y2 2px p 0 过焦点F的一条弦 设A x1 y1 B x2 y2 AB的中点M x0 y0 过A B M分别向抛物线的准线作垂线 垂足为A1 B1 M1 则 A x1 y1 1 AB x1 x2 p 2 x1x2 y1y2 p2 5 证明 以AB为直径的圆与准线相切 y2 2px p 0 AM1B Rt A1FB1 Rt N 练习1 已知抛物线方程为y2 4x 直线l过定点P 2 1 斜率为k 则k为何值时 直线l与抛物线y2 4x只有一个公共点 有两个公共点 没有公共点呢 提出问题过抛物线的焦点的一条直线和抛物线相交 两交点的纵坐标为 求证 焦点弦的其中一条性质 探究1过焦点的直线具有上述性质 反之 若直线AB与抛物线的两个交点A B的纵坐标为 且 那么直线AB是否经过焦点F呢 探究2既然过抛物线焦点的直线与其相交 交点的纵坐标的乘积是一个定值 那么过抛物线对称轴上其他任意一定点 是否也有这个性质呢 探究3设抛物线上两动点 且满足 问AB是否恒过某一定点 探究4设抛物线上两动点 且满足 求AB中点P的轨迹方程 探究5设抛物线上两动点 O为坐标原点 OA OB 则直线AB是否过定点 求AB中点P的轨迹方程 探究6设抛物线上两动点 M为该抛物线上一定点 且MA MB 则直线AB是否过定点 探究7若M为抛物线上一个定点 A B是抛物线上的两个动点 且 r为非零常数 求证 直线AB过定点 将 探究6 的 直线MA与直线MB的倾斜角之差为900 变为 直线MA与直线MB的倾斜角之和为900 即 r 1 直线AB过定点 将 探究6 的 直线MA与直线MB的倾斜角之差为900 变为 直线MA与直线MB的倾斜角之和为1800 直线AB不过定点 但可得到 探究8若M为抛物线上一个定点 A B是抛物线上的两个动点 且直线MA与直线MB的倾斜角互补 求证 直线AB的斜率为定值 设计意图 培养学生研究数学问题的一般思想方法 一是考虑原命题的逆命题是否成立 二是考虑能否把原命题进行一般推广 三是考虑从原命题条件中还能推出什么结论 四是考虑把原命题进行适当变式进行拓展 问题 2004年北京卷理 过抛物线上一定点 作两条直线分别交抛物线于 当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时 求的值 并证明直线AB的斜率为非零常数 变式1过抛物线上一定点 作两条直线分别交抛物线于 若直线AB的斜率为定值 证明直线PA与PB的倾斜角互补 设动直线AB y x b与抛物线相交于两点 问在直线MN x 2上能否找到一定点P 坐标与b的值无关 使得直线PA与PB的倾斜角互补 变式2 变式3如图 抛物线 过点P 1 0 作斜率为k的直线l交抛物线于A B两点 A关于x轴的对称点为C 直线BC交x轴于Q点 当k变化时 探究点Q是否为定点 练习1 如图 定长为3的线段AB的两端点在抛物线y2 x上移动 设线段AB的中点为M 求点M到y轴的最短距离 练习2 正三角形的一个顶点位于坐标原点 另外两个顶点在抛物线y2 2px p 0 上 求这个三角形的边长 变式 已知在抛物线y x2上三个点A B C组成一个等腰直角三角形 且顶点B是直角顶点 1 设直线BC的斜率为k 求顶点B的坐标