中考数学专题复习：三角板、直尺在中考试题中的应用（部分含解析）.doc

三角板、直尺在中考试题中的应用 一、三角板与直尺的叠放 例1 如图，将三角板的直角顶点放在直尺的一边上，130，250，则3的度数为( )(A)80 (B)50 (C)30 (D)20答D点评 通过把三角板、直尺结合，利用三角板的特殊角、直尺平行的特性，既考查了构建数学模型的能力，又考查了相关数学知识 二、一副三角板的叠放 例2 将三副三角板如图6所示叠放在一起，若AB14cm，则阴影部分的面积是_cm2答： 点评 通过两个三角板的组合，融知识应用的综合性、交汇性、灵活性于一体，这类试题的知识源于生活，思维能力高于教材 三、三角板应用于锐角三角函数问题例3 腾飞中学在教学楼前新建了一座“腾飞”雕塑为了测量雕塑的高度，小明在二楼找到一点C，利用三角板测得雕塑顶端A点的仰角为30，底部B的俯角为45，小华在五楼找到一点D，利用三角板测得A点的俯角为60(如图3)若已知CD为10米，请求出雕塑AB的高度(结果精确到0.1米，参考数据1.73) 分析 过点C作CEAB于E由三角板的特殊角可知： D906030， ACD903060， CAD90 由CD10，可知ACCD5 在RtACE中， AEACsin ACE5sin 30， CEACcos ACE5 cos 30； 在RtBCE中， BECE 所以ABAEBE (1)6.8(米) 点评 本题利用三角板刻画了传统的仰角、俯角的概念立意新颖，锻炼了学生利用自己手头工具解决实际问题的能力 四、三角板应用于图形的旋转变换 例4 如图4，在RtPOQ中，OPOQ4，M是PQ的中点，把一角板的直角顶点放在点M处，以点M为旋转中心，旋转三角板，三角板的两直角边与POQ的两直角边分别交于点A、B (1)求证：MAMB；(2)连结AB，探究：在旋转三角板的过程中，AOB的周长是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由 分析 要证MAMB，只需证明这两条线段所在的三角形全等，因此，过点M作MEOP于点E，MFOQ于点F，由O90得四边形OEMF是矩形由于M是PQ的中点，OPOQ4， 所以，当x2，即点A为OP的中点时，AOB的周长有最小值，最小值为42 点评 本题利用三角板的灵活性，为图形的旋转变换、全等变换增添了新鲜血液，使得数学题型更加富有活力，更有利于学生思维的发展 五、三角板应用于反比例函数问题例5 在直角三角板中，BC2若将此三角板的一条直角边BC或AC与x轴重合，使点A或点B刚好在反比例函数y(x0)的图象上时，设ABC在第一象限部分的面积分别记做S1、S2(如图5(1)、(2)所示)D是斜边与y轴的交点，通过计算比较S1、S2的大小分析 如图5(1)，根据含30的直角三角形的性质，可知S1S2 点评 本题是反比例函数、锐角三角函数的综合题，利用三角板的可移动性，根据反比例函数的性质，结合图形计算了四边形的面积 六、三角板应用于代数几何综合题 例6 在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板放在第一象限，斜靠在两坐标轴上，且点A(O，2)，点C(1，0)，如图6所示，抛物线yax2一ax2经过点B (1)求点B的坐标；(2)求抛物线的解析式；(3)在抛物线上是否还存在点P(点B除外)，使AACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点P的坐标；若不存在，请说明理由 分析 (1)首先过点B作BDx轴，垂足为D，易证BDCCAO所以BDOC1，CDOA2，从而点B的坐标为(3，1) (2)利用待定系数法即可求得二次函数的解析式为yx2x2(3)假设存在点P，使得ACP是直角三角形如图6(1)，若以AC为直角边，点AC为直角顶点，则延长BC至P1，使得P1CBC，得到等腰RtACP1经检验P1在抛物线yx2x2上 如图6(2)，若以AC为直角边，点A为直角顶点，则过点A作AP2CA，且使得AP2AC，得到等腰RtACP2 过点P2作P2Ny轴，同理可得P2(2，1) 经检验P2(2，1)也在抛物线yx2x2上 如图6(3)，若以AC为直角边，点A为直角顶点，则过点A作AP3上CA，且使得AP3AC，得到等腰RtACP3 过点P3作P3Hy轴，同理可得P3(2，3) 经检验P3(2，3)不在抛物线yx2x2上 故符合条件的点有两点： P1(1，1)，P2(2，1) 点评 此题是中考压轴题，考查了全等三角形的判定与性质，待定系数法求二次函数的解析式，等腰直角三角形的性质等知识解题的关键是要注意数形结合思想、方程思想与分类讨论思想的应用 七、直尺应用于代数几何综合题 例7在平面直角坐标系中，抛物线过原点O，且与x轴交于另一点A，其顶点为B，孔明同学用一把宽为3cm带刻度的直尺对抛物线进行如下测量； 量得OA3cm； 把直尺的左边与抛物线对称轴重合，使得直尺左下端点与抛物线的顶点重合(如图7(1)，测得抛物线与直尺右边的交点C的刻度读数为4.5 请完成下列问题： (1)写出抛物线的对称轴； (2)求抛物线的解析式；(3)将图中的直尺(足够长)沿水平方向向右平移到点A的右边(如图7(2)，直尺的两边交x轴于点H、G，交抛物线于点E、F求证：S梯形EFGH（EF29） 分析 (1)由于O、A关于抛物线对称轴对称，且OA3cm，由此可求得抛物线的对称轴为x (2)根据点O、A的坐标，可将抛物线解析式设为yax(x3)，在(1)题求得了抛物线的对称轴，即可得到B、C两点的横坐标，分别代入抛物线的解析式中，表示出它们的纵坐标，从而B(，a)、C(，a)根据C、B的纵坐标差为4.5即可列方程求出待定系数的值，从而确定抛物线的解析式为：(3)可设出E点的横坐标为m，进而根据直尺的宽度得到F点的横坐标为n，根据(2)题所得抛物线，即可表示出