2013数学建模纸片拼接

碎纸片的拼接复原摘要目前，碎片的拼接技术广泛应用于司法物证复原、历史文物修复以及军事情报获取等领域。本文旨在研究碎纸片的复原，其中包括单面打印文件的纵切复原、单面打印文件的纵横切复原以及双面打印文件的纵横切复原。首先，对附件1-附件5中的图片数据进行处理。通过Matlab软件利用灰度函数imread将图片数据提取出来，并利用二进制数表示该像素的颜色：将灰度值为255的值置为1，代表白色区域；将灰度值小于255的值置为0，代表黑色区域。这样，便可得到每张图片的0-1矩阵。针对问题一，本文基于重合率先建立了基本模型一。第一，通过图片0-1矩阵最左列的值得出1所占的比例，比例最高的0-1矩阵所对应的图片为最左边的图片，从中可得附件1中最左边图片为008.bmp，附件2中最左边图片为003.bmp；第二，以最左边的图片的0-1矩阵的最右列值为准，通过遍历剩余图片的0-1矩阵中最左列的值，求出对应两列值的重合率，重合率最高值所对应的图片为相邻图片。然后，在模型一的启发下，基于0-1整数线性规划又建立了模型二，通过引入左右连接的0-1变量，把遍历逐步求出图片邻接关系变为求所有对接处相应向量差的二范数的平方和的最小值整体确定相应相邻的图片的模型求解。最后，模型一与模型二的结果对比表明，模型一与模型二对于问题一均可适用，而且两个模型启到相互检验作用，同时模型二具有较大的适用范围和益改进的性能。针对问题二，在意建立的0-1整数线性规划模型的基础上，通过增加上下连接的0-1变量，和增加采取每个碎片第一个完整字行道上边缘的高度，建立使用与问题的0-1整数规划模型，该模型对任意一个图片的所有边同时进行比对，通过所有对接处相应向量差的二范数的平方和的最小值，以及所有图片上边缘距离第一行黑色字体下边差的平方和的最小值确定相邻图片，对于不能自动拼接的图片进行人工干预。该模型下附件3、4中的图片均拼接成功。针对问题三，本文在问题二的0-1整数线性规划模型的基础上，通过把每个碎片的a面的左边向量与b面的右边向量对接，把a面的右边向量与b面的左边向量对接；a面的上边向量与b面的上边向量对接，把a面的下边向量与b面的下边向量对接；再分别引入每个碎片的右边和另一图片右边，左边和左边连接的0-1变量，建立出适用该问题的0-1整数规划模型，通过求解，求出左右，上下连接的小块，再通过人工干预，完成附件5碎片的拼接。 问题二、三都可以增加0-1变量的下标建立起求解问题优化模型，但由于规模增大太大，求解较为困难。所以在优化模型节的指导下，适当的人工干预，有助于问题的解决。关键词：0-1矩阵 重合率 0-1整数线性规划 人工干预1、 问题重述1.1主要内容目前，在司法物证复原、历史文物修复以及军事情报获取等工作中经常需要把大量的物体碎片拼接成一个或几个完整的物体。如果手工完成这些工作，不仅费时、费力，而且需要极大的耐性，还会对碎片造成二次损坏。近年来，随着计算机的发展，许多研究者试图开发碎纸片的自动拼接技术，以便提高拼接复原效率。1.2研究问题通过对附件1-附件5中图片数据的分析，建立模型并解决以下问题：（1） 对于给定的来自同一页印刷文字文件的碎纸机破碎纸片（仅纵切），建立碎纸片拼接复原模型和算法，并针对附件1、附件2给出的中、英文各一页文件的碎片数据进行拼接复原。如果复原过程需要人工干预，写出干预方式及干预的时间节点。 （2）对于碎纸机既纵切又横切的情形，请设计碎纸片拼接复原模型和算法，并针对附件3、附件4给出的中、英文各一页文件的碎片数据进行拼接复原。如果复原过程需要人工干预，写出干预方式及干预的时间节点。（3）问题（1）（2）中所给碎片数据均为单面打印文件，从现实情形出发，还可能有双面打印文件的碎纸片拼接复原问题需要解决。附件5给出的是一页英文印刷文字双面打印文件的碎片数据。请尝试设计相应的碎纸片拼接复原模型与算法，并就附件5的碎片数据给出拼接复原结果。2、 问题分析对于问题一，根据附件1、2中的图片数据可得，该问题需解决的拼接碎纸片仅是纵切，因此，方法一，首先可通过每个图片的0-1矩阵中最左列的值确定最左边的图片，然后以最左边的图片为准，通过0-1矩阵左右列值的重合度，遍历求出相邻图片。方法二，可通过0-1整数线性规划，通过求所有对接处相应向量差的二范数确定相邻图片。最后，比较两种方法的优缺点。 对于问题二，由附件3、4中的图片数据可得，该问题需解决的拼接碎纸片即纵切又横切，因此，该问题需要通过0-1整数线性规划法求解，对任意一个图片，从其四个边进行拼接。在拼接的过程中若出现异常，进行人工干预。对于问题三，该问题中的图片数据涉及正反两面，所以在拼接过程中通过求两图片间的左右列重合度，上下列重合度，以及正反面重合度，结合三方面重合度的大小确定相邻的图片。对于未能自动拼接的图片进行人工干预。3、 模型假设（1）假设每个附件中所给的碎纸片均在同一页文字文件。（2）假设纵横切均为齐切口，没有边缘损失。