数学实验第五章数据拟合2010年四年级

第五章数据拟合 1 拟合的概念 2 拟合的方法和MATLAB编程实现 3 调用MATLAB命令实现拟合 4 范例 在一项工程实践中 通过观测 得到了一个离散的函数关系 xi yi i 1 2 n 由于工程的需要 我们希望揭示出反映这组离散数据的一个解析的函数关系 用几何术语来表达 根据平面上的观测点 要求确定一个函数曲线y f x 使曲线尽量接近这些点 实现这个愿望的方法简称为曲线拟合 fittingacurve 5 1导言 在生产实践和科学实验中 经常会遇到大量的不同类型的数据 data 这些数据提供了有用的信息 可以帮助我们认识事物的内在规律 研究事物之间的关系等 曲线拟合是根据实验获得的数据 建立自变量与因变量之间的函数关系 为进一步的深入研究提供线索 5 2引例 浓度变化规律在化学反应中 为研究某化合物的浓度随时间的变化规律 测得一组数据如表5 1 曲线拟合与函数插值都是要根据一组二维数据 xi yi 构造一个函数作为近似 由于近似的要求不同 是否通过观测点 二者在数学方法上有所不同 希望通过本章的学习 读者能掌握一些曲线拟合的基本方法 弄清楚曲线拟合与插值方法之间的区别 学会使用MATLAB软件进行曲线拟合 表5 1 t时间12345678y浓度46 48 08 49 289 59 79 86t时间910111213141516y浓度1010 210 3210 4210 510 5510 5810 6 表5 1中的数据反映了浓度随时间变化的函数关系 它是一种离散关系 若需要推断第20 40分钟的浓度值 就要用一个解析的函数y f t 来拟合表5 1中的离散数据 然后再算浓度f 20 f 40 首先将这些离散数据描绘在直角坐标系下 得到散点图 然后观察浓度与时间之间呈现什么规律 图5 1 浓度y随时间t呈 抛物线 二次函数 状 变化 根据散点图 可以认为y与t的函数为y a bt ct2 其中a b c为待定 称为参数 参数的选择需要科学的方法和实验修正 提示 函数形式确定以后 关键是要确定函数中含有的待定参数a b c 常用的方法是最小二乘法 methodofleastsquares 下面介绍该方法的基本原理 5 3最小二乘法 平面上的点 xi yi i 1 2 n 揭示出一个离散的函数关系 设连续可微的函数y f x 很接近上述离散的函数关系 一般来说 最小 因此 我们的愿望是 如何选取f x 的系数使得 yi f xi i 1 2 n 这就是函数拟合的最小二乘法问题 这一愿望的几何意义如图 设对数据点 我们选定了二次多项式 代入xi于是有 寻求最合适的参数 使得 最小 即求 记 数学分析的解法 求偏导数 确定极小值 得到关于a b c的函数 令3个偏导数为零 有 得到关于a b c的线性方程组 MATLAB实现 x 1 16 y 46 48 08 49 289 59 79 861010 210 3210 4210 510 5510 5810 6 a11 16 a12 sum x a21 a12 a13 sum x 2 a31 a13 a22 a13 a23 sum x 3 a32 a23 a33 sum x 4 A a11a12a13 a21a22a23 a31a32a33 b1 sum y b2 sum y x b3 sum y x 2 b b1 b2 b3 X A b得常数项4 3252 一次项系数1 0711 二次项系数 0 0445 5 4曲线拟合的MATLAB实现 MATLAB软件提供基本的曲线拟合函数的命令 多项式函数拟合 a polyfit xdata ydata n 其中 xdata ydata 为观测数据 n表示多项式的最高阶数 输出参数a a1 an an 1 与多项式f x a1xn anx an 1对应 例如 引例中的问题t 1 16 y 46 48 08 49 289 59 79 861010 210 3210 4210 510 5510 5810 6 a polyfit t y 2 a 0 04451 07114 3252即拟合函数为f t 0 0445t 2 1 0711t 4 3252这一结果与我们采用数学分析的方法得到的结果一致 对函数的拟合效果如何检测呢 仍然以图形来检测 我们将散点与拟合曲线画在一个画面上即可看出 xi linspace 0 16 160 yi polyval a xi plot x y o xi yi 图略 右图是以8次多项式拟合的效果a polyfit t y 8 xi linspace 0 16 160 yi polyval a xi plot t y o xi yi g 给出多项式的系数a 计算多项式函数的值 一般的曲线拟合 p lsqcurvefit Fun p0 xdata ydata xdata ydata 是观测数据 对于这组观测数据我们选择了自认是拟合效果比较好的函数形式f x 其中参数以字母表示 取值待定 我们把这个函数形式写入名为Fun的M文件 例如 拟合函数为y ae bx ce dx 编写M文件ex mfunctiony ex p x y p 1 exp p 2 x p 3 exp p 4 x 自变量写为x 在lsqcurvefit命令中由xdata传递 待定参数写为p 1 p 2 我们对待定参数应有一个大致的估计 体现在拟合命令lsqcurvefit中的初始向量p0 