非线性系统的分析_相平面1

3-3 相平面法,相平面法是基于时域的一种图解分析方法。是状态空间法在二维情况下的应用。,二阶时不变系统(可以是线性的，也可以是非线性的)一般可用常微分方程 来描述。 式中，设输入信号为零， 表示系统中的某一个物理量， 是 和 的解析函数。,控制系统的任一动态过程可由状态变量 来表示。,一、相平面的基本概念,1.相平面:以 和 为横轴和纵轴构成的坐标平面.,2.相点:相平面上任一点,3.相轨迹: 对二阶系统来讲，从某一初始状态出发，以时间t为参变量，便可画出一条连续变化的相轨迹。,4.相轨迹特点: 与初始点(状态)密切相关. 可以不直接求出微分方程而获得系统所有运动状态.5.相轨迹判断系统稳定性,二、相平面图绘制方法,1.解析法:适用于微分方程简单(二阶)或可分段线性化.,设二阶系统,(*),若令,则,直接积分,便解出相轨迹方程,并由此画出相轨迹。,整理上式并积分,其中,上式表示一族封闭椭圆，说明:=0时的状态为临界稳定，但实际中不存在，将随时间不是发散就是收敛。,例：如无阻尼二阶系统,令 则,，设初始条件为,等倾线方程,满足相轨迹上的切线斜率为a,画图原理： 据不同的斜率a可画出等斜线方向场（分布）可证明不同a不相交，则对确定初始点 沿等斜率切线变化规律唯一。这样便可画出相轨迹（近似）,画图步骤：,ii.作等倾线分布图,iii.从初始点出发,沿相邻等倾线间的,平均斜率依次作短直线便可画得。,i.求出等倾线方程,相轨迹必然以a的斜率经过等斜线。,说明：等倾线未必都是直线，另外，为保证精度，等倾线分布要有适当密度，密度可不一样。,例如,令,等斜线方程:,等斜线分布图.相轨迹 A点,直线段交 = 1.2线于B.,1,三.相轨迹和相平面图的性质 1)相轨迹的斜率 若相轨迹上任意一点的斜率为 ，则,2)相轨迹的对称性 按照图形对称的条件，关于横轴或纵轴对称的曲线，其对称点处的斜率大小相等，符号相反；关于原点对称的曲线，其对称点处斜率大小相等，符号相同。,a,则相轨迹关于 对称(左右对称)。,则相轨迹关于 对称(上下对称) 。,则相轨迹关于原点对称。,的点称为奇点。设二阶系统 的平衡点在原点，即f(0,0)=0，则原点也是奇点。又设 在原点附近展成台劳级数,3)相平面图的奇点,奇点：相平面上同时满足,高阶无穷小量 可以省略，得到则该线性化系统的奇点的性质取决于特征根在复平面上的位置。设特征根为 ，根据 在复平面的位置，可以有以下几种情况：,一对具有负实部的共轭复根 每条相轨迹都以震荡方式无限地“卷向”平衡点，这种类型的奇点称为稳定焦点。,一对具有正实部的共轭复根 每条相轨迹都以震荡方式“卷离”平衡点，这种类型的奇点称为不稳定焦点。,特征根为两个负 实根 对应的相轨迹以非震荡方式趋聚于平衡点。这种类型的奇点称为稳定节点。,特征根为两个正实根 对应的相轨迹以非震荡方式从平衡点散出。这种类型的奇点称为不稳定节点。,特征根为一对共轭纯虚根，系统处于无阻尼运动状态，系统的相轨迹是围绕平衡点的一组封闭曲线。这种奇点称为中心点。,特征根为两个符号相反的实根。此时每条相轨迹都是先趋近平衡点，随后在尚未达到平衡点之前又远离平衡点而去，只有4条孤立的相轨迹除外，其中两条趋于平衡点，另两条从平衡点散出，这时奇点称为鞍点。,在非线性系统的相轨迹中，可能会存在特殊的相轨迹，将相平面划分为具有不同运动特点的多个区域，这种特殊的相轨迹就称为奇线。,极限环就是最常见的一种奇线，它是相平面上一条孤立的封闭相轨迹，而且附近的其他相轨迹都无限地趋向或者离开它。,极限环作为一条相轨迹来说，既不存在平衡点，也不趋向无穷远，而是一个无首无尾的封闭环圈。,4）极限环,如果起始于极限环内部和外部的相轨迹最终都趋于极限环上，则该极限环称为稳定的极限环，如图 (a)所示。当系统受到小扰动的作用而偏离极限环时，经过一段时间后，系统的状态又能回到极限环上。,因此，稳定的极限环上系统就表现为自激振荡。极限环横向与纵向的最大值分别对应自激振荡的振幅与最大变化率。,稳定的极限环,如图(b)所示。起始于极限环内部和外部的相轨迹，最终都卷离极限环。当系统受到很小的扰动而偏离极限环时，系统状态再也不会回到极限环上来，因此称为不稳定的极限环。