4、 符号说明：第个图片0-1矩阵最左列值中1所占的比例:0-1矩阵最左列值中1所占比例最大值：第个图片0-1矩阵最左列值中1的个数：第个图片与第个图片左右列的重合率：第个图片与第个图片左右列的最大重合率：第个图片与第个图片左右列重合的个数：第个图片上边缘白色（或黑色）占图片的比例：第个图片上边缘白色（或黑色）点的个数：每个图片0-1矩阵最左列值0和1的总数：第个图片被切字的面积所占整个字面积的比值：第个图片被切字的面积：每个整字的面积：表示第个图片的0-1矩阵的最左列向量：表示第个图片的0-1矩阵的最右列向量: 表示第个图片的0-1矩阵的最上列向量：表示第个图片的0-1矩阵的最下列向量：表示第个图片上边缘到第一行黑色字体之间的高度：表示第一行黑色字体的权重，用常量表示5、 模型的建立与求解5.1 数据的处理在该题目中，附件1-附件5中所给的数据均为图片数据，在进行问题求解之前，首先需要对图片数据进行处理。本文通过Matlab软件利用灰度函数imread将图片数据提取出来，进而得到图片的灰度矩阵。附件中所给图片为2色位图，可用1位二进制数表示：将灰度值为255的值置为1，代表白色区域；将其余灰度值置为0，代表黑色区域；这样，便可得到每张图片的0-1矩阵。其中为附件1中图片000.bmp的0-1矩阵的部分值。 5.2 问题一：单面打印文件纵切拼接5.2.1 基于0-1矩阵确定最左边图片（1）模型建立由于附件1、2中的图片仅为纵切，所以首先找到最左边的图片更有利于确定其他图片的位置。本文通过对每张图片0-1矩阵中最左列值中1所占的比例确定最左边图片，比例最大者所对应的图片为最左边图片。0-1矩阵最左列值中1所占比例的计算公式如下： （5-1）0-1矩阵最左列值中1所占比例最大值公式如下： （5-2）式中，：第个图片0-1矩阵最左列值中1所占的比例，：第个图片0-1矩阵最左列值中1的个数，:0-1矩阵最左列值中1所占比例最大值,：每个图片0-1矩阵最左列值0和1的总数。（2）模型求解通过公式（1）、（2）以及结合Matlab软件计算出附件1、2中图片0-1矩阵最左列值中1的个数以及1所占的比例，结果如下表所示。表5-1 附件1图片0-1矩阵最左列值中1的情况图片编号0000010020030040050060070080091的个数15381448161814071535168514871637198015681所占比例0.780.730.820.710.780.850.750.831.000.8图片编号0100110120130140150160170181的个数1497166216991532165817961575150216221所占比例0.760.840.860.770.840.910.800.760.82表5-2 附件2图片0-1矩阵最左列值中1的情况图片编号0000010020030040050060070080091的个数17491748166719801722156416591707169017081所占比例0.890.880.841.000.870.790.840.860.850.86图片编号0100110120130140150160170181的个数1693169317381693167916851739172417171所占比例0.860.860.880.860.850.850.880.870.87由表5-1与表5-2可得，附件1中图片008.bmp的0-1矩阵最左边值中1所占比例最大且为1，附件2中图片003.bmp的0-1矩阵最左边值中1所占比例最大且为1，所以，附件1中图片008.bmp为最左边的图片，附件2中图片003.bmp为最左边的图片。5.2.2 基于0-1矩阵对碎片的复原（1）模型一：基于重合率复原法在已经确定了最左边图片的基础上，需要进一步确定其他图片的位置。首先以最左边图片的0-1矩阵中最右列值为准，通过遍历剩余图片的0-1矩阵，求出左边图片0-1矩阵最右列值与其余图片0-1矩阵最左列值的重合率，根据重合率的大小确定相邻图片，其余图片以此类推。重合率计算公式如下： 重合率最大值计算公式如下： 式中，：第个图片与第个图片左右列的重合率，：第个图片与第个图片左右列的最大重合率，：第个图片与第个图片左右列重合的个数，：每个图片0-1矩阵最左列值0和1的总数。 通过以上所建立的模型结合Matlab软件可以求出任意两个图片边缘的重合率，以下为附件1和附件2的部分图片计算结果。表5-3 附件1图片000.bmp与其他图片的边缘重合率图片编号001002003004005006007008009重合率0.9230.9540.9620.9350.9350.9670.9710.9520.921图片编号010011012013014015016017018重合率0.9420.9410.9680.9530.9180.9470.9460.9440.962表5-4 附件2图片000.bmp与其余图片的边缘重合率图片编号001002003004005006007008009重合率0.9370.940.9550.9600.9520.9590.9300.9570.966图片编号010011012013014015016017018重合率0.9770.9510.9370.9690.9610.9800.9470.9790.952由表5-3与表5-4可得，附件1图片000.bmp与图片007.bmp的边缘重合率最大且值为0.971，附件2图片000.bmp与图片015.bmp的边缘重合率最大为且值为0.980。