传染病模型及其定性研究.doc

传染病模型及其定性研究 摘要 本文依据通常的传播机理建立了传染病的基本模型以及推广到更复杂的模型.并运用微分方程进行了研究分析，得到的结果对控制传染病的流行、根除传染病的方法等都具有重要的惫义。我们运用了传染病模型来处理问题，主要有SI模型SIS模型SIR模型和MATLAB软件来进行解决问题和研究的。 对于SI模型：（1）当时，达到最大值，则此时病人增速最快。（2）当时，即所有的人被传染，全部变为病人，这显然是不符合实际的，其原因是没有考虑到病人可以治愈，人群中的健康者只能变为病人，而病人不会变为健康者。 对于SIS模型：（1）时，病人比例越来越少， 最终趋于零，这是因为传染期内经有效接触从而使健康者变为病人数不超过原来病人数的缘故。（2）时，病人比例增减性是由来决定，其极限值随着的增加而增加。 对于SIR模型：1）不论初始条件，如何，病人比例越来越少，最终消失。（2）最终未被感染的健康者的比例是，在中。令时，的单根即为：最终未被感染的健康者的比例。在图像上：相轨线与轴在内交点的横坐标。（3）当时传染病不会蔓延。所以提高医疗卫生水平，从而使变大，也可降低，则，即使免疫者比例增大。这其实是比较困难的。如，。关键词：传染病 SI模型 SIS模型 SIR模型 MATLAB软件 一 问题重述 现代医学科学的发展已经能够有效地预防和控制诸如天花、麻风、麻疹等许多的传染病。但是，仍然有象流感、肝炎、痢疾等传染病暴发或流行的报道，这些病的流行严重地影响着人类的生存质量和工作效率。而一种更为险恶的传染痢爱滋痢则正跨越国界在世界范围内蔓延开来，对人类造成了极大的危害。因此，人们越来越重视对传染痢的传播过程、预防和控制的研究。传染病传播过程的研究与其它学科有很大不同，不可能通过在人群中作实验的方式获得数据，有关传染痢的数据、资料只能从已有的传染病流行的报告和记录中获取，而这些数据往往是不够全面和充分的，很难以很据这些数据准确地确定某些参数和进行预报工作。试建立传染病的数学模型，并对传染病的预防、控制及传播规律提出建议和预测。 二 符号说明 总人数； 为某一时刻； 易感者（占总人数比例）； 已感染者（占总人数比例）；, 分别是在时，健康者和病人所占人数的比例； 每个病人每天有效接触的平均人数； 病人每天被治愈的占病人总数的比例； 三 模型的建立与求解1 模型1：SI模型 根据前而的分析和假设，可知在t时刻，总人数中有个病人，而每个病人每天接触的几个人中有个健康者通过与病人的有效接触成为病人。这样，每天共有个健康者被感染感染，于是就是病人数的增长率。即: （1） 化简的： （2）又+=1，所以（2）可以写成： （3）这就是我们建立的模型，它是一个一阶的具有初值条件的微分方程，一般称为模型。容易求出它的解为: (4)和的图形如下所示： 图1 图2所谓传染的高峰期，即病人总数增加最快的时刻，亦即达到最大值的时刻。由(3)可知，当时，最大。将代入（4）可得： 解除为： 显然就是预示着传染病高峰的到来，医疗、卫生部门应在这时期做好药品和床位等准备工作。 由的表达式可知，它与又成反比，即又越小越大。注意到日接触率是该地区卫生水平的综合体现，因此，改善医疗保健设施、提高卫生水平和人们的防病觉悟可以推迟传染病传染高峰的到来。由(4)很容易得到: 这表明随着时间的推移，病人的比例将成为百分之百，即所有人终将被感染得病，这显然不太符合实际情况。由此看来模型需做进一步的改进。1.1 SI模型假设与建立1.1.1 模型假设：（1）时刻人群分为易感者（占总人数比例的）和已感染者（占总人数比例的）（2）每个病人每天有效接触的平均人数是常数，称为日接触率，当健康者与病人接触时，健康者受感染成为病人。1.1.2 模型建立：根据假设，每个患者每天可以使个健康者变为病人，因为病人数为，所以每天共有个健康者变为病人。