,不稳定的极限环,半稳定的极限环 如果极限环两侧的相轨迹，一侧是卷向极限环，而另一侧卷离极限环，则该极限环称为半稳定的极限环，如图(c)与图(d)所示。,对于图(c)所示的系统显然是一个不稳定的系统，设计系统时应设法避免；而图(d)所示的系统则同不稳定的极限环一样，应使它的尺寸尽可能的大。,5）由相轨迹求时间增量,当相轨迹在 x 方向移动一个增量 时，如果在 区间 的变化不很剧烈，则可以把该区间内 的平均值 近似当成 x 在此区间内匀速变化的速度。这样就可以用下式近似求出该区间对应的时间增量 。,三线性系统的相平面分析,一阶线性系统自由运动微分方程为相轨迹方程为设系统初始条件为 ，则相轨迹图下图所示,二阶线性系统自由运动微分方程为当b0 时，上述方程可表示为特征根为相轨迹微分方程为,令 得到等倾线方程,当a2-4b0，且b0时，可得满足 k=a 的两条特殊的等倾线，其斜率为,该式表明，特殊的等倾线斜率等于位于该等倾线上相轨迹任一点的切线斜率，即当相轨迹运动至特殊的等倾线上时，将沿着等倾线收敛或发散，而不会,脱离该等倾线。下面就线性二阶微分方程参数 b0 的三种不同情况具体讨论，其相轨迹采用等倾线法或解析法绘制。 b0。 系统特征根,s1，s2为符号相反的互异实根，相平面图如下。,由图可知，图中两条特殊的等倾线是相轨迹，也是其他相轨迹的渐近线。当初始条件位于对应的相轨迹上时，系统的运动将趋于原点，但只要受到微小扰动，运动将偏离该轨迹，并沿着 相轨迹方向发散。因此b0时，相轨迹收敛并最终停止在 c 轴上；a0。由前面可知当b0时，方程可以表示为可得 根据 的选取，可以分为以下几种情况：,设 系统微分方程为特征根为两个具有负实部的共轭复根，系统稳定，过渡过程呈衰减震荡形式。,其等倾线方程为,特征根为两个不相等的负实根，系统的零输入响应为非震荡衰减形式，存在两条特殊的等倾线，其斜率为,相平面图如下图所示。当相轨迹初始点落在两条特殊等倾线上时，相轨迹沿该直线趋于原点；除此之外，相轨迹最终将沿着 的方向趋于原点。,系统特征根为两个相等的负实根。取其相平面图如下。与 相比，相轨迹的特殊等倾线蜕化为一条。,系统微分方程为特征根为两个共轭虚根 ，系统临界稳定，过渡过程为等幅震荡。改写系统方程为积分后得到相轨迹方程为,设 系统微分方程为特征根为两个具有正实部的共轭复根，系统不稳定，过渡过程震荡发散。等倾线为,设 系统微分方程为特征根为两个不相等的正实根，系统不稳定，过渡过程为非周期发散。等倾线方程为,系统特征根为两个相同的正实根，存在一条特殊的等倾线，系统相轨迹发散，相平面图如下图所示。,1）分段列写非线性系统微分方程2）在相平面上确定每一个微分方程所在区域及开关线。3）按照线性系统相轨迹的作法，分段求解相轨迹方程。4）在开关线上做好两条相轨迹的链接。注意，下一条相轨迹的初始条件是上一条相轨迹的终止条件。,四非线性系统的相平面分析,一般非线性系统利用分段线性微分方程来描述。,(1) 具有死区特性的非线性控制系统,取 作为状态变量，,因为 ，,给定参数T=1, K k =1，根据二阶线性系统相轨迹分析结果，可得奇点类型区域 I：奇点(-，0)为稳定焦点，相轨迹为向心 螺旋线( );区域 II：奇点(x，0)，x(-, )为稳定焦点， 相轨迹沿直线收敛；区域 I：奇点(，0)为稳定焦点，相轨迹为向心 螺旋线( );由零初始条件 和得到e(0)=R, 。相轨迹如下图所示：,若用比例环节 k =1 代替死区特性，即无死区影响时，线性二阶系统相轨迹如图中虚线所示。可以比较出死区特性对系统运动的影响。,(2) 具有饱和特性的非线性控制系统,图中系统初始状态为零，且,下面分别研究系统在 r (t)=R1(t) 和 r (t)=V0 t 作用下的相轨迹。,1） r (t)=R1(t) 。,A 为常数,相轨迹方程为,等倾线方程为为一簇平行于横轴的直线，其斜率 k 为零。当a=0 得 ，即为特殊的等倾线(k=a=0)。对于线性区域的奇点，求得为原点，且其特征根为负实部共轭复根，所以奇点是稳定焦点。由初始条件可知，e(0)=R， 。取R=2，绘制相轨迹如图所示。,2） r (t)=V0(t) 。,在线性区间，奇点 为稳