因此，附件1图片000.bmp与图片007.bmp相邻，附件2图片000.bmp与图片015.bmp相邻。按照上述方法借助Matlab软件进行类推便可以得出附件1和附件2中所有碎纸片的复原，复原后结果如下图表所示。表5-5 附件1所有碎纸片复原后结果列表008014012015003010004016001004005009013018011007017000006表5-6 附件2所有碎纸片复原后结果列表003006002007015018011000005001009013010008012014017016004图5-1 附件1所有碎纸片复原后部分结果示意图图5-2 附件2所有碎纸片复原后部分结果示意图（2）模型二：0-1整数线性规划复原法在已经确定了最左边图片的基础上，需要进一步确定其他图片的位置。首先以最左边图片的0-1矩阵中最右列值为准，遍历求出与其重合度最好的图片，这种做法在能够较好的解决上述问题，但存在不已推广到复杂情形，如有纵横切片的情形，因此我们寻求新的模型与方法。首先，两个图片的复原对接可以由0-1变量表示如下： ；又由于图片复原中两个图片之间最多只能相接一次，即第个图片的0-1矩阵的最左列值与第个图片的0-1矩阵的最右列值重合，或者第个图片的0-1矩阵的最右列与第个图片的0-1矩阵的最右列重合，所以有 （5-5）一个图片，其左右不能相接，所以有 （5-6）每个图片（除去左边第一张）的最左列有且仅有一次能够与其他图片的最右列重合，同样每个图片（除去右边最后一张）的最右列也有且仅有一次能够与其他图片的最左列重合。附件1、2中均为19张图片，所以共有18次重合，即 （5-7） 在满足这些条件下，图片复原按照图片的左边向量与图片的右边向量重合度最好对接，其重合度也可以用两向量差的二范数表示，重合度越大，这个范数就越小，所以要整个图片复原的最好，就要所有对接处相应向量差的二范数的平方和达到最小，即 这个可以作为优化模型的目标函数，因此，根据公式（5-5）、（5-6）、（5-7）及（5-8）建立问题一具体模型如下： 为求解方便，把相应的两向量差的二范数记，即 具体数据见附录。再加上前面找到的附录1最左边得图片为008.bmp，可以规定，因此模型可表示为 即为一个0-1线性规划模型。按照上述模型用lingo软件进行求解便可以得出附件1和附件2中所有碎纸片的复原，复原后结果如下图表所示。表5-7 附件1所有碎纸片复原后部分结果列表008014012015003010004016001004005009013018011007017000006表5-8 附件2所有碎纸片复原后部分结果列表003006002007015018011000005001009013010008012014017016004图5-3 附件1所有碎纸片复原后部分结果示意图图5-4 附件2所有碎纸片复原后部分结果示意图（3） 模型比较通过比较两个模型的解决方案与结果，对其进行评价： 可行性。附件1、2中的两组数据所附加的很信息，所以两种模型均可行。但是对于复杂情形下，模型二的可行度较高。 精确度。对于问题一，两个模型均正确，均不需要人工干预。但是对于复杂的情形，模型二相对于模型一的精确度更高。 安全性。在复杂情形下模型一需要多次人工干预，模型二的干预次数相对少一些，利用模型二可提高数据的安全性。综上所述，在比较简单的情形下，模型一与模型二均可形，对于复杂的情形，更适合适用模型二进行求解，模型二具有广泛性。5.3 问题二：单面打印文件纵横切拼接 5.3.1 模型建立由于附件3、4中的图片数据均为纵横切片，其复杂度远大于问题一，所以可借鉴问题一所提出的模型二，在此基础上，作为横切碎片的一个特征，增加考虑每个图片上边缘距离第一行黑色字体下边的高度。对于任意一张图片，从其四个边同时进行拼接，若找到相邻的图片便拼接为一体，然后对其所有的边同时进行拼接，以此类推。首先，两个图片上下的复原对接可以由0-1变量表示如下：又由于两个图片之间最多只能相接一次，即以下情况中的一种：a. 第个图片的0-1矩阵的最左列值与第个图片的0-1矩阵的最右列值重合b. 第个图片的0-1矩阵的最右列值与第个图片的0-1矩阵的最右列值重合c. 第个图片的0-1矩阵的最右列值与第个图片的0-1矩阵的最右列值重合d. 第个图片的0-1矩阵的最右列值与第个图片的0-1矩阵的最右列值重合所以有 （5-9） 对于同一个图片，一个图片，其左右、上下不能相接，所以有 （5-10）每个图片（除去第一张）的最左列有且仅有一次能够与其他图片的最右列重合，同样每个图片（除去最后一张）的最右列也有且仅有一次能够与其他图片的最左列重合。