即：，且，设初始时刻病人比例为，则： 1.2模型的求解 用MATLAB解此微分方程： syms a b f=dsolve(DI=a*I*(1-I),I(0)=b,t)f = 1/(1-exp(-a*t)*(-1+b)/b) %当时，分别在坐标系中作出的图像，坐标系中作出的图像， a=0.1; b=0.09; h=dsolve(DI=a*I*(1-I),I(0)=b,t)h =1/(1-exp(-a*t)*(-1+b)/b) f=subs(h)f =1/(1+91/9*exp(-1/10*t)的图像 ezplot(f,0,60) grid on figure (2) fplot(0.1*I*(1-I),0,1) grid on 的图像模型分析：（1）当时，达到最大值，则此时病人增速最快。 （2）当时，即所有的人被传染，全部变为病人，这显然是不符合实际的，其原因是没有考虑到病人可以治愈，人群中的健康者只能变为病人，而病人不会变为健康者。2 模型2：SIS模型建立与求解 建立模型的过程未考虑病人可以治愈的情况。 有些传染病如伤风、痢疾等愈后免疫力很低，可以认为无免疫力。这类病人被治愈后成为健康者，且还可以二度再被感染变为病人。这样在模型假设的基础上，再添加一个假设: 病人每天被治愈的人数占病人总数的比例为，称为日治愈率。病人治愈后成为仍可被感染的健康者。显然是这种传染病的平均传染期。 这样每夭有产个病人被治愈成为健康者，因而有 即： （5）这就是病人治愈后无免疫力情况的数学模型，此模型也称为模型。它的解可表示为: (6) 注意到和的实际意义，并令，可知是在一个传染期内每个病人有效接触的平均人数，称之为期内接触数。由（6）容易得到，当时， （7）据(6)和(7)可画出的图形如图3。 再来看看传染的高峰期。由(5)易知，当时，时，达到最大值。将此值代入（6）中时的表达式： 图3 当，且时，可解得，当，或时，无值。由此我们可知:当或时，不会出现传染高峰期。显然这是合理的，因为此时日接触率小于治愈率。即每个病人在传染期内接触的人数小于1，这几乎相当于在传染期将病人完全隔离，当然也就造不成此病的大流行只有当，且时，才会出现传染的高峰期，由的表达式可知与，成反比，即减少传染期内病人的接触数或提高治愈率均可推迟传染高峰期的到来。由模型时的及所对应的和 乙模型的和对应的可看出，考虑治愈情况后，高峰期时病人所占比较不考虑治愈情况要小，而高峰期到来的时刻较后者一般要晚。由以上分析可看到期内接触数是一个或值。当时，病人比例越来越小，最终趋于零。这是由于传染期内经有效接触从而使健康者变成病人数不超过原来病人数的 缘故。当时，的增减性取决于的大小。当时，传染病的流行有一传播高峰，病人比例会递增但趋于常数；当时，传染病的传。没有高峰期，病人比例逐渐减少趋于。因此，我们仍可通过提高治愈率或减少日接触率来降低的值，从而降低人群中病人的比例。显然模型可视为模型中的情况。我们再来考虑病人被治愈后具有很强的免疫力的情形。比如天花、麻疹、甲肝等传染病就是这种情况。病愈的人因有了对此种传染病很强的免疫力，因此他们既然不是健康者(易感染者)也不是病人(已感染者)，他们已退出传染系统，我们称他们为移出者。这时人群应分成三类:易感染者、已感染者和病愈免疫的移出者。假设三类人在t时刻占总人数的比例分别为，和，显然应有。2.1 SIS模型假设与建立：2.1.1 模型假设：（1）时刻人群分为易感者（占总人数比例的）和已感染者（占总人数比例的）（2）每个病人每天有效接触的平均人数是常数，称为日接触率，当健康者与病人接触时，健康者受感染成为病人。（3）病人每天被治愈的占病人总数的比例为，称为日治愈率，显然为这种传染病的平均传染期。则。