勾股定理全章知识点总结

1 勾股定理勾股定理 知识脉络 基础知识 勾股定理勾股定理 1 内容 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 表示方法 如果直角三角形的两直角边分别为如果直角三角形的两直角边分别为 斜边为 斜边为 那么 那么 abc 222 abc 2 勾股定理的证明 勾股定理的证明方法很多 常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是 图形进过割补拼接后 只要没有重叠 没有空隙 面积不会改变 根据同一种图形的面积不同的表示方法 列出等式 推导出勾股定理 常见方法如下 方法一 化简可证 4 EFGH SSS 正方形正方形ABC D 22 1 4 2 abbac 方法二 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为 22 1 42 2 Sabcabc 大正方形面积为 所以 222 2Sabaabb 222 abc 方法三 化简得证 1 2 Sabab 梯形 2 11 2S2 22 ADEABE SSabc 梯形 3 勾勾股定理的适用范股定理的适用范 围围 c b a H G F E D C BA b a c b a c c a b c a b a b c c b a E D CB A 方法一 方法二 方法三方法二 2 勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系 它只适用于直角三角形只适用于直角三角形 对于 锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征 4 勾股定理的应用勾股定理的应用 已知直角三角形的任意两边长 求第三边在中 则 ABC 90C 22 cab 22 bca 22 acb 知道直角三角形一边 可得另外两边之间的数量关系 可运用勾股定理解决一些实际问 题 勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理 1 1 内容 内容 如果三角形三边长 满足 那么这个三角形是直角三角形 abc 222 abc 其中为斜边 c 勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法 它通过 数转 化为形 来确定三角形的可能形状 在运用这一定理时 可用两小边的平方和与 22 ab 较长边的平方作比较 若它们相等时 以 为三边的三角形是直角三角形 2 cabc 若 时 以 为三边的三角形是钝角三角形 若 时 以 222 abc abc 222 abc 为三边的三角形是锐角三角形 abc 定理中 及只是一种表现形式 不可认为是唯一的 如若三角形三abc 222 abc 边长 满足 那么以 为三边的三角形是直角三角形 但是abc 222 acb abc 为斜边b 2 2 勾股数勾股数 能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数 即能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数 即中 中 为为 222 abc abc 正整数时 称正整数时 称 为一组勾股数为一组勾股数abc 记住常见的勾股数可以提高解题速度 如 8 15 178 15 17 3 4 55 12 136 8 107 24 25 9 12 159 12 15 9 40 419 40 41 等 勾股定理及其逆定理的实际应用勾股定理及其逆定理的实际应用 勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中 是密不可分的一个整体 通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形 又要用勾股定理求出边的长度 二者 相辅相成 完成对问题的解决 常见图形 3 A B C 30 D C BA A DB C 互逆命题的概