附件1、2中均为11*19的图片，所以共有11*18次重合，即 （5-11）每个图片（除去第一张）的最上列有且仅有一次能够与其他图片的最下列重合，同样每个图片（除去最后一张）的最下列也有且仅有一次能够与其他图片的最上列重合。附件1、2中均为11*19的图片，所以共有10*19次重合，即 （5-12）在满足这些条件下，图片复原按照图片的左（上）边向量（）与图片的右（下）边向量（）重合度最好对接，以及图片的上边缘到第一行黑色字体下边的高度与图片的上边缘到第一行黑色字体下边的高度的对接，其对接也可以用两向量差的二范数表示，重合度越大，这个范数就越小，所以要整个图片复原的最好，就要所有对接处相应向量差的二范数的平方和达到最小，即 这个可以作为优化模型的目标函数，因此，根据公式（5-9）、（5-10）、（5-11）、（5-12）及（5-13）建立问题二具体模型如下： 为求解方便，把相应的两向量差的二范数记，把相应的两数差的平方记，即 因此，模型可表示为 即为一个0-1线性规划模型。5.3.2 模型求解按照以上模型结合lingo软件进行求解，具体结果如下图表所示：表5-9 附件3基于线性规划排列后的部分结果列表510615021173157181204139145614318625719217811819095112212928911887101154114401512071551401851081178621423041231471915017912086195261879381484616124358118912210313019388167251063116163726177205236表5-10 附件4基于线性规划排列后的部分结果列表111144206313034131102599122901851098651107294015818698241171505595892303746127191751115419094113164781039180101261006172820114817019619894113164781039180101261006172810391801011728图5-5 附件3基于重合率排列后的部分结果示意图图5-6 附件4基于重合率排列后的部分结果示意图5.3.2 人工干预上述模型并不能将所有的图片均拼接在一起，依然存在拼接错误和拼接停止的问题，为了完善已经拼接的图片还需要人工干预。人工干预时间及方式： 若重合率最高的两个图片拼接出现错误，去掉与其重合率最高者，检验此高者是否正确，若不正确，以次类推直至检验到正确的为止。 若图片上下列出现全白色区域，通过两图片上下列白色区域的面积确定相邻图片。通过人工干预后排列结果如下图表所示：表5-11 附件3所有碎纸片排列后结果列表4954651431862571921781181909511221292891188141611978676999162961317963116163726177205236168100766214230412314719150179120861952618718381484616124358118912210313019388167258910574711568313220017803320219815133170205851521652760141283159821991351273160203169134393151107115176943484183904712142124144771121499713616412758431251318210919716184110187661061502117315718120413914529641112015921804837755544206101049817217159720813815812668175451740137535693153701663219689146102154114401512071551401851081174101113194119123表5-12 附件4所有碎纸片排列后结果列表19175111541901842104180641064149322046539671472011481701961989411316478103918010126100617281468651107196401581869824117150559589230374612719194931418812112610515511417618215122572027116582159139112963138153533812312017585501601879720331204110811613673362071351576431994517379161179143208217496111933142168621695419213311818916219711270846014681741371958471721569623991229018510913218195691671631661881111442063130341311025271781714266205101577414583134551856351691831524481771282001315212514019387894872121771240102115图5-7 附件3所有碎纸片排列后部分结果示意图图5-8 附件4所有碎纸片排列后部分结果示意图5.4 问题三：双面打印文件纵横切拼接分析附件5的数据可得，该组数据包括了双面打印文件正反面纵横切后的两组数据，其中000a.bmp与000b.bmp为同一张图片的正反面。