2.1.2 模型建立 建立微分方程模型为：2.2 模型求解： 用MATLAB解此微分方程： h2=dsolve(DT=a*I*(1-I)-c*I,I(0)=b,t)h2 =(a-c)/(a-exp(-(a-c)*t)*(-a+c+b*a)/b/(a-c)*a+exp(-(a-c)*t)*(-a+c+b*a)/b/(a-c)*c) pretty(h2) / exp(-(a - c) t) (-a + c + b a) a (a - c)/|a - - b (a - c) exp(-(a - c) t) (-a + c + b a) c + -| b (a - c) /化简：即：当（1）时，;（2）时， clear h2=dsolve(Dy=a*y*(1-y)-a*y,y(0)=b,t)h2 =1/(a*t+1/b)即：。定义：一个传染期内每个病人有效接触的平均人数。则：，用MATLAB作图像：令，（） clear a=0.01;b=0.7;c=0.05; h2=dsolve(DI=a*I*(1-I)-c*I,I(0)=b,t); h22=subs(h2) h22 = -1/25/(1/100-47/700*exp(1/25*t) ezplot(h22,0,120) grid on的图像令，分别作图（） a=0.3;b=0.7;c=0.15; h2=dsolve(Dy=a*y*(1-y)-c*y,y(0)=b,t); h23=subs(h2) h23 = 3/20/(3/10-3/35*exp(-3/20*t) subplot(2,1,1) ezplot(h23,0,25) grid on b=0.3; h24=subs(h2); subplot(2,1,2) ezplot(h24,0,25)grid on的图像（上面，下面）模型分析：（1）时，病人比例越来越少，最终趋于零，这是因为传染期内经有效接触从而使健康者变为病人数不超过原来病人数的缘故。（2）时，病人比例增减性是由来决定，其极限值随着的增加而增加。3 模型3：SIR模型建立与求解对移出者来说应有 （8）记初始时刻健康者、病人的比例分别为和，且不妨设移出者的比例，这样可得楼型为: (9)对于方程(9)，无法求出,的解析解，我们转到相平面上来讨论解的性质。相轨线的定义域应为: (10)在()中消去并注意到的定义可得： （11）用分离变量法可求出(11)的解为: （12）下面分析,随时间的推移其变化的规律。由,而，可知递减有下界，因此存在。由和，可知递减有下界，故也存在。而,故也存在。若,则由可知：对于充分大的，有,故。这与存在矛盾，所以,这表明不论初始值如何，病人比例将趋近于0。由得,且当时，时，由以上讨论可画出平面上相轨线如图5所示：由图5不难看出当初始值时，传染病不会大流行，病人比例一直在减少并逐渐，失。面当时，病人比例先增加，传染病在流行，健康者的比例在减少，当减少至时，病人在人群中的比例达到最大，然后逐渐减少（因愈后免疫者的人数也在增加）至零。由此可知在模型中，也是一个或值。要想控制传播病的流行，应控制使之小于或值。 图53.1 SIR模型假设与建立3.1.1 模型假设：（1）人群分为健康者，其比例、病人、病愈免疫的移出者。（2）病人的日接触率为，日治愈率为，传染期接触数为。3.1.2 模型建立则，对于病愈者而言，设初始时刻的健康者和病人的比例为和，则建立微分方程模型为：由于此微分方程组的解析解无法求出，则转为相平面上讨论解的性质。