调用后返回的p就是按照最小二乘原则求得的待定参数 这时再把p的分量对位代入函数形式的相应位置 就得到了完整的拟合函数 min p sum fun p xdata ydata 2 lsqcurvefit 命令的求解原理是 在所有可能的参数p中挑选使sum最小的 函数法则 待定参数p 观测到的函数值序列 观测到的自变量序列 例如 x 0 0 1 1 y 4 00002 82972 01831 45241 05500 7739 0 57330 42900 32420 24730 1903 绘图认识观测数据体现的函数关系 plot x y 若要求解点x处的函数值可用程序f ex p x 计算 如x 0 0 1 1 y ex p x plot x y 选择函数形式y ae bx ce dx 编写M文件ex mfunctiony ex p x y p 1 exp p 2 x p 3 exp p 4 x 调用p lsqcurvefit ex 1214 x y 拟合函数为y p 1 exp p 2 x p 3 exp p 4 x x 00 31420 62830 94251 25661 5708 1 88502 19912 51332 82743 1416 y 01 61801 90210 6180 1 1756 2 0000 1 17560 61801 90211 61800 0000 课堂练习 对下述观测数据 给出拟合函数 提示 1 绘图估计解析关系2 建立解析关系的M文件3 调用lsqcurvefit命令4 针对解析关系绘图 与观测点对比 评价拟合函数优劣 5 6实验 5 6 1实验一 拟合Malthus人口指数增长模型中的参数 1790 1980年间美国每隔10年的人口记录如表5 3 表5 3 年份1790180018101820183018401850人口 106 3 95 37 29 612 917 123 2 年份1860187018801890190019101920人口 106 31 438 650 262 976 092 0106 5年份193019401950196019701980人口 106 123 2131 7150 7179 3204 0226 5 用以上数据检验马尔萨斯 Malthus 人口指数增长模型 求解下面的微分方程 根据检验结果进一步讨论马尔萨斯人口模型的改进 Malthus模型的基本假设是单位时间上的人口的增长率为常数 记为r 记时刻t的人口为x t 即x t 为模型的状态变量 且初始时刻的人口为x0 于是得到如下微分方程 提示 需要先求微分方程的解 再用拟合模型的参数 5 6 2实验二 旧车价格预测 某年美国旧车价格的调查资料如表5 4 其中xi表示轿车的使用年数 yi表示相应的平均价格 试分析用什么形式的曲线来拟合上述的数据 并预测使用4 5年后轿车的平均价格大致为多少 表5 4 xi12345678910yi2615194314941087765538484290226204 5 6 3实验三 经济增长模型 增加生产 发展经济所依靠的主要动力有 在研究国民经济产值与这些因素的数量关系时 由于技术水平不像资金 劳动力那样容易定量化 作为初步的模型 可认为技术水平不变 只讨论产值和资金 劳动力之间的关系 即给出 增加投资增加劳动力以及技术革新等因素 产值 f 资金 劳动力 用Q K L分别表示产值 资金 劳动力 即寻求 Q Q K L Cobb Douglas生产函数 式中要由经济统计数据确定 现有美国马萨诸塞州1900 1926年上述三个经济指数的统计数据 如表5 5 试用数据拟合的方法 求出 式中的参数 两边同乘以L得 首先分析一个劳动力分摊的资金K L与他创造的产值Q L 一般化 就得到 通常Q L是随着K L的增加而递增的 但增速递减 因此有 表5 5 由于 式对参数是非线性的 因此 可以有两种方式进行拟合 一是直接使用MATLAB软件中的曲线或曲面拟合命令 另一个是将非线性函数转化成线性函数的形式 使用线性函数拟合 提示 参考文献 1 郭锡伯 徐安农 高等数学实验课讲义 中国标准出版社 1998年 2 李尚志等 数学建模竞赛教程 江苏教育出版社 1996年 3 谭永基等 数学模型 复旦大学出版社 1998年 关于cobb douglus生产模型的参数拟合 functionf stu12 p KL f p 1 KL 1 p 2 KL 2 p 3 以stu12为名存盘退出 第一步建立生产函数的M文件 参照 k 1 041 061 161 221 271 371 441 531 572 052 512 632 742 823 243 243 614 104 364 774 754 544 544 584 584 584 54 l 1 051 081 181 221 171 301 391 471 311 431 581 591 661 681 651 621 861 931 961 951 901 581 671 821 601 611 64 q 1 051 181 291 301 301 421 501 521 461 601 691 811 931 952 012 002 091 962 202 122 162 082 242 562 342 452 58 第二步 建立主程序Main m plot3 k l q r holdonKL k l p0 10 10 5 p lsqcurvefit stu12 p0 KL