根据其特性，首先对正面进行拼接，若拼接有误则通过背面进行拼接，对于不能自动拼接的部分进行人工干预。5.4.1 模型建立由于该问题的求解与问题二极为相似，但对于每个碎片，不知a面是正面，还是b面是正面，因此不能直接应用模型二求解，这也是该问题与问题二的重要区别之处。为解决此问题，增加每个碎片右边可以与其它碎片右边相接的0-1变量：即第个图片a面和第个图片的b面相拼接。所以该问题可以通过对问题二的模型改进求解，因此可建立以下模型。由于两个图片之间最多只能相接一次，即以下情况中的一种： a.第个图片的0-1矩阵的最左列值与第个图片的0-1矩阵的最右列值重合 b.第个图片的0-1矩阵的最右列值与第个图片的0-1矩阵的最右列值重合 c.第个图片的0-1矩阵的最右列值与第个图片的0-1矩阵的最右列值重合 d.第个图片的0-1矩阵的最右列值与第个图片的0-1矩阵的最右列值重合 e.第个图片a面和第个图片的b面相拼接 f.第个图片a面和第个图片的b面相拼接所以有 （5-14） 对于同一个图片，一个图片，其左右、上下、前后不能相接，所以有 （5-15）每个图片（除去第一张）的最左列有且仅有一次能够与其他图片的最右列重合，且其正面也有且仅有一次能够与其他图片的反面重合，同样每个图片（除去最后一张）的最右列也有且仅有一次能够与其他图片的最左列重合，且其反面也有且仅有一次能够与其他图片的正面重合。附件5中每组数据为11*19的图片，所以共有11*18次重合，即 （5-16）每个图片（除去第一张）的最上列有且仅有一次能够与其他图片的最下列重合，同样每个图片（除去最后一张）的最下列也有且仅有一次能够与其他图片的最上列重合。附件1、2中均为11*19的图片，所以共有10*19次重合，即 （5-17）在满足这些条件下，图片复原按照图片的左（上）边向量（）与图片的右（下）边向量（）重合度最好对接，以及图片的上边缘到第一行黑色字体下边的高度与图片的上边缘到第一行黑色字体下边的高度的对接，其对接也可以用两向量差的二范数表示，重合度越大，这个范数就越小，所以要整个图片复原的最好，就要所有对接处相应向量差的二范数的平方和达到最小，即这个可以作为优化模型的目标函数，因此，根据公式（5-14）、（5-15）、（5-16）、（5-17）及（5-18）建立问题二具体模型如下： 为求解方便，把相应的两向量差的二范数记，即 因此，模型可表示为 即为一个0-1线性规划模型。5.4.2 模型求解按照上述模型用lingo软件进行求解便可以得出附件1和附件2中所有碎纸片的复原，并结合人工干预复原后结果如下图表所示。表5-13 附件5碎纸片正面拼接后的排列表136b047a020b164a081a189a029b018a108b066b110b174a183a150b155b140b125b111a078a005b152b147b060a059b014b079b144b120a022b124a192b025a044b178b076a036b010a089b143a200a086a187a131a056a138b045b137a061a094a098b121b038b030b042a084a153b186a083b039a097b175b072a093b132a087b198a181a034b156b206a173a194a169a161b011a199a090b203a162a002b139a070a041b170a151a001a166a115a065a191b037a180b149a107b088a013b024b057b142b208b064a102a017a012b028a154a197b158b058b207b116a179a184a114b035b159b073a193a163b130b021a202b053a177a016a019a092a190a050b201b031b171a146b172b122b182a040b127b188b068a008a117a167b075a063a067b046b168b157b128b195b165a105b204a141b135a027b080a000a185b176b126a074a032b069b004b077b148a085a007a003a009a145b082a205b015a101b118a129a062b052b071a033a119b160a095b051a048b133b023a054a196a112b103b055a100a106a091b049a026a113b134b104b006b123b109b096a043b099b表5-14 