相轨线的定义域应为：，由方程组消去并将得：3.2 模型求解用matlb求解： dsolve(Dy=1/cma/s-1,y(s0)=y0,s)ans =1/cma*log(s)-s-1/cma*log(s0)+s0+y0 pretty(ans) log(s) log(s0) - - s - - + s0 + y0 cma cma即（相轨线）定义域内，时，分别取，在同一直角坐标系中作出其图像： cma=1;y0=0.3;s0=0.65; clear f=dsolve(DI=1/cma/s-1,I(s0)=y0,s); cma=1;y0=0.3;s0=0.65; f1=subs(f); ezplot(f1,0,1) hold on I0=0.4;s0=0.35; f2=subs(f); ezplot(f2,0,1) hold on I0=0.5;s0=0.45; f3=subs(f); ezplot(f3,0,1) hold onSIR模型的相轨线 I0=0.7;s0=0.25; f4=subs(f); ezplot(f4,0,1) hold on ezplot(1-s,0,1) grid on模型分析：（1）不论初始条件，如何，病人比例越来越少，最终消失。（2）最终未被感染的健康者的比例是，在中。令时，的单根即为：最终未被感染的健康者的比例。在图像上：相轨线与轴在内交点的横坐标。（3）当时传染病不会蔓延，（如最左边的曲线，随着的增加，病人数在减小）。所以提高医疗卫生水平（使日接触率减小或者使日治愈率增大），从而使变大，也可降低（设，则），则，即使免疫者比例增大。这其实是比较困难的。如，。 四 模型的检验 如甲型H1N1流感传播模型研究为例对模型进行检验： 美国甲型H1N1流感实验室确认病例数量：时间确诊（包括死亡病例）死亡（累计）4月23日504月24日804月25日1104月26日2004月27日4004月28日6404月29日9104月30日10915月1日14115月2日16015月3日22615月4日27915月5日40315月6日64225月7日89625月8日163925月9日225425月10日253235月11日260035月12日300935月13日335245月14日429845月15日47144易感者和发病者有效接触后成为发病者者。设每个发病者平均每天有效接触的易感者数为，个发病者平均每天能使个易感者成为病毒潜伏者。所以有： （1）单位时间内退出者的变化等于发病人群的减少，即 （2）发病人群的变化等于易感人群转入的数量，即 （3） 记初始时刻的健康者和病人的比例分别为、（不妨设=0）。模型求解方程组（1）、（2）、（3）无法求出解析解，我们定义一个新的变量 ，于是可以求出方程的解为： （4） 下面分析s(t)、i(t)、r(t)的变化情况：a、不论初始条件、如何，病人最终将消失，即。b、最终未被感染者的健康者的比例是，是方程在内的根。C、若，则开始有：先增加。当时，达到最大值，然后减小且趋于零，则单调减小至。d、若，则单调减小至5，则单调减小至。我们发现人们的卫生水平越高，日接触率越小；医疗水平越高，日治愈率越高，于是越小，所以提高卫生水平和医疗水平有利于传染病的蔓延。结合美国的具体情况和假设条件进行分析：根据所得的数据画出美国患病人数变化曲线和治愈人数变化曲线： 根据图形来看，甲型h1n1流感在美国呈现出蔓延的形式，即现在属于的情况，即 。由假设条件可知的取值范围在之间。现在我们取=1.6，则表示，即美国每天平均治愈的人数最多为1.6人，这与美国疾病预防与控制中心所发布的数据不同。如果美国平均每天治愈1.6个人的话，那么从4月23日期，治愈的总人数为人，这与实际的情况相差甚远。产生这个问题的原因有以下几个方面：第一：对每个病人每天有效接触的平均人数估计值偏小。不是简单的成正比关系，应该是成多次方关系，甚至是指数关系。第二：美国疾病预防与控制中心所得到的数据具有滞后性。第三：在美国不一定成立。可以把那些身体强壮的、注意自己个人卫生的人排除在外。 五 模型的推广与应用 通过对模型的分析可知，要控制愈后有免痊力的此类传染病的流行，可通过两个途径使条件成立。一是提高卫生和医疗水平，使或值变大，但这并不是一朝一夕的事，往往需要诸多方面的努力和配合;另一途径是通过降低来控制传染病的蔓延。由可得到要想减小可通过提高来实现。 忽略病