附件5碎纸片反面拼接后的排列表136a047b020a164b081b189b029a018b108a066a110a174b183b150a155a140a125a111b078b005a152a147a060b059a014a079a144a120b022a124b192a025b044a178a076b036a010b089a143b200b086b187b131b056b138a045a137b061b094b098a121a038a030a042b084b153a186b083a039b097a175a072b093a132b087a198b181b034a156a206b173b194b169b161a011b199b090a203b162a002a139b070b041a170b151a001b166b115b065b191a037b180a149b107a088b013a024a057a142a208a064b102b017b012a028b154b197a158a058a207a116b179b184b114a035a159a073b193b163a130a021b202a053b177b016b019b092b190b050a201a031a171b146a172a122a182b040a127a188a068b008b117b167a075b063b067a046a168a157a128a195a165b105a204b141a135b027a080b000b185a176a126b074b032a069a004a077a148b085b007b003b009b145a082b205a015b101a118b129b062a052a071b033b119a160b095a051b048a133a023b054b196b112a103a055b100b106b091a049b026b113a134a104a006a123a109a096b043a099a图5-9 附件5碎纸片正面复原部分结果示意图图5-10 附件5碎纸片反面复原部分结果示意图5.4.3 随机法模型检验对于已经拼接的图片，需要通过检验求证模型的准确度。本文在已经拼接的图片的基础上，对其0-1矩阵进行纵横方向随机取值，以其取值为边界，对其左右或上下两边的图片求重合度，通过多次取值后，求重合度的平均值，从而衡量上述模型的准确度。具体模型如下 （5-19） （5-20）其中，：表示第次取值的边界左右或上下图片的重合度；：表示次取值后求的重合度的平均值。本文在检验过程中利用了附件5中所有碎纸片的复原图，通过Matlab软件编程求出部分比值为表5-14 基于模型检验的部分比值第次123456比值0.94280.94810.95480.95100.95280.9579通过表5-14可求得平均值为0.951，所以上述中所建立0-1整数线性规划模型的准确度为95.1%，由于在重新切片和人工干预过程中可能造成一些误差，所以该模型可行。6、 模型的评价与改进6.1 模型的评价本文整体上建立了两种模型，一种是基于重合度的模型，另一种是基于0-1整数线性规划模型，两种模型的优缺点：模型一： 优点：模型一简单，操作过程容易，求解过程不易出错； 缺点：模型一具有一定的局限性，对于较复杂的情形容易出错，需要人工干预的次数过多，准确率较低，耗费时间长，对数据的安全性没有保障。模型二： 优点：模型二具有广泛性，对于难易程度不同的情形均可解决，其可行性较高，能够保证数据的安全性； 缺点：模型二相对较复杂，在建立模型的过程中可能会出错，同样需要人工干预的辅助。6.2 模型的改进结合模型一与模型二的优缺点，为了保证求解的可行性、正确性以及高效性，可以将模型一与模型二结合起来进行求解。首先对较简单的图片通过模型一求解，对较复杂的图片通过模型二求解；然后对已经拼接的片段依然利用模型一与模型二的交叉操作进行求解，直至无法进行为止；最55CFHFFFSE 后，对于无法自动拼接的片段进行人工干预。附录：附件1所有碎纸片复原后结果示意图:附件2所有碎纸片复原后部分结果示意图:附件3所有碎纸片排列后结果示意图:附件4所有碎纸片排列后结果示意图：附件5碎纸片正面复原结果示意图：附件5碎纸片反面复原结果示意图：附件3图片基于0-1线性规划后结果列表：13065112202693181493876564520711105991731726021391591276917646175113854579415471167331973622079481342031991613417120686153166286151691017761071512217415818220514014671441873581931791191919612231302992189142810215511541152208156141186109118963143314224148192511801218719627288191039149471622536821901231041311948916826910106751164117164737178215337121512941608